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Capítulo 8 INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 8.1 Introdução Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos: Funções definidas em intervalos do tipo � ������� � , �� � ����� ou �� � ������� , ou seja para todo ��� � ou ��� � ou para todo ����� , respectivamente. A função integranda é descontínua em um ponto ff tal que ff � � �fi����� . As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equa- ções diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em Estatística. 8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região fl determinada pelo gráfico de ffi � ! �fi" , �#� ! e o eixo dos � . Primeiramente note que a região fl é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal região. 11 Figura 8.1: Gráfico de ffi$� % &(' , �#� ! . 333 334 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS Seja fl�� a região determinada pelo gráfico de ffi$� ! � " e ! ����� � , acima do eixo dos � . 11 Figura 8.2: Gráfico de ffi$� % & ' , ! � ��� � . A área de fl�� é: � fl�� � � � � %�� � � " � � ! ��� � � % � ! � ! � � É intuitivo que para valores de � muito grandes a região limitada fl � é uma boa aproximação da região ilimitada fl . Isto nos induz a escrever: � fl � � � � � ����� � � fl�� ��� quando o limite existe. Neste caso: � fl � � � � � ����� � � fl�� � � � � � ����� � � � %�� � � " � � � � ����� � ! � ! � � � !�� � � � É comum denotar � fl � por: � � � % � � � " � Esta integral é um exemplo de integral imprópria com limite de integração infinito. Motivados pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições: Definição 8.1. 1. Se � é uma função integrável em � ������� � , então: � � � � � � � � � � � ��� ����� � � � � � � � � � 2. Se � é uma função integrável em �� � ����� , então: � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � 8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 335 3. Se � é uma função integrável em � � �� � ������� , então: � � � � � � � � � � � ��� � � � � � ��� � � � � � � � � � � ����� � � � � � � � � � Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes; caso contrário são ditas divergentes. Exemplo 8.1. Calcule as seguintes integrais impróprias: [1] � � � � � � ! � � " . � � � � � � ! � � " � � � � ����� � � � � � � ! � � " � � � � ����� � ��� ff ��� � � � � � � � � � � � � ����� � ��� ff ��� � � � � � � [2] � � � � � & � � . � � � � � & � � � � � � ����� � � � � � & � � � ��� � ����� � �� � & � � � � � � � � ��� � ����� � �� � � � ! � � ! � [3] � � � � � � & � � . � � � � � � & � � � � � � � � � � � � � � & � � � � ��� ����� � � � � � & � � � � � � � � � � �� � & � � � � � � � � ! � ��� � [4] � � � � � � � � � " � ! � " . Seja � � � " � ! ; logo � � � � � � � : � � � � � " � ! � " � ! � � � � � " � � ! � � � � ! � � " � ! � � Então, � � � � � � � � � " � ! � " � � � � � � � � � � � � � � � " � ! � " � � � � ����� � � � � � � � � " � ! � " ��� � [5] Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de ffi � � � & , o eixo dos � e à direita do eixo dos ffi . � fl � � � � � � � � � & � ��� � ����� � � � � � � � & � � � � ����� � � � � & ��� � ��� � � � � � � � ! ��� � � � � � � [6] Seja � � � . Calcule � � � % � � ��� . � � % � � ��� � ! ! ��� � % � � � ! ��� ���� ! 336 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS a) Se ��� ! temos: � � � ����� � � % � � ��� ; logo, � � � % � � ��� � ! � � ! � b) Se ��� ! temos: � � � ����� � � % � � � � ; logo, � � � % � � ��� � � � c) Se � � ! , temos: � � � % � � � � � � � ����� � � � %�� � � � � ��� ����� � ��� � � � � � Em geral: � � � % � � ��� � � � se � � ! % � � % se ��� ! � Portanto, a integral converge para ��� ! e diverge para � � ! . 41 1 41 1 41 1 41 1 Figura 8.3: Gráficos de ffi � % & e ffi$� % & ' , para � � � , são,respectivamente. [7] Calcule a área da região limitada por � � � � ! � " � ! e o eixo dos � . 11 Figura 8.4: Gráfico de � � � � % & ' � % . 8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 337 � � � � � � � � � � " � ! � � � � � � � � " � ! � � � � � � � � " � ! � � � � ��� � � � � � � � � " � ! � � � � ����� � � � � � � � " � ! � � � � � ��� � � �� ��� ff ��� � � � � � � � ����� � � � ff ��� � � � � � � � � � � � � � � Muitas vezes não é possível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, podemos indagar se uma integral imprópria converge ou diverge. Proposição 8.1. Sejam � e � funções integráveis em � �fi������� tais que � � � � � � � � � para todo ��� � . 1. Se � � � � � � � � � converge, então � � � � � � � � � converge. 