Relatório de experimento: rolamento e lançamento de projéteis

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL 
FÍSICA EXPERIMENTAL 
 
Acadêmicos: Francinaldo Gomes e Francksuel Barbosa Machado 
Turma: 5M456 
Professor: Marcio Correa 
Data do experimento: 31/03/2016 Data de entrega: 07/04/2016 
 
Lançamento de projéteis 
Objetivos: 
 Neste experimento, temos como objetivo determinar o alcance de uma esfera 
ao descer uma rampa, aplicando a lei de Conservação da Energia Mecânica, 
utilizando as equações do lançamento horizontal e expressando os resultados em 
termos de valor médio e desvio padrão. Além disso, diferenciar, selecionar e entender 
o melhor modelo matemático para descrever o movimento. 
Introdução: 
 A lei da conservação da energia mecânica diz que em um sistema em que 
agem apenas forças conservativas, como exemplo a gravidade, a energia mecânica 
permanece constante. A energia mecânica pode ser definida pela soma das energias 
potencial e cinética. 
 A única energia potencial que consideramos para esse experimento é a 
gravitacional. Esta pode ser traduzida como o trabalho da força peso. Para 
exemplificar, quando erguemos algum objeto a energia é transferida para ele em forma 
de trabalho, ou energia potencial gravitacional, que posteriormente pode ser 
transformada em energia cinética ao liberarmos o objeto. Esta energia pode ser 
expressa pela seguinte equação: 
 𝐸𝑝 = 𝑚𝑔ℎ (1) 
onde m é a massa do corpo, g é a aceleração da gravidade e h é a altura com relação 
ao referencial adotado. 
 A energia cinética está relacionada ao movimento do corpo. Vamos considerar 
a energia cinética de translação e de rotação. A energia cinética de translação leva em 
consideração o movimento do centro de massa do corpo e pode ser expressa como: 
 
𝐸𝑐𝑡 = 
𝑚𝑣2
2
 (2) 
 
onde v é a velocidade de translação do corpo e m a massa. 
 Por outro lado, a energia cinética de rotação leva em consideração o 
movimento de todas as partículas do corpo em torno de seu próprio eixo (centro de 
massa). Pode ser equacionada da seguinte forma: 
 
𝐸𝑐𝑟 =
𝑙𝑤2
2
 (3) 
2 
 
sendo que I é o momento de inércia do corpo, que nos diz de que forma está 
distribuída a massa ao redor do seu eixo de rotação; e w é a velocidade angular, que 
pode ser encontrada pela razão entre a velocidade de translação e o raio do corpo. 
 No nosso experimento, vamos analisar o movimento que uma esfera descreve 
ao descer um trilho e ser lançada horizontalmente a partir deste. Primeiramente, 
desprezamos o rolamento da esfera no trilho, ou seja, suponhamos que a esfera 
deslize sobre a superfície. 
Observando apenas o movimento de abandono da esfera de uma altura Y da 
rampa, até o momento em que ela é lançada da rampa de uma altura h, utilizando a lei 
de conservação de energia, temos que: 
 𝐸𝑚𝑖 = 𝐸𝑚𝑓 (4) 
Onde Emi é a energia mecânica inicial, e Emf é a energia mecânica final. 
Como o corpo é abandonado na rampa a partir do repouso, inicialmente só 
teremos energia potencial gravitacional, teoricamente. Considerando a altura y, pela 
equação 1 temos que: 
 𝐸𝑚𝑖 = 𝑚𝑔𝑦 (5) 
 Já no fim da rampa, a esfera encontra-se em movimento a energia mecânica 
será dada pela soma das energias cinética e gravitacional do corpo. Considerando h e 
v como a altura e a velocidade que o corpo deixa a rampa, respectivamente, temos 
que: 
𝐸𝑚𝑓 = 𝑚𝑔ℎ + 
𝑚𝑣2
2
 (6) 
 
Substituindo (5) e (6) em (4), chegamos a seguinte equação: 
 
𝑚𝑔𝑦 = 𝑚𝑔ℎ + 
𝑚𝑣2
2
 (7) 
 
