Slides de aulas sobre Álgebra Linear II

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A´lgebra Linear
Ricardo Almeida
2015
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Matrizes
As matrizes sa˜o ferramentas ba´sicas da A´lgebra Linear, pois ale´m de
fornecerem meios para a resoluc¸a˜o sistemas lineares, elas tambe´m
representara˜o as transformac¸o˜es lineares entre espac¸os vetoriais,
como veremos a diante.
Definic¸a˜o
Dados m e n ∈ N, definimos uma matriz de ordem m por n, ou
simplesmente uma matriz m por n (escreve-se m × n), como uma
tabela formada por elementos de R distribu´ıdos em m linhas e n
colunas. Estes elementos de R sa˜o chamados entradas da matriz.
As entradas de uma matriz podem ser nu´meros (reais ou complexos),
func¸o˜es, ou ainda outras matrizes.
Representaremos uma matriz de m linhas e n colunas por:
Am×n =

a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . .
. . .
. . .
am1 am2 ... amn
 = [aij ]m×n
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz Quadrada e´ aquela cujo nu´mero de linhas e´ igual ao nu´mero
de colunas (m = n).
Uma matriz de ordem m e´ dita quando for quadrada do tipo Am×m.
Matriz Nula e´ aquela em que aij = 0, para todo i e j.
Matriz coluna e´ aquela que possui uma u´nica coluna (n=1).
Matriz Linha e´ aquela onde m=1.
Matriz Diagonal e´ uma matriz quadrada onde ai ,j = 0 para i 6= j ,
isto e´, os elementos (entradas) que na˜o esta˜o na diagonal sa˜o nulos.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Tipos Especiais de Matrizes
Matriz Identidade e´ uma matriz quadrada em que ai ,j = 1 para
i=j e ai ,j = 0, para i 6= j .
Matriz Triangular Superior e´ uma matriz quadrada em que
ai ,j = 0 para i > j , isto e´, todos elementos abaixo da diagonal sa˜o
nulos.
Matriz Triangular Inferior e´ aquela em que m=n e ai ,j = 0, para
i < j .
Matriz Sime´trica e´ aquela onde m=n e ai ,j = aj ,i
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o
Duas matrizes Am×n = [aij ]m×n e Br×s = [bij ]r×s sa˜o iguais, A = B,
se elas teˆm o mesmo nu´mero de linhas (m=r) e colunas (n=s), e
todos os seus elementos correspondentes sa˜o iguais. (aij = bij).
Exemplo
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o (Soma)
Se A = [aij ] e B = [bij ] sa˜o duas matrizes de mesma ordem m× n, a
soma de A e B, denotada A+B, e´ a matriz C = [cij ] de ordem m× n
tal que cij = aij + bij para todo 1 6 i 6 m e para todo 1 6 j 6 n.
Exemplo
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Propriedades
(A + B) + C = A + (B + C )
A + B = B + A
A + 0 = A
A + (−A) = 0 Defini-se -A como a matriz oposta de A.
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Operac¸o˜es com Matrizes
Definic¸a˜o (Multiplicac¸a˜o por escalar)
Dada a matriz A = [aij ]m×n, definimos o produto de A pelo nu´mero
real a, como aA = [aaij ]m×n.
Exemplo
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Propriedades
1 (αβ)A = α(βA)
2 (α + β)A = αA + βA
3 α(A + B) = αA + αB
4 1A = A
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Matriz transposta
Dada uma matriz A = [aij ]m×n, podemos obter uma outra matriz
A′ = [bij ]n×m, cujas linhas sa˜o as colunas de A, isto e´, bij = aji .
Representamos a transposta A como A’ ou At .
Exemplo
Propriedades i) Uma matriz e´ sime´trica se, e somente se, ela e´
igual a` sua transposta, ou seja, A=A’.
ii) A”=A. Isto e´, a transposta da transposta de uma matriz e´ ela
mesma.
iii) (A+B)’=A’+B’. Em palavras, a transposta de uma soma e´ igual
a` soma das transpostas.
iv) (kA)’=kA’, onde k e´ qualquer escalar.
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Multiplicac¸a˜o de Matrizes
Sejam A = [aij ]m×n e B = [bij ]n×p duas matrizes. Definimos o
produto AB de A por B, denotado por AB, como a matriz
C = [cij ]m×p tal que
cij =
n∑
k=1
aikbkj = ai1b1j + ...+ ainbnj
para todo 1 6 i 6 m e para todo 1 6 j 6 p.
Example
A=
 2 40 0
−1 3

