cal1 1.Limite de funcoes reais UFAL

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FI´SICA – UFAL
Curso de Ca´lculo 1:
Limite de Func¸o˜es Reais
por
Carlos Alberto Silva dos Santos
Maceio´ – Agosto – 2009
Limite de Func¸o˜es Reais 1
A noc¸a˜o de limite de func¸o˜es constitui a base do Ca´lculo Diferencial. Neste
capı´tulo, estudaremos este conceito, aproveitando, inicialmente, o lado intuitivo
e culminando com uma definic¸a˜o de limite mais elaborada. Depois, alicerc¸ados
nessa ide´ia, introduziremos a noc¸a˜o de derivada. Poderemos, enta˜o, perceber
numerosas aplicac¸o˜es deste assunto que pode parecer um tanto abstrato num
primeiro contato.
Exemplo 1 Vamos considerar a func¸a˜o f : R → R definida em por y = f(x) =
2x − 1. Queremos saber o que ocorre com os valores de f(x) quando x assume
valores pro´ximo de 2.
Observe a tabela abaixo para a func¸a˜o f(x) = 2x− 1.
x f(x) x f(x)
1,8 2,6 2,2 3,4
1,9 2,8 2,1 3,2
1,99 2,98 2,01 3,02
Vemos nesta tabela que quanto mais pro´ximo de 2 tomamos o ponto x, mais
o valor de f(x) se aproxima de 3. Diremos que o limite de f(x) quando x tende a
2 e´ 3.
Na verdade podemos obter valores de y ta˜o pro´ximos de 3 quanto quisermos,
bastando para isso tomarmos valores de x suficientemente pro´ximos de 2. Assim,
se quisermos 2, 9 < y < 3, 1, basta que tomemos 1, 95 < x < 2, 05.
De fato, temos:
2, 9 < y < 3, 1 =⇒ 2, 9 < 2x− 1 < 3, 1 =⇒ 3, 9 < y < 4, 1 =⇒ 1, 95 < x < 2, 05.
1Material produzido por Prof. Jose´ Adonai Pereira e adaptado por Prof. Carlos Alberto.
2
Isto e´, 3− 0, 1 < y < 3 + 0, 1 quando 2− 0, 05 < x < 2 + 0, 05, ou seja,
3− 0, 1 < f(x) < 3 + 0, 1 quando 2− 0, 05 < x < 2 + 0, 05.
Se pretendeˆssemos 2, 99 < y < 3, 01, bastaria que toma´ssemos 1, 995 < x < 2, 005,
isto e´ ,
2− 0, 005 < x < 2 + 0, 005 =⇒ 3− 0, 01 < f(x) < 3 + 0, 01.
Podemos, portanto, dizer que f(x) se aproxima de 3 quando x se aproxima de 2,
ou melhor, f(x) toma valores ta˜o pro´ximos de 3 quanto quisermos, para valores
de x suficientemente pro´ximos de 2. Diz-se que o limite de f(x) e´ 3 quando x
tende a 2, o que denota-se por:
lim
x→2
f(x) = 3.
Mais geralmente, dado um nu´mero real ε > 0, sempre existe em correspondeˆncia
algum nu´mero real δ > 0 de modo que:
2− δ < x < 2 + δ =⇒ 3− ε < f(x) < 3 + ε.
De fato,
2−ε/2 < x < 2+ε/2⇒ 4−ε < 2x < 4+ε⇒ 3−ε < 2x−1 < 3+ε⇒ 3−ε < f(x) < 3+ε.
Logo, para cada ε > 0 dado, existe por exemplo δ =
ε
2
de modo que:
2− δ < x < 2 + δ =⇒ 3− ε < f(x) < 3 + ε.
ou, usando o valor absoluto, |x− 2| < δ =⇒ |f(x)− 3| < ε.
3
Exemplo 2 E´ dada a func¸a˜o f definida em R − {2} por f(x) = (2x− 1)(x− 2)
x− 2 .
Observe que devemos ter
lim
x→0
f(x) = −1, lim
x→1
f(x) = 1, e lim
x→1/2
f(x) = 0.
E quando x se aproxima de 2, o que ocorre com os correspondentes valores de
f(x)? Quando x se aproxima de 2, ou por valores menores que 2 (pela esquerda)
ou por valores maiores que 2 (pela direita), mantendo-se diferente de 2, notamos
que f(x) toma valores ta˜o pro´ximos de 3 quanto quisermos. Enta˜o, lim
x→2
f(x) = 3
embora na˜o exista f(2).
Exemplo 3 Consideremos f : R→ R definida por
f(x) =