Através de manipulações algébricas em (7), obtemos: 
 𝑣 = √2𝑔(𝑦 − ℎ) (8) 
Agora observamos o movimento do momento em que a esfera deixa o trilho até 
o momento que ela toca a mesa, para a direção horizontal, por meio da equação 
horária (MRU), temos que: 
 ∆𝑥 = 𝑣𝑡 (9) 
onde ∆x é o alcance horizontal da esfera para o modelo que não considera o 
rolamento da esfera (Asr). 
Na direção vertical, através da função horária (MRUV), considerando altura 
final e a velocidade inicial como nulas (já que o lançamento foi feito na direção 
horizontal não temos velocidade vertical), obtemos a seguinte equação: 
 
ℎ = 
𝑔𝑡2
2
 . (10) 
 
3 
 
Colocando o tempo em função da altura em (10), chegamos em: 
 
𝑡 = √
2ℎ
𝑔
 (11) 
 
Onde t é o tempo de queda da esfera. Como o tempo de movimento é o 
mesmo para as direções vertical e horizontal, podemos substituir (11) em (9) e 
encontrar 
𝐴𝑠𝑟 = √
2ℎ
𝑔
 . 𝑣 (12) 
 
Finalmente, tendo a velocidade que encontramos em (8), e substituindo em 
(12), com algumas manipulações algébricas, encontramos uma equação para o 
alcance horizontal dependente apenas das alturas de abandono e lançamento: 
 𝐴𝑠𝑟 = 2√ℎ(𝑦 − ℎ) (13) 
Agora, reformularemos as equações obtidas levando em consideração a 
rotação da esfera. 
A energia mecânica inicial é mantida, mudando apenas a energia mecânica 
final, que adicionamos a energia cinética de rotação, através da seguinte relação: 
𝐸𝑚𝑓 = 𝑚𝑔ℎ + 
𝑚𝑣2
2
+
𝑙𝑤2
2
 (14) 
Substituindo (5) e (14) em (4), temos que: 
 
𝑚𝑔ℎ = 𝑚𝑔ℎ + 
𝑚𝑣2
2
+
𝑙𝑤2
2
 . (15) 
 
O momento de inércia l de uma esfera é dado por: 
𝑙 =
2
5
𝑚𝑟3 (16) 
e a velocidade a angular pode ser definida pela relação 
𝑤 =
𝑣
𝑟
 (17) 
onde r é o raio da esfera. 
Substituindo (16) e (17) em (15), e isolando a velocidade de translação, 
obtemos: 
𝑣 = √
10𝑔(𝑦 − ℎ)
7
 . (18) 
4 
 
As equações horárias são mantidas, então substituindo (18) e (11) em (9), 
chegamos em uma relação do alcance com rolamento (Acr) que também depende 
apenas das alturas de abandono e lançamento: 
𝐴𝑐𝑟 = 2√
5ℎ(𝑦 − ℎ)
7
 (19) 
Material utilizado 
1. Régua, papel branco e papel carbono; 
2. Rampa de lançamentos; 
3. Esfera de raior=0.016m; 
4. Prumo. 
 
Figura 1: Equipamento utilizado no experimento. 
Procedimento experimental 
 Com o auxilio do prumo, marcamos o ponto O, que se localiza abaixo da 
extremidade da rampa, o qual servirá como ponto de origem para medição do alcance. 
Utilizando a régua, medimos a altura h que é a distância fixa entre a extremidade da 
rampa e a mesa, que será utilizada nos cálculos. Depois posicionamos a folha de 
carbono em cima da folha de papel oficio, para demarcar o local de queda da esfera. 
 Posteriormente, com o auxilio da régua, posicionamos a esfera na rampa a 
uma altura de 30 cm em relação à mesa, e a abandonamos 10 vezes, para obtermos 
10 alcances. Repetimos o procedimento para as alturas 35 cm, 40 cm, 45 cm e 50 cm. 
Inserimos estes dados em planilhas do Excel, para compararmos com os resultados 
teóricos. 
Discussão dos resultados 
Na tabela 1 a seguir, apresentamos os valores do alcance horizontal em 
centímetros da esfera, após abandonar a rampa, medidos para cada altura y. 
5 
 
Tabela 1: Valores do alcance para cada lançamento. 
 
