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Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 08 Integrais Impróprias

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Capítulo 8
INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
8.1 Introdução
Na definição de integral definida, consideramos a função integranda contínua num intervalo
fechado e limitado. Agora, estenderemos esta definição para os seguintes casos:
Funções definidas em intervalos do tipo
� �������	�
, 
��
�
�����
ou 
��
�
�������
, ou seja para todo
���
�
ou ���
�
ou para todo ����� , respectivamente.
A função integranda é descontínua em um ponto ff tal que ff �
� �fi�����
.
As integrais destas funções são chamadas integrais impróprias. As integrais impróprias são
de grande utilidade em diversos ramos da Matemática como por exemplo, na solução de equa-
ções diferenciais ordinárias via transformadas de Laplace e no estudo das probabilidades, em
Estatística.
8.2 Integrais Definidas em Intervalos Ilimitados
Antes de enunciar as definições estudemos o seguinte problema: Calcular a área da região fl
determinada pelo gráfico de ffi �
!
�fi"
, �#�
!
e o eixo dos � .
Primeiramente note que a região fl é ilimitada e não é claro o significado de "área"de uma tal
região.
11
Figura 8.1: Gráfico de ffi$� %
&('
, �#�
!
.
333
334 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
Seja fl�� a região determinada pelo gráfico de ffi$�
!
�
"
e
!
�����
�
, acima do eixo dos � .
11
Figura 8.2: Gráfico de ffi$�
%
&
'
,
!
� ���
�
.
A área de fl�� é:
�
 fl��
�
�
�
�
%��
�
�
"
� �
!
���
�
�
%
�
!
�
!
�	�
É intuitivo que para valores de
�
muito grandes a região limitada fl
� é uma boa aproximação
da região ilimitada fl . Isto nos induz a escrever:
�
 fl
�
� �
�
�
�����	�
�
 fl��
���
quando o limite existe. Neste caso:
�
 fl
�
� �
�
�
�����	�
�
 fl��
�
� �
�
�
�����	�
�
�
%��
�
�
"
� �
�
�
�����	�
!
�
!
�
�
�
!��
�
�
�
É comum denotar
�
 fl
�
por:
�
�	�
% �
�
�
"
�
Esta integral é um exemplo de integral imprópria com limite de integração infinito. Motivados
pelo raciocínio anterior temos as seguintes definições:
Definição 8.1.
1. Se � é uma função integrável em
� �������	�
, então:
�
�	�
�
� 
�
�
�
�
� �
���
�����	�
�
�
�
� 
�
�
�
�
2. Se � é uma função integrável em 
��
� �����
, então:
�
�
�
�
� 
�
�
�
�
� �
���
�
�
�
�
�
�
�
� 
�
�
�
�
8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 335
3. Se � é uma função integrável em � � 
��
�
�������
, então:
�
�	�
�
�
� 
�
�
�
�
� ���
�
�
�
�
�
���
�
� 
�
�
�
�
�
�
�
�
�����	�
�
�
�
� 
�
�
�
�
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;
caso contrário são ditas divergentes.
Exemplo 8.1.
Calcule as seguintes integrais impróprias:
[1]
�
�	�
�
�
�
!
�
� "
.
�
�	�
�
�
�
!
�
�
"
� �
�
�
�����	�
�
�
�
�
�
!
�
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"
� �
�
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�����	�
���
ff
���
�
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�
�
�
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� �
�
�
�����	�
���
ff
���
� �
�
�
�
�
[2]
�
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�
	
�
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�
� .
�
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�
	
�
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�
�
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�
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��
	
