CALCULO1 ad2 gab2011 2

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Respostas AD02 - 2/2011 - CÁLCULO I
QUESTÃO 01. [3, 0 pontos]
Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) =
1− cos x
x2 + 4
(b) f(x) = sen (2x3−1) (c) f(x) = 2x−
√
x2 + 3x− 4
Solução:
(a) f ′(x) =
sen x (x2 + 4)− (1− cosx)(2x)
(x2 + 4)2
=
(x2 + 4) sen x+ 2x cosx− 2x
(x2 + 4)2
(b) f ′(x) = cos (2x3 − 1) (6x2) = 6x2 cos (2x3 − 1)
(c) f ′(x) = 2− 1
2
√
x2 + 3x− 4 (2x+ 3) = 2−
2x+ 3√
x2 + 3x− 4
QUESTÃO 02. [2, 0 pontos]
Considere a função f(x) = x2 + 4x − 3 definida no intervalo [−4, 1]. Verifique que as
hipóteses do Teorema do Valor Médio são satisfeitas e determine c ∈ (−4, 1) tal que f ′(c) = 1.
Solução:
Temos que:
(i) f é contínua em [−4, 1];
(ii) f é derivável em (−4, 1), com f ′(x) = 2x+ 4, para todo x ∈ (−4, 1).
Logo, pelo Teorema do Valor Médio, existe c ∈ (−4, 1) tal que:
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a =
f(1)− f(−4)
1− (−4) =
((1)2 + 4(1)− 3)− ((−4)2 + 4(−4)− 3)
5
=
5
5
= 1.
Como, por outro lado, f ′(c) = 2c+ 4, segue que 2c+ 4 = 1 e, daí, c =
−3
2
.
QUESTÃO 03. [2, 5 pontos]
Sejam α, β ∈ R e y = f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação
x2 + βy − αxy = 1.
Sabendo que −1 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (−2, 1),
determine α e β.
Solução:
Sabendo que −1 é a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P = (−2, 1),
determine α e β.
Primeiramente, como f(−2) = 1, temos que:
1
(−2)2 + β(1)− α(−2)(1) = 1 ⇒ 2α+ β = −3. (1)
Por outro lado, derivando implicitamente, obtemos:
2x+ β
dy
dx
− αy − αx dy
dx
= 0 ⇒ (β − αx) dy
dx
= αy − 2x.
Como f ′(−2) = dy
dx
∣∣
∣
x=−2
= −1, segue que:
(β − α(−2))(−1) = α(1)− 2(−2) ⇒ −3α− β = 4. (2)
Das equações (1) e (2), obtemos α = β = −1.
QUESTÃO 04. [2, 5 pontos]
Um trem deixa uma estação, num certo instante, e vai para a direção norte à razão de
80 km/h. Um segundo trem deixa a estação 2 horas depois e vai na direção leste à razão de
95 km/h. Determine a taxa na qual estão se separando os dois trens 2 horas e 30 minutos
depois do segundo trem deixar a estação.
Solução:
Sejam x = x(t) a posição do segundo trem a sair, y = y(t) a posicão do primeiro trem a
sair e z = z(t) a distância entre os dois trens. Então, z2 = x2 + y2.
Temos que:
dy
dt
= 80, para todo t ≥ 0, dx
dt
= 95, para todo t ≥ 2, com y(0) = 0 e x(2) = 0.
Como z2 = x2 + y2, segue que:
2z
dz
dt
= 2x
dx
dt
+ 2y
dy
dt
= 2x 95 + 2y 80 = 190x+ 160y.
Portanto,
dz
dt
=
95 x(t) + 80 y(t)
z(t)
, para todo t ≥ 2.
Agora, 2 horas e 30 minutos depois do segundo trem sair, ele estará a 95×2.5 = 237.50 km
da estação e o primeiro trem já terá saído há 4 horas e 30 minutos, estando a 80× 4.5 = 360
km da estação.
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Logo, x(4.5) = 237.50 e y(4.5) = 360.
A distância entre os trens é:
z(4.5) =
√
(237.50)2 + (360)2 = 431.28
Portanto,
dz
dt
∣
∣
∣
t=4.5
=
95 x(4.5) + 80 y(4.5)
z(4.5)
= 119.09 km/h é a taxa de variação procurada.
Nancy Cardim e Cristiane de Mello
Coordenadoras de Cálculo I
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