B=
[−1 1
1 −1
]
Calcule AB e BA.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
A=
[
1 1
1 1
]
B=
[
1 1
−1 −1
]
Calcule AB.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Propriedades da multiplicac¸a˜o de matrizes
Desde que as operac¸o˜es sejam poss´ıveis, temos:
(i) A(B + C ) = AB + AC (distributividade a` esquerda da
multiplicac¸a˜o em relac¸a˜o a` adic¸a˜o);
(ii) (A+B)C=AC +BC (distributividade a` direita da multiplicac¸a˜o
em relac¸a˜o a` adic¸a˜o);
(iii) (AB)C=A(BC) (associatividade);
(iv) AI = IA = A (existeˆncia de elemento identidade).
(v) (AB)’=B’A’
(vii) 0.A=A.0=0
Observac¸a˜o Tendo definido a multiplicac¸a˜o de matrizes a
potenciac¸a˜o e´ definida para matrizes quadradas de ordem n.
A0 = In e A
k = A.A....A.
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Matriz Inversa
Definic¸a˜o
Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de
A a uma matriz quadrada B de ordem n tal que AB = BA = In
Example
Dada a matriz
A=
[
2 5
1 3
]
temos que a matriz B=
[
3 −5
−1 2
]
e´ a matriz inversa de
A.
Uma matriz quadrada na˜o possui necessariamente uma inversa. Por
exemplo, a matriz B=
[
1 1
1 1
]
na˜o possui inversa.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Matriz Inversa
Para denotar a matriz inversa de A, escrevemos A−1.
Propriedades das matrizes inversas
Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n.
(i) Se A e´ invert´ıvel, enta˜o A−1 e´ tambe´m invert´ıvel e (A−1)−1 = A.
(ii) Se A e B sa˜o invert´ıveis, enta˜o AB tambe´m e´ invert´ıvel e
(AB)−1 = B−1A−1.
Example
Dada a matriz
A=
[−2 1
2 4
]
determine sua inversa.
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Figura: Exerc´ıcios
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Exerc´ıcios da Refereˆncia 1
pa´gina 12 [2,5,7,9,14]
(Incluir demonstrac¸o˜es de propriedades)
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Sistemas de Equac¸o˜es Lineares
Desde a antiguidade, muitos problemas sa˜o modelados por sistemas
lineares.
Um sistema linear e´ um conjunto de m equac¸o˜es lineares mas varia´veis
x1, x2, x3, ..., xn, da seguinte forma:
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Resoluc¸a˜o
Para resolver um sistema podemos realizar transformac¸o˜es elementa-
res resultando em um sistema mais simples de resolver, onde enten-
demos como transformac¸a˜o elementar as seguintes transformac¸o˜es:
1) Trocar a posic¸a˜o relativa de duas equac¸o˜es do sistema;Li ↔ Lj .
2) Trocar uma equac¸a˜o pela soma membro a membro da pro´pria
equac¸a˜o com um mu´ltiplo de outra. Li → Li + cLj
3) Trocar uma equac¸a˜o dada por um de seus mu´ltiplos. Li → cLi .
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A matriz ampliada do sistema do slide 1 e´ dada por:
As matrizes surgiram por volta do ano 200 a.C. com os chineses,
motivados pelo interesse em calcular soluc¸o˜es de sistemas com mais
de quatro equac¸o˜es lineares.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Sejam A e B matrizes de ordem m× n. A matriz A e´ dita ser equiva-
lente por linhas a` matriz B, se B pode ser obtida de A pela aplicac¸a˜o
sucessiva de um nu´mero finito de transformac¸o˜es elementares sobre
linhas.
A noc¸a˜o de equivaleˆncia de matrizes por linhas corresponde a` noc¸a˜o
de equivaleˆncia de sistemas lineares. Sistemas equivalentes corres-
pondem a matrizes associadas equivalentes, e vice-versa.
Exemplo..
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Forma Escalonada de uma Matriz
Consideramos uma matriz m × n na forma escalonada se for nula,
ou se:
1) o primeiro elemento na˜o nulo de cada linha na˜o nula e´ 1.
2) cada coluna que conte´m o primeiro elemento na˜o nulo de alguma
linha tem todos os seus outros elementos iguais a zero;
3) toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas na˜o nulas;
4) se L1, ..., Lp sa˜o as linhas na˜o nulas, o primeiro elemento na˜o nulo
da linha Li ocorre na coluna ki .
Teorema
Toda matriz e´ equivalente a uma matriz na forma escalonada
(exemplo)
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Obtendo Matriz inversa por matriz escalonada
Sejaa matriz A, determine a matriz A−1 utilizando a forma
escalonada da matriz em bloco[A|I3] 3× 6. A=
1 0 22 −1 3
4 1 8