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�
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!
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�
[3]
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[4]
�
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�
�
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�
"
�
!
�
"
. Seja
�
�
�
"
�
!
; logo
�
�
�
�
�
�
� :
�
�
�
�
�
"
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�
"
�
!
�
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"
� �
!
� �
� �
!
�
�
"
�
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Então,
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�
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�
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"
�
!
�
"
� �
�
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�
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"
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"
�
�
�
�
�����	�
�
�
�
�
�
�
�
"
�
!
�
"
���
�
[5] Calcule a área da região, no primeiro quadrante, determinada pelo gráfico de ffi �
�
�
&
, o
eixo dos � e à direita do eixo dos ffi .
�
 fl
�
�
�
�	�
�
�
�
�
&
� ���
�
�����	�
�
�
�
�
�
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&
���
�
���
�
�
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�
�
!
���
�
�
�
�
�
�
[6] Seja � � � . Calcule
�
�	�
%
�
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.
�
�
%
�
�
���
�
!
!
���
�
%
�
�
�
!
���
����
!
336 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
a) Se ���
!
temos: �
�
�
�����	�
�
%
�
�
��� ; logo,
�
�	�
% �
�
���
�
!
� �
!
�
b) Se ���
!
temos: �
�
�
�����	�
�
%
�
�
�
�
; logo,
�
�	�
% �
�
���
�
�
�
c) Se � �
!
, temos:
�
�	�
% �
�
�
� �
�
�
�����	�
�
�
%��
�
�
� �
���
�����	�
���
� �
�
�
� Em geral:
�
�	�
% �
�
���
�
�
�
se � �
!
%
�
�
%
se ���
!
�
Portanto, a integral converge para ���
!
e diverge para � �
!
.
41
1
41
1
41
1
41
1
Figura 8.3: Gráficos de ffi � %
&
e ffi$� %
&
'
, para � � � , são,respectivamente.
[7] Calcule a área da região limitada por � 
 �
�
�
!
�
"
�
!
e o eixo dos � .
11
Figura 8.4: Gráfico de � 
 �
�
�
%
&
'
�
%
.
8.2. INTEGRAIS DEFINIDAS EM INTERVALOS ILIMITADOS 337
�
�
�
�	�
�
�
�
�
�
"
�
! �
� �
�
�
�
�
�
"
�
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"
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�
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���
ff
���
� � � �
�
�
�
�����	�
� �
ff
���
� �
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
�
Muitas vezes não é possível calcular o valor exato de uma integral imprópria, mas, podemos
indagar se uma integral imprópria converge ou diverge.
Proposição 8.1. Sejam � e
�
funções integráveis em
� �fi�������
tais que � 
 �
�
�
�
�
�
� � para todo
���
�
.
1. Se
�
�	�
�
� 
�
�
�
� converge, então �
�	�
�
�
�
�
�
� converge.
2. Se
�
�	�
�
�
�
�
�
� diverge, então
�
�	�
�
� 
�
�
�
� diverge.
A prova, segue diretamente das definições. Seja � 
 �
�
�
� , para todo ���
�
. Para mostrar a con-
vergência da integral de � , é preciso que � seja menor que uma função cuja integral converge.
Para mostrar a divergência da integral de � , é preciso que � seja maior que uma função cuja
integral diverge.
Exemplo 8.2.
[1] Analise a convergência da integral:
�
�	�
%
� 	
�
�
� �
�
�
�
�
� .
Considere a seguinte desigualdade:
!
�
�
�
�
!
�
�
�
�
�
� 	
�
�
� �
�
�
�
�
Por outrolado:
�
�	�
%
�
�
�
�
� diverge; logo, pela proposição, parte 2, temos que a integral dada
diverge.
[2] Analise a convergência da integral
�
�	�
%
	
�
&
'
�
� .
338 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
1
1
1
1
Figura 8.5: Gráfico de 	 �
&
'
em azul e de 	 �
&
em vermelho, respectivamente.
Claramente
!
	
&
'
�
!
	
&
, para todo ���
!
; então, como
�
�	�
%
	
�
&
�
�
� ���
�
�����	�
��
	
�
�
�
	
�
%
�
�
!
	
