P2 2015.2 Pablo Guarino UFF

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Universidade Federal Fluminense – UFF
Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica – IME
Departamento de Matema´tica Aplicada – GMA
Professor Pablo Guarino
2a¯ prova de Ca´lculo III A (2015-2) - 17/03/2016
Questa˜o Pontos Notas
1 2,5
2 2,5
3 2,5
4 2,5
Total 10
Nome:
Observac¸o˜es: A interpretac¸a˜o das questo˜es faz parte dos crite´rios de avaliac¸a˜o desta prova.
Responda cada questa˜o de maneira clara e organizada. Resultados apresentados sem jus-
tificativas do racioc´ınio na˜o sera˜o considerados. Qualquer aluno pego consultando alguma
fonte ou colega tera´, imediatamente, atribu´ıdo grau zero na prova. O mesmo ocorrera´ com o
aluno que facilitar a consulta do colega. Na˜o e´ permitido sair da sala durante a prova. Na˜o
e´ permitido o uso de calculadora. O celular deve estar desligado e guardado.
Observac¸a˜o: Se for necessa´rio em alguma questa˜o, lembre-se que:
cos2 x =
1
2
(
1 + cos(2x)
)
, e que
∫ 1
0
√
1 + t2 dt =
1
2
(√
2 + ln(1 +
√
2)
)
.
Questa˜o 1 (2,5 pontos)
(a) Calcule a a´rea da superf´ıcie S ⊂ R3 obtida girando a curva y = cos z , x = 0 , z ∈
[−pi/2, pi/2] em torno do eixo vertical z.
(b) Calcule
∫∫
S f dS, onde f(x, y, z) =
√
1− x2 − y2.
Questa˜o 2 (2,5 pontos)
Considere o campo de vetores X em R2 dado por:
X(x, y) =
(
1 + 2x cos y , 7xy − x2 sen y) .
Calcule
∫
γ
X dr, onde γ e´ o arco do gra´fico de y = cosx que liga o ponto (pi/2 , 0) ao
ponto (−pi/2 , 0).
Questa˜o 3 (2,5 pontos)
Considere o campo de vetores X em R3 dado por:
X(x, y, z) =
(
esenx − 2y , −z + y , x3 + esen z) .
Calcule
∫
γ
X dr, onde a curva γ e´ dada pelas condic¸o˜es:
x ≥ 0 , y2 − z = 0 , x+ z = 1 ,
orientada no sentido de crescimento de y.
Questa˜o 4 (2,5 pontos)
Verifique o Teorema de Gauss calculando as duas integrais do enunciado paraX(x, y, z) =
(x, y, z) e o domı´nio em R3 limitado pelas superf´ıcies z − x2 − y2 = 0 e z − 4 = 0.