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Classificac¸a˜o de sistemas lineares
Um sistema linear homogeˆneo com n inco´gnitas e´ sempre poss´ıvel,
admitindo pelo menos uma soluc¸a˜o trivial.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Me´todo do escalonamento
Consiste em se tomar a matriz ampliada de um sistema linear e
aplicar uma sequeˆncia de transformac¸o˜es elementares, de modo a
obtermos uma matriz equivalente escalonada.
Example
Encontre as soluc¸o˜es dos seguintes sistemas pelo me´todo do
escalonamento das matrizes ampliadas.
x + y + z = 6
2x + y − z = 1
3x − y + z = 4


x + y − 2z + 3w = 4
2x + 3y + 3z − w = 3
5x + 7y + 4z + w = 5

Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
Encontre as soluc¸o˜es dos seguintes sistemas pelo me´todo do
escalonamento das matrizes ampliadas.
x − y + z = 4
3x + 2y + z = 0
5x + 5y + z = −4


x + 2y + 3z − 5w = 0
2x + 4y + z + 2w = 0
x + 3y + 4z = 0
3x + 5y + 8z − 10w = 0

Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Posto de uma matriz e nulidade
Defini-se posto p da matriz A como o nu´mero de linhas na˜o nulas
de sua forma escalonada, expresso por p(A)
Corola´rio. Uma matriz quadrada de ordem n e´ invert´ıvel se, e
somente se, ela tem posto n.
Nulidade de uma matriz Am×n e´ o nu´mero n-p.
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ATIVIDADE Encontre a soluc¸a˜o do seguinte sistema pelo me´todo
do escalonamento das matrizes ampliadas.{
x + 2y + z + t = 1
x + 3y − z + 2t = 3
}
Exerc´ıcios do Boldrini
Pa´gina 49 (1,3,4,5,6,9,19)
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Teorema do Posto
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Determinantes
A teoria dos determinantes teve origem em meados do se´culo XVII,
quando eram estudados processos para resoluc¸a˜o de sistemas lineares
de equac¸o˜es. Hoje em dia, embora na˜o sejam um instrumento pra´tico
para resoluc¸a˜o de sistemas, sa˜o utilizados para sintetizar expresso˜es
matema´ticas complexas.
Consideremos as permutac¸o˜es de 1,2,3 e vejamos em cada per-
mutac¸a˜o o nu´mero de inverso˜es.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Propriedades
i) Se todos os elementos de uma linha ou coluna de uma matriz A
sa˜o nulos, det A = 0.
ii) det A = det A´
iii) Se multiplicarmos uma linha da matriz por uma constante, o
determinante fica multiplicado por esta constantes.
iv) Uma vez trocada a posic¸a˜o de duas linhas, o determinante troca
o sinal.
v) O determinante de uma matriz que tem duas linhas ou colunas
proporcionais e´ zero.
vi) det (A.B)= det A . det B
vii) Se uma matriz quadrada, de ordem n, tem uma linha (ou
coluna) que e´ combinac¸a˜o linear de outras linhas (ou colunas), seu
determinante e´ igual a zero.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Teorema
Teorema de Jacobi Adicionando-se a uma fila de uma matriz M,
de ordem n, uma outra fila paralela, previamente multiplicada por
uma constante, obteremos uma nova matriz M’, tal que det M’=det
M.
A importaˆncia desta propriedade, reside no fato de que podemos in-
troduzir zeros numa fila de uma matriz, sem alterar seu determinante,
com isso, podemos facilitar seu ca´lculo.
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Desenvolvimento de Laplace
detAn×n =
n∑
i=1
(aij∆ij)
onde ∆ij = (−1)i+jdetAij
A submatriz Aij e´ obtida de A retirando-se a i-e´sima linha e a
j-e´sima coluna.
∆ij e´ chamado de cofator ou complemento alge´brico do elemento
aij .
Essa forma tambe´m e´ va´lida para as colunas.
Example
detA=
1 0 22 −1 3
4 1 8

Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Observac¸a˜o: O determinante de uma matriz triangular e´ o produto
dos elementos da diagonal principal.
Example
detA=

−1 2 3 −4
4 2 0 0
−1 2 −3 0
2 5 3 1

372
Observac¸o˜es
Se A possui inversa enta˜o:
i. detA 6= 0
ii. detA−1 =
1
detA
iii. detA = detAt
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Regra de Cramer
Seja S um sistema linear com nu´mero de equac¸o˜es igual ao de
inco´gnitas, A a matriz coeficientes e D = detA.
Se D 6= 0, enta˜o o sistema sera poss´ıvel e tera´ soluc¸a˜o u´nica
(xi , x2, x3, ..., xn), tal que
xi =
Di
D
onde Di e´ o determinante da matriz obtida de A, substituindo-se a
i’e´sima coluna pela coluna dos termos independentes das equac¸o˜es
de sistema.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
Resolva os seguintes sistemas lineares utilizando a Regra de Cramer.{−x − 4y = 0
3x + 2y = 5
}