�
temos que a integral dada converge.
8.2.1 Aplicação
Uma função positiva integrável em � é chamada densidade de probabilidade se:
�
�	�
�
�
� 
�
�
�
�
�
!
Assim denotamos e definimos a probabilidade de um número � estar comprendido entre
�
e
�
(
�
�
�
); por:
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
� 
�
�
�
�
Analogamente definimos as outras possibilidades. Também podemos definir o valor esperado
do número � , como
�
�
�
�
�
�	�
�
�
�
� 
�
�
�
�
�
Exemplo 8.3.
Seja � � � , a função
� 
�
�
�
�
�
	
���
&
se ��� �
� se � � �
�
é de densidade de probabilidade. De fato:
�
�	�
�
�
� 
�
�
�
�
���
�
�	�
�
	
���
&
�
�
��� �
�
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�����	�
�
�
�
	
���
&
�
�
� ���
�
�����	�
!
�
	
���
�
�
�
!
�
8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 339
Por outro lado,
�
 � �
�
�
!
�
���
�
%
�
	
���
&
�
�
�
!
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���
e
�
�
�
���
�
�	�
�
� 	
���
&
�
�
�
!
�
�
8.3 Integrais de Funções Descontínuas
Problema: Calcular a área da região fl determinada pelo gráfico de ffi �
!
�
�
, ����� e o eixo dos
� . Notamos que a região fl é ilimitada pois a função � nem é definida no ponto � � � . Seja fl��
a região determinada pelo gráfico de ffi$�
!
�
�
e � � ����� , � � � pequeno.
99
Figura 8.6: A região fl�� .
A área de fl � é:
�
 fl��
�
�
�	�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
� �
�
�
���
�
�
�
�
É intuitivo que para valores de � muito pequenos a região limitada fl�� é uma boa aproximação
da região ilimitada fl . Isto nos induz a escrever:
�
 fl
�
� �
�
�
�
�
���
�
 fl��
�
� �
�
�
�
�
���
���
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
���
� �
�
�
�
�
���
�
�
�
�
�	�
�
�
�
�
�
é um exemplo de integral imprópria com integrando ilimitado. Motivados pelo racio-
cínio anterior, temos as seguintes definições:
Definição 8.2.
340 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
1. Se � é uma função integrável em 
�������
, então:
�
�
�
� 
�
�
�
�
� �
�
�
� �
�
�
�
�
�
� 
�
�
�
�
2. Se � é uma função integrável em
� ����� �
, então:
�
�
�
� 
�
�
�
�
� ���
�
� � ���
�
�
�
� 
�
�
�
�
a
y=f(x)
b
+
-
Figura 8.7:
3. Se � é uma função integrável em
� �������
exceto em ff tal que
�
��ff �
�
, então:
�
�
�
� 
�
�
�
�
�
���
�
� 
�
�
�
�
�
�
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�
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�
� 
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
� 
�
�
�
�
Se nas definições anteriores os limites existirem, as integrais impróprias são ditas convergentes;
caso contrário, são ditas divergentes.
Exemplo 8.4.
Calcule as seguintes integrais impróprias:
[1]
���
'
�
ff
� �
�
�
�
� 	
�
�
�
�
� .
Fazendo
�
�
� 	
�
�
�
temos:
�
ff
� �
�
�
�
� 	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
� 	
�
�
�
. Logo,
���
'
�
ff
� �
�
�
�
� 	
�
�
�
�
�
� �
�
�
�
�
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� 	
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'
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� 	
�
 �
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�
[2]
�
"
�
�
�
� 	
�
�
"
.
�
"
�
�
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� 	
�
�
"
� �
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�
"
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� 	
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�
"
� �
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"
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ff
� 	
�
�
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�
�
�
� �
�
�
�
�
"
�
� �
ff
� 	
�
�
�
� �
�
�
�
�
8.3. INTEGRAIS DE FUNÇÕES DESCONTÍNUAS 341
[3]
�
%
���
�
�
�
�
�
�
�
.
Observe que a função integranda não é definida em �
�
�
�
�
	