2. Se � � � � � � � � � diverge, então � � � � � � � � � diverge. A prova, segue diretamente das definições. Seja � � � � � , para todo ��� � . Para mostrar a con- vergência da integral de � , é preciso que � seja menor que uma função cuja integral converge. Para mostrar a divergência da integral de � , é preciso que � seja maior que uma função cuja integral diverge. Exemplo 8.2. [1] Analise a convergência da integral: � � � % � � � � � � � � � � . Considere a seguinte desigualdade: ! � � � � ! � � � � � � � � � � � � � � Por outrolado: � � � % � � � � � diverge; logo, pela proposição, parte 2, temos que a integral dada diverge. [2] Analise a convergência da integral � � � % � & ' � � . 338 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 1 1 1 1 Figura 8.5: Gráfico de � & ' em azul e de � & em vermelho, respectivamente. Claramente ! & ' � ! & , para todo ��� ! ; então, como � � � % � & � � � ��� � ����� � �� � � � � % � � ! � temos que a integral dada converge. 8.2.1 Aplicação Uma função positiva integrável em � é chamada densidade de probabilidade se: � � � � � � � � � � � ! Assim denotamos e definimos a probabilidade de um número � estar comprendido entre � e � ( � � � ); por: � � � � � � � � � � � � � � � � Analogamente definimos as outras possibilidades. Também podemos definir o valor esperado do número � , como � � � � � � � � � � � � � � � � Exemplo 8.3. Seja � � � , a função � � � � � � ��� & se ��� � � se � � � � é de densidade de probabilidade. De fato: � � � � � � � � � � ��� � � � � ��� & � � ��� � � � ����� � � � � ��� & � � � ��� � ����� � ! � ��� � � � ! � 8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 339 Por outro lado, � � � � � ! � ��� � % � ��� & � � � ! � ��� e � � � ��� � � � � � ��� & � � � ! � � 8.3 Integrais de Funções Descontínuas Problema: Calcular a área da região fl determinada pelo gráfico de ffi � ! � � , ����� e o eixo dos � . Notamos que a região fl é ilimitada pois a função � nem é definida no ponto � � � . Seja fl�� a região determinada pelo gráfico de ffi$� ! � � e � � ����� , � � � pequeno. 99 Figura 8.6: A região fl�� . A área de fl � é: � fl�� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � ��� � � � � É intuitivo que para valores de � muito pequenos a região limitada fl�� é uma boa aproximação da região ilimitada fl . Isto nos induz a escrever: � fl � � � � � � � ��� � fl�� � � � � � � � ��� ��� � � � � � � � � � � � ��� � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � é um exemplo de integral imprópria com integrando ilimitado. Motivados pelo racio- cínio anterior, temos as seguintes definições: Definição 8.2. 340 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 1. Se � é uma função integrável em ������� , então: � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2. Se � é uma função integrável em � ����� � , então: � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � � � � � � a y=f(x) b + - Figura 8.7: 3. Se � é uma função integrável em � ������� exceto em ff tal que � ��ff � � , então: � � � � � � � � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes; caso contrário, são ditas divergentes. Exemplo 8.4. Calcule as seguintes integrais impróprias: [1] ��� ' � ff � � � � � � � � � � � . Fazendo � � � � � � temos: � ff � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � . Logo, ��� ' � ff � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ' � � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � [2] � " � � � � � � " . � " � � � � � � " � � � � � � " � � � � � � � � � " � � ��� � � " � � � ff � � � � � � � � � � � � � � � � � " � � � ff � � � � � � � � � � 8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 341 [3] � % ��� � � � � � � � . Observe que a função integranda não é definida em � � � � � � ! � . � % ��� � � � � � � � � � ��� � � � " � � � ��� � � � � � � � � ��� � � � � " � � % � � � � � � � � � � � ��� � � � � " � � � � � ' � � � � � � ��� � � � ��� � � � � " � � � � � ' � � � � � % � � � ��� � � � � � � " � �� � � � � ' � � � � � � � ' � � " � � � � � � ' � ��� � � � � � � � � � � � [4] Calcule o comprimento da astróide � � � " � � � ffi " � � � � " , � � � . Figura 8.8: A astróide. A curva não é diferenciável nos pontos de interseção com os eixos coordenados; pela simetria, calcularemos o comprimento da curva no primeiro quadrante e multiplicaremos o resultado por 4. Derivando implicitamente a equação da astróide � � � " � � � ffi " � � � � " em relação a � : ffi ��� � � � ffi � � �� então � � ! � ffi � � " � � � � � � � � Na última igualdade usamos o fato de que � � � " � � � ffi " � � � � " ; logo, � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � � ��� � � � � � � � � � � � � ��� � � � ��� � � � ' � � � ' � � � � ��� � � � ff � [5] Calcule a área limitada por � � � � ! � � � � , e pelas retas � � � e � �� . � � � . 