−x + y − z = 5
x + 2y + 4z = 4
3x + y − 2z = −3

Classificac¸a˜o do Sistema por Cramer
I) Se o determinante da matriz dos coeficientes e´ diferente de 0,
existe uma u´nica soluc¸a˜o.
II) Se o determinante da matriz dos coeficientes e´ igual a` 0 o
sistema sera´:
a) imposs´ıvel, se algum Di for diferente de 0.
b) indeterminado: se todo Di for igual a 0.
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Atividades
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Exerc´ıcios do Boldrini
Pa´gina 90 (3,4,8,9,13,16)
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Espac¸os Vetoriais
Seja um conjunto V, na˜o-vazio, sobre o qual esta˜o definidas as
operac¸o˜es adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar, isto e´: ∀u, v ∈ V , u +
v ∈ V ∀α ∈ R, ∀u ∈ V , αu ∈ V O conjunto V com essas duas
operac¸o˜es e´ chamado espac¸o vetorial real se forem verificados os
seguintes axiomas:
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Espac¸os Vetoriais
A Em relac¸a˜o a` adic¸a˜o:
A1 (u + v) + w = u + (v + w), ∀u, v ,w ∈ V
A2 u + v = v + u,∀u, v ∈ V
A3 ∃0 ∈ V ,∀u ∈ V , u + 0 = u
A4 ∀u ∈ V , ∃(−u) ∈ V , u + (−u) = 0
M Em Relac¸a˜o a` multiplicac¸a˜o por escalar:
M1 (αβ)u = α(βu)
M2 (α + β)u = αu + βu
M3 α(u + v) = αu + αv
M4 1u = u para ∀u, v ∈ V e∀α, β ∈ R.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Espac¸os Vetoriais
Example
O conjunto V = R2 = {(x , y)/x , y ∈ R} e´ um espac¸o vetorial?
Example
Os conjuntos R3,R4,...,Rn sa˜o espac¸os vetoriais. Depois de verifi-
cados os oito axiomas de espac¸o vetorial para R2, os demais ficam
evidentes.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Espac¸os Vetoriais
Example
O conjunto M(m,n) das matrizes m × n. Em particular, o conjunto
M(n,n) das matrizes quadradas
Example
O conjunto Pn = {a0 + a1x + a2x2 + ...+ anxn; ai ∈ R}. Em
particular o polinoˆmio do segundo grau.
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Propriedades dos Espac¸os Vetoriais
I Existe um u´nico vetor nulo em V.
II Cada vetor u ∈ V admite apenas um sime´trico (−u) ∈ V .
III Para quaisquer u, v ,w ∈ V , se u + w = v + w , enta˜o u = v .
IV Qualquer que seja v ∈ V , tem-se: −(−v) = v .
V Quaisquer que sejam u, v ∈ V , existe um e somente um x ∈ V
tal que: u + x = v .
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Propriedades dos Espac¸os Vetoriais
VI Qualquer que seja v ∈ V , tem-se: 0v = 0. Sendo o primeiro
zero um nu´mero real e o segundo um vetor de V.
VII Qualquer que seja λ ∈ R tem-se: λ0 = 0.
VIII λv = 0 implica λ = 0 ou v = 0.
IX Qualquer que seja v ∈ V , tem-se: (−1)v = −v .
X Quaisquer que sejam v ∈ V e λ ∈ R, tem-se:
(−λ)v = λ(−v) = −(λv)
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Subespac¸os Vetoriais
Partindo da necessidade de detectar dentro de um espac¸o vetorial V,
subconjuntos W que sejam eles pro´prios espac¸os vetoriais “menores”.
Tais conjuntos sera˜o chamados de subespac¸os de V. Isto acontece,
por exemplo, em V = R2, o plano, onde W e´ uma reta deste plano,
que passa pela origem.
Figura:
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o
Dado um espac¸o vetorial V, um subconjunto W, na˜o vazio, sera´ um
subespac¸o vetorial de V se:
i Para quaisquer u, v ∈W tivermos u + v ∈W
ii Para quaisquer a ∈ R, u ∈W tivermos αu∈W .
Observac¸a˜o Todo espac¸o vetorial V admite pelo menos dois
subespac¸os: o conjunto {0}, chamado subespac¸o nulo, e o pro´prio
espac¸o vetorial V. Esses dois sa˜o os subespac¸os triviais de V. Os
demais subespac¸os sa˜o denominados pro´prios de V.
Example
Os subespac¸os triviais de V = R3 sa˜o {0, 0, 0} e o pro´prio R3. Os
subespac¸os pro´prios do R3 sa˜o as retas e os planos que passam pela
origem.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Subespac¸os Vetoriais
Example
Sejam V = R2, S = {(x , y) ∈ R2/y = 2x} ou
S = {(x , 2x); x ∈ R} e´ um subespac¸o de V?
Example
Sejam V = R2, S = {(x , 4− 2x); x ∈ R} e´ um subespac¸o de V?
Example
W = {(x ; |x |); x ∈ R} e´ subespac¸o de R2.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Subespac¸os Vetoriais
Corola´rio: Seja V um espac¸o vetorial, temos que W e´ um
subespac¸o vetorial de V se, e somente se, u + αv ∈W , para todo
α ∈ R e u, v ∈W .
Example
Sejam V = R4 e S = {(x , y , z , 0); x , y , z ∈ R}
Example
Sejam
V = M(2, 2) =
[
a b
c d
]
; a, b, c , d ∈ R
e
S =
[
a b
0 0
]
; a, b ∈ R
.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Subespac¸os Vetoriais
Example
Sejam V = R2 e S = (x , y), x > 0.
Example
