Lista limites calc 1

Prévia do material em texto

Universidade Federal do Rio de Janeiro
INSTITUTO DE MATEMA´TICA
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo 1 — Turma IQN/IFN — Professor Wilian
Segunda Lista de Exerc´ıcios - Limites e Continuidade
Questa˜o 1 O que esta´ errado na identidade
x2 + x− 6
x− 2 = x+ 3? (1)
Questa˜o 2 Tendo em vista o exerc´ıcio anterior explique por que a identidade
lim
x→2
x2 + x− 6
x− 2 = limx→2x+ 3 (2)
esta´ correta?
Questa˜o 3 Se lim
x→a f(x) = 4, limx→a g(x) = −2 e limx→ah(x) = 0, calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→a [f(x)− g(x)]
(b) lim
x→a
[
f(x)
g(x)
]
(c) lim
x→a [g(x)]
2
(d) lim
x→a
[
h(x)
f(x)
]
(e) lim
x→a
[
1
(f(x)+g(x))2
]
Questa˜o 4 Se lim
x→a [f(x) + g(x)] = 2 e limx→a [f(x)− g(x)] = 1, calcule limx→a [f(x)g(x)].
Questa˜o 5 Nos itens a seguir, aplique as propriedades operato´rias de limites para calcular os limites que
existam.
(a) lim
x→0 5x
4 − 4x3 + 2x− 14
(b) lim
x→−1 2x− x
4
(c) lim
x→−1(x
2 − 2)5
(d) lim
x→1
x+1
x2−2x−2
(e) lim
x→3
x2−9
x−3
(f) lim
y→3
1
y
− 1
3
y−3
(g) lim
t→−4
√
t+8
(25−t2)
(h) lim
x→0
√
x+4−2
x
(i) lim
x→4
x−4√
x−2
(j) lim
x→1
x2+x−2
x2−4x+3
(l) lim
x→2
(x−2)2
x4−16
(m) lim
x→0
√
1+x−√1−x
x
Questa˜o 6 Calcule os limites:
(a) lim
x→5
x−5
x2−25
(b) lim
x→−3
x+3
x2+4x+3
(c) lim
u→1
u4−1
u3−1
(d) lim
x→9
√
x−3
x−9
(e) lim
x→−1
√
x2+8−3
x+1
Questa˜o 7 Se
√
5− 2x2 ≤ f(x) ≤ √5− x2 para −1 ≤ x ≤ 1, determine lim
x→0 f(x).
Questa˜o 8 Suponha que as desigualdades
1
2
− x
2
24
<
1− cos x
x2
<
1
2
,
valham para todos os valores de x pro´ximos de zero. O que isso diz a voceˆ a respeito do seguinte limite:
lim
x→0
1− cos x
x2
?
Justifique sua resposta.
Questa˜o 9 Resolva os limites:
(a) lim
x→0
cos x−1
x
(b) lim
x→∞ 5 +
1x
x
(c) lim
x→∞
5x2+8x−3
3x2+2
(d) lim
x→−∞
11x+2
2x3−1
(e) lim
x→∞ sen
1
x
(f) lim
x→0−
e
1
x
(g) lim
x→∞ e
−xsen x
(h) lim
x→−∞
ex−e−x
ex+e−x
Questa˜o 10 Para que valor a
f(x) =
{
x2 − 1, se x < 3
2ax, se x ≥ 3.
e´ cont´ınua em qualquer x?
Questa˜o 11 Mostre que a equac¸a˜o x3 − 15x+ 1 = 0 tem treˆs soluc¸o˜es no intervalo [−4, 4].
Questa˜o 12 Duas espe´cies coexistem no mesmo ecossistema. A espe´cie I tem uma populac¸a˜o P (t) e a
espe´cie II tem uma populac¸a˜o Q(t), ambas em milhares de indiv´ıduos, onde t e´ o tempo em anos e P e
Q sa˜o modeladas pelas func¸o˜es
P (t) =
30
3 + t
e Q(t) =
60
4− t .
• a) Qual e´ a populac¸a˜o inicial de cada espe´cie?
• b) O que acontece com P (t) quando t aumenta? E com Q(t)?
• c) Plote as curvas de P (t) e Q(t) em func¸a˜o de t.
Questa˜o 13 Em certas situac¸o˜es, empresa´rios costumam comparar os benef´ıcios de uma certa medida
com o custo necessa´rio para executa´-la. Suponha, por exemplo, que, para remover x% da poluic¸a˜o causada
por um rompimento de barragem, seja preciso gastar C milhares de reais, onde
C(x) =
12x
100− x.
(a) Quanto custa remover 25% da poluic¸a˜o? E 50%?
(b) Plote a func¸a˜o custo?
(c) O que acontece quando x→ 100−? E´ poss´ıvel remover toda a poluic¸a˜o?
Questa˜o 14 Calcule os limites, caso existam.
(a) lim
x→1
√
x−1
x−1
(b) lim
x→1
3x3−8
x−2
(c) lim
x→2
x+1
x−2
(d) lim
x→1
x2−1
x2−3x+2
(e) lim
x→∞
x2
1+x+2x2
(f) lim
x→4
x−2
x−4
Questa˜o 15 Calcule:
(a) lim
x→2
sen(x−2)
x2−4
(b) lim
x→0+
(1 + sen 4x)cotg x
(c) lim
x→+∞
√
x+1√
x+1