CIII_Aula 1_Sequencias

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Aula 1 
Sequências 
GEX 108 – Cálculo III 
Profª Evelise 
 
Aula de hoje: 
 
 
• Sequências Infinitas, 
• Limite de uma sequência, 
• Teorema do confronto para sequências. 
 
Sequência Infinita 
 
• Sucessão de coisas em uma ordem 
determinada 
 
• Sequência infinita: sucessão interminável de 
números, chamados TERMOS 
 
 a1, a2, a3,... 
Padrão e termo geral 
• Sequências possuem um padrão definido 
 
 
• Termo geral: função que relaciona o termo 
de uma sequência com sua posição 
 
2, 4, 6, 8, 16, ... 
f(n) = 2n 
Exemplo 1* 
 
• Para cada item, determine o termo geral da sequência. 
Utilize a notação com chave. 
 
a) ½, 2/3 , 3/4 ,4/5 , ... 
b) ½, -2/3 , ¾ , -4/5 , ... 
c) 1,3,5,7,... 
 
 
 
 *lousa 
Definição formal 
• Uma sequência é uma função cujo domínio é 
um conjunto de inteiros. 
• Especificamente, veremos a expressão 
 
como sendo uma notação alternativa para 
 
 f(n) =an para n=1,2,3,... 
 
1n n
a


Limites de uma sequência 
 
 
 
 
 
 
Sequências são funções limite!! 
Sequências infinitas: estudar o limite que tende 
ao infinito! 
 
 
 * 
Exemplo 2: 
 
a)Os termos na sequência {n+1} crescem sem 
limitação 
b)Os termos da sequência {n/n+1} crescem em 
direção a um “valor limite”: 1 
 
 
 
*gráficos na lousa 
Definição formal 
 
Dizemos que uma sequência {an} 
converge para o limite L se 
dado qualquer ε >0, existe um 
número inteiro positivo N tal 
que | an – L|<ε para todo n>N, 
ou seja: 
 
 
 
 
• A sequência diverge quando 
não converge para nenhum 
limite finito. 
 
 
lim n
n
a L


Teorema: Se as sequências {an } e {bn } convergem e 
c é uma constante, então: 
lim
n
c c


1lim limn n
n n
ca c a cL
 
 
1 2lim( ) lim limn n n n
n n n
a b a b L L
  
    
E ainda... 
1 2lim( ) lim limn n n n
n n n
a b a b L L
  
    
1 2lim( . ) lim .lim .n n n n
n n n
a b a b L L
  
 
1
2
lim
lim
lim
n
n n
n
n n
n
aa L
b b L



 
  
 
Exemplo 3*: 
 Determine se a sequência converge ou diverge. 
Se convergir, encontre o limite. 
 
 
 
 
 
 
*lousa 
1
)
2 1 n
n
a
n


 
 
 
1
1
) ( 1)
2 1
n
n
n
b
n



 
 
 
Posição par e ímpar se comportam de 
maneira diferente: 
Exemplo: 
 ½, 1/3, 1/22, 1/32, 1/23,1/33... 
 
 
 
 
• A sequência do exemplo acima converge??* 
 
 *lousa 
TEOREMA: Uma sequência converge para o limite L 
se e somente se as sequências dos termos de 
posição par e ímpar convergem ambas para L. 
 
Teorema do Confronto para 
sequências. 
Sejam {an }, {bn } e {cn } sequências tais que: 
 an ≤ bn ≤ cn 
(para todos os valores de n acima de algum índice 
N). 
Se as sequências {an } e {cn } tiverem um limite 
comum L quando n tende a infinito, então: 
 {bn } também tem limite L 
 
Quando n tende a infinito 
Exemplo 4* 
Determine o limite da sequência, verificando se 
a mesma é convergente ou divergente: 
 
 
 
 
*lousa 
2cos
3n
n 
 
 
Relembrando... 
• Sequência, 
• Limite de uma sequência, 
• Propriedades do limite se aplicam 
no estudo das sequências. 
• Teorema do confronto. 
 
• Próxima aula: Sequências monótonas e séries 
infinitas.