Seja V=M(n,n) e W e´ o subconjunto de todas as matrizes em que
a11 ≤ 0.
Example
V = R2 e W = (x , x2); c ∈ R.
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Intersec¸a˜o de dois Subespac¸os Vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespac¸os vetoriais de V. A intersec¸a˜o S de S1
e S2, que se representa por S = S1 ∩ S2, e´ o conjunto de todos os
vetores v ∈ V tais que v ∈ S1 e v ∈ S2.
Example
Seja V=M(n,n)
W1=matrizes triangulares superiores
W2=matrizes triangulares inferiores
W1 ∩W2=matrizes diagonais
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Soma de dois Subespac¸os Vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespac¸os vetoriais de V. A soma S de S1 e S2,
que se representa por S = S1 + S2, e´ o conjunto de todos os vetores
u + v ∈ V tais que u ∈ S1 e v ∈ S2.
Example
Seja V=M(n,n)
W1=matrizes triangulares superiores
W2=matrizes triangulares inferiores
W1 + W2 = V
Proposic¸a˜o
A intersec¸a˜o de dois subespac¸os de um espac¸o vetorial V e´ um
subespac¸o de V.
A unia˜o de dois subespac¸os de um espac¸o vetorial V na˜o e´
necessariamente um subespac¸o de V.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Exemplos
Example
Seja V o espac¸o vetorial das matrizes quadra de ordem 2:
V = M(2, 2) =
[
a b
c d
]
; a, b, c , d ∈ R
Sejam S1 e S2 subespac¸os vetoriais de V:
V = M(2, 2) =
[
a b
0 0
]
; a, b ∈ R
V = M(2, 2) =
[
a 0
c 0
]
; a, c ∈ R
Example
Seja o espac¸o vetorial R3 = (a, b, c); a, b, c ∈ R e os subespac¸os
vetoriais S1 = (a, b, 0); a, b ∈ R e S2 = (0, 0, c); c ∈ R.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Soma Direta de dois Subespac¸os Vetoriais
Sejam S1 e S2 dois subespac¸os vetoriais de V. Diz-se que V e´ a
soma direta de S1 e S2, e se representa por V = S1 ⊕ S2,
V = S1 + S2 e S1 ∩ S2 = 0.
Teorema
Se V e´ a soma direta de S1 e S2, todo vetor v ∈ V se escreve, de
modo u´nico, na forma v = u + w onde u ∈ S1 e w ∈ S2.
Example
O espac¸o vetorial R3 = (a, b, c); a, b, c ∈ R e´ a soma direta dos
subespac¸os vetoriais S1 = (a, b, 0); a, b ∈ R e S2 = (0, 0, c); c ∈ R.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Combinac¸a˜o Linear
Sejam os vetores v1, v2, ..., vn do espac¸o vetorial V e os escalares
a1, a2, ..., an. Qualquer vetor v ∈ V da forma:
v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn e´ uma combinac¸a˜o linear dos vetores
v1, v2, ..., vn.
Example
No espac¸o vetorial P2 dos polinoˆmios de grau ≤ 2, o polinoˆmio
v = 7x2 + 11x − 26 e´ uma combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios:
v1 = 5x
2 − 3x + 2 e v2 = −2x2 + 5x − 8. Assim v = 3v1 + 4v2.
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Figura:
Example
Mostrar que o vetor v = (3, 4) ∈ R2 pode ser escrito de infinitas
maneiras como combinac¸a˜o linear dos vetores v1 = (1, 0),v2 = (0, 1)
e v3 = (2,−1).
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Subespac¸os Gerados
Seja V um espac¸o vetorial. Consideremos um subconjunto
A = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V ,A 6= ∅. O subconjunto S de todos os
vetores de V que sa˜o combinac¸o˜es lineares dos vetores de A e´ um
subespac¸o vetorial de V. Simbolicamente, o subespac¸o S e´:
S = {v ∈ V /v = a1v1 + ...+ anvn; a1, ..., an ∈ R}
Observac¸o˜es O subespac¸o S diz-se gerado pelos vetores
v1, v2, ..., vn, ou gerado pelo conjunto A, e representa-se por:
S = [v1, v2, ..., vn] ou S = G (A). Os vetores v1, v2, ..., vn sa˜o
chamados geradores do subespac¸o S, enquanto A e´ o conjunto
gerados de S.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
Os vetores v1 = (1, 0) e V2 = (0, 1) geram o espac¸o vetorial R
2,
pois qualquer (x , y) ∈ R2 e´ combinac¸a˜o linear de i e j. V = [v1, v2]
Example
V1 =
[
1 0
0 0
]
V2 =
[
0 1
0 0
]
Determine [v1, v2].
Observac¸a˜o Assim, sendo S um subespac¸o gerado por um conjunto
A, ao acrescentarmos vetores de S a esse conjunto A, os novos
conjuntos continuara˜o gerando o mesmo subespac¸o S. Esse fato faz
entender que um determinado subespac¸o S pode ser gerado por uma
infinidade de vetores, pore´m existe um nu´mero m´ınimo de vetores
para gera´-lo.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo vetor
v1 = (1, 2, 3).
Example
Seja V = R3. Determinar o subespac¸o gerado pelo conjunto
A = {v1, v2}, sendo v1 = (1,−2,−1) e v2 = (2, 1, 1).
Example
Mostrar que o conjunto A = {(3, 1), (5, 2)} gera o R2.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
O fato de que o R3 pode ser gerado por treˆs vetores, ou tambe´m