�
!
�
.
�
%
���
�
�
�
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'
�
���
�
�
� 
�
�
�
�
�
�
	
�
�
[4] Calcule o comprimento da astróide
�
�
�
"
�
�
�
ffi
"
�
�
�
�
" ,
�
� � .
Figura 8.8: A astróide.
A curva não é diferenciável nos pontos de interseção com os eixos coordenados; pela simetria,
calcularemos o comprimento da curva no primeiro quadrante e multiplicaremos o resultado
por 4. Derivando implicitamente a equação da astróide
�
�
�
"
�
�
�
ffi
"
�
�
�
�
" em relação a � :
ffi	��� �
�
�
ffi
�
�
��
então
�
�
!
�
 ffi
�
�
"
�
�
�
�
�
�
�
�
Na última igualdade usamos o fato de que
�
�
�
"
�
�
�
ffi
"
�
�
�
�
" ; logo,
�
�
	
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
	
�
�
�
�
���
�
�
���
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�
	
�
�
�
���
�
�
�
���
�
�
�
'
�
� �
'
�
�
�
�
���
�
�
�
ff
�
[5] Calcule a área limitada por � 
 �
�
�
!
�
�
�
�
, e pelas retas � �
�
e � ��
 .
�
� � .
342 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
21 3 4 5
1
21 3 4 5
1
Figura 8.9: Gráfico de � 
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Numa integral imprópria com limite superior infinito e cuja função integranda não é definida
no limite inferior, procedemos assim: Se � é integrável em 
�fi�������
então
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onde
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��ff ; analogamente nos outros casos.
Exemplo 8.5.
[1]
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�
[2] Calcule a área da região limitada pelo gráfico de ffi �
!
�
�
�
�
!
� e o eixo dos � .
8.4. EXERCÍCIOS 343
1 3 6 9
1
1 3 6 9
1
Figura 8.10: Gráfico de � 
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Como
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, então:
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�
8.4 Exercícios
1. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
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%
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(b)
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(c)
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(h)
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(i)
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(m)
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(n)
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�
344 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS
(o)
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(p)
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(v)
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2. Calcule a área das regiões determinadas por:
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ffi$� 
	
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ffi �
	
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e �#�
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 ff
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ffi �
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&��
�
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e o eixo dos � .
3. Calcule as seguintes integrais impróprias, caso sejam convergentes:
(a)
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(b)
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(c)
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(j)
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(o)
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(q)
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(u)
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8.4. EXERCÍCIOS 345
(v)
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���
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4. Determine o valor de � tal que as seguintes integrais impróprias sejam convergentes:
(a)
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(b)
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�	�
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(c)
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(d)
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(e)
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(f)
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(g)
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(h)
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5. Seja
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, � � � ; esta função é chamada função gama. Verifique:
(a)
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(b) Se
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��� ,
�
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�
!
�
�
���
6. Seja � 
 �
�
�
�
�
�
" se
�
�
�
�
�
� se
�
�
�
�
�
. Determine
�
de modo que � seja função de densidade
de probabilidade.
7. Determine � para que � 
�
�
�
		��
�
 seja função de densidade de probabilidade.
8. Verifique que
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'
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"
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���
�
;
�
��� .
9. Se � é função de densidade de probabilidade, defina a probabilidade de um número � ser
maior que
�
, ser menor que
�
.
10. Numa fábrica de circuitos impressos, a vida útil desses circuitos tem uma distribuição
descrita pela densidade de probabilidade � 
 �
�
���
�
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�
��� � �
"
&
se ��� � , onde � é medido
em horas.
(a) Qual é a probabilidade dos circuitos funcionarem em menos de � � � horas?
(b) Qual é a probabilidade dos circuitos continuarem funcionando após � � � horas?
346 CAPÍTULO 8. INTEGRAIS IMPRÓPRIAS

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