Matriz Inversa - Milene UFF

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MATRIZ 
INVERSA 
DEFINIÇÃO 
¢Dada uma matriz quadrada A, de ordem 
n, se X é uma matriz tal que AX = In e XA 
= In, então X é denominada matriz inversa 
de A e é indicada por A-1. Quando existe a 
matriz inversa de A, dizemos que A é uma 
matriz inversível ou não-singular. 
 
¢Verifique se existe e, em caso afirmativo, 
 
 determine a matriz inversa de A = 
 
 
 
 
 
ú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
++
++
Þú
û
ù
ê
ë
é
=ú
û
ù
ê
ë
é
×ú
û
ù
ê
ë
é
10
01
3232
8585
10
01
32
85
dbca
dbca
dc
ba
23
032
185
=-=Þ
î
í
ì
=+
=+
cea
ca
ca
58
132
085
-==Þ
î
í
ì
=+
=+
deb
db
db
Então X = ú
û
ù
ê
ë
é
-
-
52
83
, para AX = I2. 
MATRIZES ELEMENTARES 
Chamamos de operações elementares nas 
linhas de uma matriz, às seguintes operações: 
 
¢ i) a troca da ordem de duas linhas da matriz; 
 
¢ ii) a multiplicação uma linha da matriz por 
uma constante diferente de zero; 
 
¢ iii) a substituição uma linha da matriz por sua 
soma com outra linha multiplicada por uma 
constante diferente de zero. 
 
DEFINIÇÃO 
 
¢Uma matriz elementar é uma matriz obtida 
por meio de operações elementares nas linhas 
de uma matriz identidade. 
 
 
EXEMPLO 
1. Considere a matriz identidade 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
1000
0100
0010
0001
I . Então as matrizes 
 
 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
1000
0100
0050
0001
1E , 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
=
1000
0001
0010
0100
2E , 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
=
1020
0100
0010
0001
3E , são matrizes 
 
elementares obtidas de I, pela aplicação de uma única operação elementar 
em suas linhas. 
¢ Se representa a i-ésima linha de I, então, estas 
matrizes foram obtidas da seguinte maneira: 
 
 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
1000
0100
0010
0001
Þ
×= 22 5 LL
 1
1000
0100
0050
0001
E=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
1000
0100
0010
0001
Þ
« 31 LL
 2
1000
0001
0010
0100
E=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
 
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
1000
0100
0010
0001
Þ
-= 244 2LLL
3
1020
0100
0010
0001
E=
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
 
TEOREMA 
¢Seja A uma matriz quadrada. Se 
uma seqüência de operações 
elementares nas suas linhas reduz A 
a I, então a mesma seqüência de 
operações elementares transforma I 
em . 
 
EXEMPLO 
1. Ache a inversa da matriz 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
=
321
121
121
A 
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
100321
010121
001121
M
M
M
Þ
« 21 LL
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
-
-
100321
001121
010121
M
M
M
133
122
LLL
LLL
+=
Þ
+=
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
110440
011240
010121
M
M
M
Þ
= 22
4
1
LL
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ë
é
110440
0
4
1
4
1
2
1
10
010121
M
M
M
233
211
4
2
LLL
LLL
-=
Þ
-=
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
101200
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001
M
M
M
Þ
= 33
2
1
LL
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
2
1
0
2
1
100
0
4
1
4
1
2
1
10
0
2
1
2
1
001
M
M
M
Þ
-= 322
2
1
LLL
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
2
1
0
2
1
100
4
1
4
1
2
1
010
0
2
1
2
1
001
M
M
M
ú
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
-
-
-
=-
2
1
0
2
1
4
1
4
1
2
1
0
2
1
2
1
1
A
. 
Assim