por quatro ou por cinco. Sendo que treˆs vetores sa˜o o nu´mero
m´ınimo necessa´rio para gerar esse espac¸o. Para a determinac¸a˜o do
menor conjunto gerador de um espac¸o vetorial, precisamos ter a
noc¸a˜o de dependeˆncia e independeˆncia linear.
Definic¸a˜o
Sejam V um espac¸o vetorial e A = {v1, ..., vn} ⊂ V . Consideremos
a equac¸a˜o a1v1 + ... + anvn = 0. Sabemos que essa equac¸a˜o admite
pelo menos uma soluc¸a˜o: quando todos ai sa˜o iguais a zero. A
chamada soluc¸a˜o trivial. O conjunto A diz-se linearmente
independente(LI) caso a equac¸a˜o admita apenas a soluc¸a˜o trivial.
Se existirem soluc¸o˜es ai 6= 0, diz-se que o conjunto A e´ linearmente
dependente(LD).
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Outra definic¸a˜o Uma fam´ılia finita de vetores v1, ..., vn e´
linearmente dependente se e somente se existir uma combinac¸a˜o
linear a1v1 + ...+ anvn = 0 com os coeficientes a1 na˜o todos nulos.
Teorema
v1, ..., vn e´ LD se, e somente se um destes vetores for uma
combinac¸a˜o linear dos outros.
O que e´ equivalente a: Um conjunto de vetores e´ LI se,e somente se,
nenhum deles for uma combinac¸a˜o linear dos outros.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
No espac¸o vetorial V = R3, os vetores
v1 = (2,−1, 3),v2 = (−1, 0,−2) e v3 = (2,−3, 1) forma um
conjunto LD.
Example
No espac¸o vetorial V = R4, os vetores
v1 = (2, 2, 3, 4),v2 = (0, 5,−3, 1) e v3 = (0, 0, 4,−2) sa˜o LI.
Example
No espac¸o vetorial R3 o conjunto {e1, e2, e3} e´ LI.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
No espac¸o vetorial M(2, 2), o conjunto
A =
[−1 2
−3 1
]
,
[
2 −3
3 0
]
,
[
3 −4
3 1
]
e´ LD.
Observac¸o˜es Um conjunto A = {v1, ..., vn} e´ LI se, e somente se,
nenhum desses vetores for combinac¸a˜o linear dos outros. Para o
casos particular de dois vetores temos: Dois vetores sa˜o LD se, e
somente se, um vetor e´ mu´ltiplo escalar do outro.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Representac¸a˜o Geome´trica
Figura:
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Figura:
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
BASE E DIMENSA˜O
Um conjunto B = {v1, ..., vn} ⊂ V e´ uma base do espac¸o vetorial V
se:
1 B e´ LI;2 B gera V.
Example
B = {(1, 1), (−1, 0)} e´ base do R2.
Example
(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) e´ base canoˆnica do R3.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
B = {(1, 2), (2, 4)} na˜o e´ base do R2.
Example
B = {(1, 0), (0, 1), (3, 4)} na˜o e´ base do R2.
Example
B = {(1, 2, 1), (−1,−3, 0)} na˜o e´ base do R3.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Dimensa˜o do Espac¸o
Uma base de V e´ o menor nu´mero de vetores linearmente
independentes que gera o subespac¸o V. O nu´mero de vetores de
uma base de V chama-se de dimensa˜o de V.
Definic¸a˜o Seja V um espac¸o vetorial. Se V possui uma base com n
vetores, enta˜o V tem dimensa˜o n e anota-se dimV = n. Se V na˜o
possui base, dimV = 0.
Example
1 dimR2 = 2.
2 dimRn = n.
3 dimM(2, 2) = 4.
4 dimM(m, n) = m × n.
5 dimPn = n + 1.
6 dim0 = 0.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Observac¸o˜es
• Se S e´ um subespac¸o de V, enta˜o dimS ≤ n.No caso de
dimS = n, tem-se S = V .
• Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n. Enta˜o, qualquer
subconjunto de V com mais de n vetores e´ LD.
• Se dimV = n, qualquer subconjunto de V com n vetores LI e´ uma
base de V.
Example
O conjunto B = (2, 1), (−1, 3) e´ uma base do R2.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Teorema Seja V um espac¸o vetorial de dimensa˜o n. Qualquer
conjunto de vetores LI em V e´ parte de uma base, isto e´, pode ser
completado ate´ formar uma base de V.
Example
Sejam os vetores v1 = (1,−1, 1, 2) e v2 = (−1, 1,−1, 0). Completar
de modo a formar uma base do R4.
Teorema Seja B = {v1, v2, ..., vn} uma base de um espac¸o vetorial
V. Enta˜o, todo vetor v ∈ V se exprime de maneira u´nica como
combinac¸a˜o linear dos vetores de B.
Example
Considerando a base B = {(2, 1), (−1, 3)} do R2. Exprima os
vetores (3, 2)e(0,−2) como cominac¸a˜o linear dos vetores de B.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Componentes de um Vetor
Seja B = {v1, v2, ..., vn} uma base de V. Tomemos v ∈ V sendo
v = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn. Os nu´meros a1, a2, ..., anvn sa˜o
chamados componentes ou coordenadas de v em relac¸a˜o a base B e
se representa por: [v ]B = (a1, a2, ..., an) ou com a notac¸a˜o matricial:
[v ]B =