(2x− 1)(x− 2)
x− 2 , se x 6= 2
5, se x = 2
Temos lim
x→2
f(x) = 3, mas f(2) = 5, e, portanto, lim
x→2
f(x) 6= f(2).
Observando os exemplos anteriores, notamos que a frase “x tende a a”, x→ a,
quer dizer: x se aproxima de a por valores maiores que a ou por valores menores
que a,mantendo-se diferente de a. Portanto quando calculamos lim
x→a
f(x) na˜o cogi-
tamos do valor que f(x) possa assumir em x = x0.
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Limite
Agora, vamos formalizar a noc¸a˜o de limite.
Definic¸a˜o 1 Dada a func¸a˜o f definida num intervalo I ⊂ R, exceto possivelmente,
em a, dizemos que o limite de f(x) quando x tende a a e´ L , e escreveremos
lim
x→a
f(x) = L,
se para cada nu´mero real ε > 0 dado arbitrariamente, existe um nu´mero δ > 0, que
pode depender de �, tal que para x ∈ I com
(a− δ < x < a+ δ e x 6= a) =⇒ L− ε < f(x) < L+ ε.
Em outras palavras
∀ � > 0, ∃ δ > 0 tal que x ∈ I e 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < �.
Conve´m observar que a definic¸a˜o de limite permite provar que lim
x→a
f(x) = L,
mas na˜o indica como obter L. Ale´m disso, sa˜o grandes as dificuldades que
surgem ao aplica´-la para func¸o˜es um pouco mais elaboradas. Veremos agora
algumas propriedades que eliminam parte dessas dificuldades.
Teorema 1 [Propriedades de Limites] Consideremos duas func¸o˜es Sejam f, g :
I → R tendo limite em um certo ponto a ∈ I, digamos lim
x→a
f(x) = L e lim
x→a
g(x) = S.
Enta˜o, valem os seguintes resultados:
5
(i) [Limite da soma] Quando x tende a a, a func¸a˜o soma de f com g ,f(x)+ g(x),
tende a L+ S, ou seja,
lim
x→a
(f(x) + g(x)) = L+ S,
isto e´, o “limite da soma e´ a soma dos limites”, desde que as parcelas tenham
limite.
(ii) [Limite do produto] Quando x tende a a, a func¸a˜o produto de f por g,
f(x)g(x) tende a LS, ou seja,
lim
x→a
(f(x)g(x)) = LS,
isto e´, o “limite do produto e´ o produto dos limites”, desde que os fatores
tenham limite.
(iii) [Limite do quociente] Quando x tende a a, se S 6= 0, a func¸a˜o quociente de
f por g,
f(x)
g(x)
tende a
L
S
, ou seja,
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
L
S
,
isto e´, o “limite do quociente e´ o quociente dos limites”, desde que o numerador
e o denominador tenham limite, e este u´ltimo seja na˜o-nulo.
Demonstrac¸a˜o:
Vejamos a prova de (i). Seja � > 0. Temos que existem δ1 > 0 e δ2 > 0 tais que
x ∈ I, 0 < |x− a| < δ1 =⇒ |f(x)− L| < �
2
,
e
x ∈ I, 0 < |x− a| < δ2 =⇒ |g(x)− S| < �
2
.
(Note que aplicamos simplesmente a definica˜o de limite para f e g, obtendo δ1 e
δ2, a partir de �/2.) Tomando δ = min{δ1, δ2} as duas implicaco˜es obtidas ocorrem
simultaneamente, isto e´,
x ∈ I, 0 < |x− a| < δ =⇒ |f(x)− L| < �
2
e |g(x)− S| < �
2
.
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Logo, se x ∈ I, 0 < |x− a| < δ, enta˜o
|f(x) + g(x)− (L+ S)| ≤ |f(x)− L|+ |g(x)− S| < �
2
+
�
2
= �.
Isto significa que lim
x→a
(f(x) + g(x)) = L+ S.
�
Exemplo 4 lim
x→−2
(3x) = lim
x→−2
3 · lim
x→−2
x = 3 · (−2) = −6.
Exemplo 5 lim
x→2
x3 = lim
x→2
(x · x · x) =
(
lim
x→2
x
)
·
(
lim
x→2
x
)
·
(
lim
x→2
x
)
= 23 = 8.
Exemplo 6 lim
x→1
(2x2 − 3x+ 3) = lim
x→1
2x2 + lim
x→1
(−3x) + lim
x→1
3 = 2 + (−3) + 3 = 2.
Exemplo 7 Se m e b sa˜o constantes quaisquer, enta˜o lim
x→a
(mx+ b) = ma+ b.
Exemplo 8 Se f e´ dada pelo polinoˆmio f(x) = anxn+an−1xn−1+ · · ·+a1x+a0, temos
lim
x→a
f(x) = f(a).
Exemplo 9 lim
x→5
x+ 1
x− 1 =
lim
x→5
(x+ 1)
lim
x→5
(x− 1) =
6
4
=
3
2
.
Exemplo 10 lim
x→1
x2 − 1
x− 1 = limx→1
(x− 1)(x+ 1)
(x− 1) = limx→1(x+ 1) = 2.
Teorema 2 [Unicidade do limite] Se lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
f(x) = L2, enta˜o L1 = L2.
Teorema 3 Se lim
x→a
f(x) = L e n ∈ Z∗+, enta˜o lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
L , se L > 0.
Exemplo 11 Dada
f(x) =
 x
2 − 1, se x < 1
x
2
, se x ≥ 1,
temos que
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
(x2 − 1) = −1 e lim
x→2
f(x) = lim
x→0
x
2
= 1
Exemplo 12 Consideremos
f(x) =
 x
2 − 1, se x < 1
x
2
, se x ≥ 1
7
Temos que:
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
(x2 − 1) = −1 e lim
x→2
f(x) = lim
x→2
x
2
= 1.
Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se aproxima de 1/2
e quando x se aproxima de 1 pela esquerda, f(x) se aproxima de zero. Neste caso,
dizemos que na˜o existe lim
x→1
f(x). Entretanto, podemos falar nos limites laterais:
(i) lim
x→1+
f(x) =
1
2
, onde x → 1+, e diremos que o limite a` direita de f em x = 1 e´
1/2;
(ii) lim
x→1−
f(x) = 0, e diremos que o limite a` esquerda de f em x = 1 e´ 0.
Notamos que, quando x se aproxima de 1 pela direita, f(x) se aproxima de 1/2
e quando x se aproximade 1 pela esquerda, f(x) se aproxima de zero, dizemos
que na˜o existe lim
x→1
f(x).
Limites Laterais
Nesta sec¸a˜o, abordaremos as noc¸a˜o de limite lateral com um pouco mais de
rigor.
Definic¸a˜o 2 Seja f definida em um intervalo aberto (a, c), para algum c > a. Di-
remos que L ∈ R e´ o limite a` direita de f em x = a, o que sera´ denotado por,
lim
x→a+
f(x) = L, se
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que a < x < a+ δ =⇒ |f(x)− L| < ε.
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Definic¸a˜o 3 Seja f definida em um intervalo aberto (b, a), para algum b < a. Di-
remos que L ∈ R e´ o limite a` esquerda de f em x = a, o que sera´ denotado por,
lim
x→a−
f(x) = L, se
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que a− δ < x < a =⇒ |f(x)− L| < ε.
Exemplo 13 Defina f(x) =
√
x− 4 que, claro, esta´ definida para x ≥ 4. Temos que
limx→4+ f(x) = 0. Entretanto, na˜o faz sentido se falar no limite a` esquerda em a = 4,
posto que f na˜o esta´ definida para valores de x menores do que 4.
Exemplo 14 Consideremos a func¸a˜o
f(x) =