342 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 21 3 4 5 1 21 3 4 5 1 Figura 8.9: Gráfico de � � � � % � & � " . � � ��� " � � � � � � � ��� � � � " � ��� � � � � � � � � � � � � � � " � � � � � � � � � � � � � � � � � � � Numa integral imprópria com limite superior infinito e cuja função integranda não é definida no limite inferior, procedemos assim: Se � é integrável em �fi������� então � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� � ����� � � � � � � � � � onde � ��ff ; analogamente nos outros casos. Exemplo 8.5. [1] � � � " � � � � � " � . � � � " � � � � � "� � � � � � � " � ��� � � � � � � " � � � � � ����� � � � � � � � � � " � � ! � � � � � � " � ��� ff � ff � � � � � � � � � � ! � ��� � ����� � � � ff � ff � � � � � � � � � � ! � � � � � � � " � ��� ff ff � � � � � � � � � � � � � ��� ����� � ��� ff ff � � � � � � � � � � � � � � � [2] Calcule a área da região limitada pelo gráfico de ffi � ! � � � � ! � e o eixo dos � . 8.4. EXERCÍCIOS 343 1 3 6 9 1 1 3 6 9 1 Figura 8.10: Gráfico de � � � � % � &�� & � % � . Como � � � � � � � ! � � � ��� ff ��� � � � , então: � � � � � � � � � � ! � � ��� � � � ��� � % � � � � � � � ! � � � � � ����� � � � % � � � � � � ! � � ��� � � � ��� � ��� ff ��� � � � � � � � % � � � ��� ����� � � ��� ff � � � � � � � � � � % � � � ��� � � ��� � � ��� ff ��� � � � � � ��� ����� � ��� ff � � � � � � � � � � � � � � 8.4 Exercícios 1. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: (a) � � � % � � � � � (b) � � � � � � � " � � (c) � � � � � � � � ! � � � � � (d) � � � � � � & ' � � (e) � � � � � � � � � & ' � � (f) � � � " � � � ��� � � (g) � � � � ff � ��� � � ! � � � � � � � � (h) � � � � � � & ' � � (i) � � � � � ff � ��� � � � � (j) � � � % ��� � � � � � (k) � � � � � � � � " � ! (l) � � � � � � � � � ��� � � (m) � % � � � � � � � � � " (n) � � � � � � � " � ! � � 344 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS (o) � � � � � � � � " � � � � (p) � � � % � � � � � � (q) � � � � � & � � � � � � (r) � � � % � � " � ! � " � � (s) � � � � � � ! � � � � � (t) � � � � ' � � � ��� � � � (u) � � � � � � � � � � � (v) � � � � � � � " � ! (w) � � � % � � � � � " (x) � � � " � � � ��� " � � 2. Calcule a área das regiões determinadas por: � � ffi$� & � � & � � % � � ffi � � � " � ffi � � " & e �#� ! ff � ffi � % &�� � % e o eixo dos � . 3. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes: (a) � � � � � � � (b) � % � ff � � � � � � � ' � � � (c) � � � � � � ! ��� � " (d) � � � � � & � � � � (e) � % � ' � � ��� � ��� � � � " (f) � % � % � � � � (g) ��� � � � � ! � ff � � � � (h) � " � � � � � � � � " (i) � � � � � � � � � � " (j) � " % � � � " � � � " (k) � % � � � � ! � � " (l) ��� � � � � � ! � " (m) � � ' � � � ff � � � � (n) ��� % � � � � � � " � � (o) � % � � � " � � � � � " � � (p) � � % � " � � � � � " � ! (q) � " % � � � ��� " � � (r) � " % � � � � ��� � � (s) � " � � � � � � � � � (t) � ' � � ! � " � � ! � � � � (u) � % � � � ! � � � � 8.4. EXERCÍCIOS 345 (v) � � ' � � � � � � ��� � � 4. Determine o valor de � tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes: (a) � � � � ��� � � � (b) � � � � ��� � � � � � � � (c) � � � � ��� � � � � (d) � � � � � " ��� � � � (e) � � � � ��� � � � � � � � � (f) � � � � ��� � ff � � � � � � � (g) � � ' � ! � ff � � � � � � � � (h) � � � � � � � � � � � 5. Seja � � � � � � � � � & � % ��� � � , � � � ; esta função é chamada função gama. Verifique: (a) � � � ! � � � � � � , � � � . (b) Se � ��� , � � � ! � � ��� 6. Seja � � � � � � � " se � � � � � � se � � � � � . Determine � de modo que � seja função de densidade de probabilidade. 7. Determine � para que � � � � �� � seja função de densidade de probabilidade. 8. Verifique que � � � � � & ' � " � � % � � � ��� � ; � ��� . 9. Se � é função de densidade de probabilidade, defina a probabilidade de um número � ser maior que � , ser menor que � . 10. Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição descrita pela densidade de probabilidade � � � ��� � � � � � ��� � � " & se ��� � , onde � é medido em horas. (a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de � � � horas? (b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após � � � horas? 346 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
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