A pouca dispersão dos resultados, também refletida no baixo desvio padrão da 
média, indica uma ótima precisão nos resultados e consequentemente, uma menor 
influência de erros aleatórios. 
A medida encontrada para a altura h foi de 20,4 cm. Utilizando as equações 13 
e 19, podemos prever os valores do alcance para os modelos teóricos que não 
consideram o rolamento da esfera (Asr) e os que consideram (Acr). Com estes valores 
e os obtidos no experimento, montamos a tabela 2 e plotamos o gráfico do alcance 
versus a altura. 
Tabela 2: Valores teóricos para Asr e Acr e dados experimentais. 
 
Figura 2: gráfico do alcance em função da altura para cada série( Ā, Asr, Acr). 
y(cm)→
Aᵢ(cm)↓
A₁ 21,65 27,45 32,29 36,66 40,12
A₂ 21,71 27,46 32,31 36,45 39,75
A₃ 21,89 27,59 32,25 36,34 39,81
A₄ 21,75 27,61 32,15 36,61 40,13
A₅ 21,87 27,47 32,35 36,12 40,28
A₆ 21,83 27,32 32,23 36,89 40,45
A₇ 21,73 27,67 32,03 36,47 40,52
A₈ 21,69 27,35 32,24 36,54 39,63
A₉ 21,81 27,48 32,26 36,51 39,78
A₁₀ 21,77 27,51 32,17 36,41 39,83
Ā(cm) 21,77 27,49 32,23 36,50 40,03
σ(cm) 0,024944 0,0347515 0,029013 0,06438 0,099242
40 45 5030 35
y(cm)→ 30 35 40 45 50
Asr(cm) 27,99 34,52 39,99 44,80 49,15
Acr(cm) 23,65 29,17 33,80 37,87 41,54
Ā(cm) 21,77 27,49 32,23 36,50 40,03
0
10
20
30
40
50
60
0 10 20 30 40 50 60
A(
cm
)
y(cm)
Gráfico do do alcance A versus a altura y
A
ASR
ACR
Linha de
tendência (Ā)
Linha de
tendência (Asr)
Linha de
tendência (Acr)
6 
 
 
As barras de erro não podem ser visualizadas no gráfico pelo fato de os valores 
de desvio padrão serem relativamente baixos. 
Como já imaginávamos, o modelo que considera o rolamento da esfera é o que 
mais se aproxima de nossos dados experimentais, claramente notado na figura 2. De 
fato, a existência de atrito entre a rampa e a esfera, a impede de simplesmente 
deslizar, ocasionando o rolamento e a discrepância dos modelos que não o 
consideram. 
Embora próximos, os nossos dados experimentais não coincidem com o 
modelo, obviamente. E uma das causas é a dissipação de energia mecânica do 
sistema, tendo em vista que esta é considerada constante nos modelos utilizados. 
Conclusão 
Aplicando conceitos de lançamento de projéteis e energia mecânica obtemos 
modelos diferentes que descrevem o alcance horizontal da esfera. Através do 
experimento, pudemos confrontar estes modelos e concluímos que modelos que 
levam em consideração o rolamento da esfera descrevem melhor a experiência 
realizada. Dessa forma, nossos dados experimentais condizem com a teoria, pois de 
fato há o rolamento da esfera sobre o plano inclinado. 
Os resultados obtidos são bastante precisos e suas diferenças em relação ao 
valor teórico podem ser atribuídas a erros de caráter sistemáticos, sendo alguns 
advindos de limitações do experimento, como a perda de energia mecânica, por 
exemplo. 
Bibliografia 
[1] HALLIDAY, RESNICK, WALKER. Fundamentos de Física. Vol. 2. 8 ed. 
Editora LTC, 2009 
[2] TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para Cientistas e Engenheiros - 
Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica. v.1. 6 ed. Ed. Gen/LTC. 
[3] YOUNG, Hugh D.; FREEDMAN. Roger A. Física, Mecânica. v. 1. 12ª ed. 
2008.