a1
a2
.
.
.
an

Esse n-upla e´ chamada vetor-coordenada de v em relac¸a˜o a` base B,
e o vetor coluna e´ chamado matriz coordenada de v em relac¸a˜o a`
base B.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
No R2, consideremos as bases A = {(1, 0), (0, 1)},
B = {(2, 0), (1, 3)} e C = {(1,−3), (2, 4)}. Dado o vetor v = (8, 6)
determine [v ]B , [v ]A e [v ]C
Figura:
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
O nu´mero de varia´veis livres e´ a dimensa˜o do espac¸o.
Varia´veis livres = Total de varia´veis - nu´mero de equac¸o˜es
Example
Determinar a dimensa˜o e uma base do espac¸o vetorial
S = {(x , y , z) ∈ R3/2x + y + z = 0}.
Example
Sejam os vetores v1 = (1, 2, 3), v2 = (0, 1, 2)ev3 = (0, 0, 1).
a Mostrar que o conjunto B = {v1, v2, v3} e´ uma base do R3.
b Determinar o vetor-coordenada (vB) e a matriz-coordenada de
v = (5, 4, 2) em relac¸a˜o a B.
c Determinar o vetor v ∈ R3 cujo vetor coordenada em relac¸a˜o a
B e´ vB = (2,−3, 4).
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Mudanc¸a de Base
Sejam A e B bases de um espac¸o vetorial V. Pretende-se relacionar
as coordenadas de um vetor v em relac¸a˜o a` base A com as
coordenadas do mesmo vetor v em relac¸a˜o a` base B.
Considerando o caso em que dimV = 2. Sejam as bases
A = {v1, v2} e B = {w1,w2}. Dado um vetor v ∈ V , com
vA = (x1, y1) e vB = (x2, y2). Por sua vez, os vetores da base A
podem ser escritos em relac¸a˜o a` base B, isto e´: v1 = a11w1 + a21w2
v2 = a12w1 + a22w2 ou na forma matricial:[
x2
y2
]
=
[
a11 a12
a21 a22
] [
x1
y1
]
ou simplesmente, utilizamos a equac¸a˜o: [v ]B = [I ]
A
B [v ]A
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Example
Sejam as bases A = {v1, v2} e B = {w1,w2} do R2, onde
v1 = (2,−1), v2 = (−1, 1),w1 = (1, 0),w2 = (2, 1).
a) Determinar a matriz mudanc¸a de base de A para B.
b) Utilizar a matriz [I ]AB para calcular [v ]B , sabendo que
[v ]A =
[
4
3
]
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
A inversa da Matriz de Mudanc¸a de Base. ([I ]AB)
−1=[I ]BA
Example
Sejam A = (2,−1), (3, 4) e B = (1, 0), (0, 1) bases de R2.
Determine:
a) [I ]BA
b) [I ]AB
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Matriz-Rotac¸a˜o
A matriz-rotac¸a˜o pode ser encarada como matriz-mudanc¸a de base
de P para C, isto e´:
[I ]PC =
[
cosθ −senθ
senθ cosθ
]
[I ]PC [v ]P = [v ]C
Example
Considerando vP = (4, 2), sendo P uma base para θ = 90.
Determine esse vetor na base canoˆnica.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
No caso da base de C para P, temos que:
[I ]CP =
[
cosθ senθ
−senθ cosθ
]
[I ]CP [v ]C = [v ]P
Example
Sendo uma base P relativa a rotac¸a˜o em 45º do sistema x0y, quais
as coordenadas do vetor v = (4, 2) nessa base.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
Exerc´ıcios do Boldrini
pa´g 129 (2,6,7,9,11,13,15,19,25,26,29,31)
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
As aplicac¸o˜es cujos dom´ınios e contradom´ınios sa˜o espac¸os vetoriais e,
ale´m disso, que preservam as operac¸o˜es de adic¸a˜o de vetores e multi-
plicac¸a˜o de um vetor por um escalar sa˜o denominadas Transformac¸o˜es
Lineares.
Sejam V e W espac¸os vetoriais, representamos a transformac¸a˜o do
espac¸o vetorial V no espac¸o vetorial W , escreve-se:
T : V →W .
Onde T estabelece uma func¸a˜o onde cada vetor de V possui um
vetor imagem em W .