x2, se x < 2
1, se x = 2,
4− x, se x > 2,
a = 0
Enta˜o temos lim
x→2−
f(x) = lim
x→2−
x2 = 4 e lim
x→2+
f(x) = lim
x→2+
(4− x) = 2.
Obseve que f(2) = 1, isto e´, f(2) 6= 4 e f(2) 6= 2. Portanto os limites laterais sa˜o
ambos diferentes do valor da func¸a˜o no ponto 2.
Exemplo 15 Se
f(x) =

−1, se x > 0
0, se x = 0
1, se x < 0,
enta˜o lim
x→0−
f(x) = −1, lim
x→0+
f(x) = 1. Em particular, observe que f na˜o tem limite
em a = 0.
Teorema 4 lim
x→a
f(x) = L⇐⇒ lim
x→a−
f(x) = L = lim
x→a+
f(x) = L.
Exemplo 16 Seja
f(x) =

x3 + 1, se x < 1
3, se x = 1
x+ 1, se x > 1,
Enta˜o temos
lim
x→1+
f(x) = lim
x→1+
(x+ 1) = 2
9
e
lim
x→1−
f(x) = lim
x→1−
(x3 + 1) = 2.
Assim pelo Teorema 4 temos que lim
x→1
f(x) = 2.
Observe que f(1) = 3 6= 2 = lim
x→1
f(x).
Exemplo 17 Consideremos a func¸a˜o
f(x) =
 x2 − 2x, se x ≤ 34− x, se x > 3 .
Enta˜o,
lim
x→3+
f(x) = lim
x→3+
(4− x) = 1
e
lim
x→3−
f(x) = lim
x→3−
(x2 − 2x) = 3.
Logo pelo Teorema 4, na˜o existe lim
x→3
f(x).
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