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Example
T : <2 → <3 definida por T (x , y) = (2x , y , x + y)
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Definic¸a˜o
Sejam V e W espac¸os vetoriais. Uma aplicac¸a˜o T : V →W e´
chamada Transformac¸a˜o Linear se satisfaz as seguintes condic¸o˜es:
i T (v + w) = T (v) + T (w)
ii T (αv) = αT (v)
Para quaisquer v e w em V , e qualquer α em <.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Uma consequeˆncia da definic¸a˜o e´ que a Transformac¸a˜o Linear T :
V →W transforma o vetor nulo de V no vetor nulo de W , ou seja,
T (0) = 0.
Example
T : <3 → <2 definida por T (x , y , z) = (x + y + z , 2y + 1)
Example
T : < → < definida por T (x) = (x2)
Example
A projec¸a˜o ortogonal do <2 sobre < e´ uma Transformac¸a˜o Linear?
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Uma transformac¸a˜o linear podera´ ser determinada se conhecermos
as imagens dos vetores de uma base de seu dom´ınio, ou seja, con-
siderando uma base β = {v1, v2, ..., vn} de V , temos que qualquer
vetor v de V podera´ ser escrito como v = α1v1 + α2v2 + ...+ αnvn.
Seja T : V →W uma transformac¸a˜o linear, enta˜o:
T (v) = α1T (v1) + α2T (v2) + ...+ αnT (vn)
Se T (v1),T (v2), ...,T (vn) sa˜o conhecido enta˜o podemos obter a
imagem de T (v).
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
TRANSFORMAC¸O˜ES LINEARES
Example
Qual a transformac¸a˜o linear T : <2 → <3 tal que
T (1, 0) = (2,−1, 0) e T (0, 1) = (0, 0, 1)?
Example
Seja T : <3 → <2, uma transformac¸a˜o linear, determine T (5, 3,−2)
sabendo que: T (0, 1, 0) = (1,−2); T (1, 0, 1) = (3, 1);
T (1, 1, 0) = (0, 2).
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
NU´CLEO DE UMA TRANSFORMAC¸A˜O LINEAR
Chama-se nu´cleo de uma transformac¸a˜o linear T : V → W ao
conjunto de todos os vetores de V que sa˜o transformados no vetor
nulo de W . Denomina-se esse conjunto como ker(T ). Assim:
ker(T ) = {v ∈ V ;T (v) = 0}
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
NU´CLEO DE UMA TRANSFORMAC¸A˜O LINEAR
Example
Determinar o nu´cleo da seguinte transformac¸a˜o linear T : <2 → <2
tal que T (x , y) = (x + y , 2x + y).
Example
Determinar o nu´cleo da seguinte transformac¸a˜olinear T : <3 → <2
tal que T (x , y , z) = (x − y + 4z , 3x + y + 8z).
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
IMAGEM DE UMA TRANSFORMAC¸A˜O LINEAR
Chama-se imagem de uma transformac¸a˜o linear T : V → W ao
conjunto dos vetores w em W que sa˜o imagens de pelo menos um
vetor v em V . Indica-se a imagem por Im(T) ou tambe´m T(v).
Assim:
Im(T ) = {w ∈W ;T (v) = w} para algum v ∈ V .
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
IMAGEM DE UMA TRANSFORMAC¸A˜O LINEAR
Example
Determinar a imagem da seguinte transformac¸a˜o linear
T : <3 → <3 tal que T (x , y , z) = (x , 2y , 0).
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II
REFEREˆNCIAS
BOLDRINI, J.L. A´lgebra Linear. 3 ed. Sa˜o Paulo: Harbra, 1980.
HEFEZ, A; FERNANDEZ, C. S. Introduc¸a˜o a` A´lgebra Linear.
Colec¸a˜o PROFMAT. Rio de Janeiro: SBM, 2014.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Anal´ıtica.
2.ed. Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 1987.
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. A´lgebra Linear. 2.ed.
Sa˜o Paulo: McGraw-Hill, 1987.
Ricardo Almeida A´lgebra Linear II