Unidades e Medidas na Física

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Responsáveis: Prof. Dr. Newton La Scala Junior e Prof. Dr. Sérgio R. Fontes; Monitor Daniel M. Borges Campos
Unidades e Medidas
	As Leis da Física exprimem relações entre grandezas físicas como comprimento, tempo, força, energia e temperatura. A medição destas grandezas envolve a comparação com um valor unitário da grandeza. Para exemplificarmos, iremos tomar como exemplo a medição de distância.
	Para medirmos a distância entre dois pontos, necessitamos de uma unidade padrão como o braço de uma pessoa ou uma régua. A afirmação de que uma certa distância vale 25 metros significa que ela é 25 ( maior do que uma régua de 1 metro. Notamos que é de fundamental importância incluir a unidade metro, pois dizer que a distância vale 25 não nos diz nada, pois existem outras unidades unitárias de comprimento de uso no mundo, como o centímetro, a polegada e o quilometro por exemplo.
	Todas as grandezas físicas podem ser representadas em termos de um pequeno número de unidades fundamentais. Por exemplo, uma unidade de velocidade, o metro por segundo, está expressa em termos de uma unidade de comprimento e de uma unidade de tempo. Portanto qualquer unidade de energia pode ser expressa em termos de unidade de comprimento, de tempo e de massa. Na realidade, todas as grandezas que aparecem no estudo da mecânica podem ser expressas em termos dessas três unidades fundamentais. A escolha dos padrões destas grandezas fundamentais determina o sistema de unidades de todas as grandezas mecânicas. O padrão de comprimento, metro, o de tempo, segundo e o de massa, quilograma, é um sistema de unidades conhecido como MKS ( metro (m); quilograma (kg); segundo (s) (.
	A origem da realização de algumas unidades de medidas padrão:
	O METRO - este padrão de comprimento simbolizado pela letra (m), era originalmente definido como a distância entre dois traços de numa barra de platina e irídio, guardada no Boreau International des Poids et Mesures, em Sèrves, na França. A extensão foi escolhida de forma que a distância entre o equador e o pólo norte, medida ao longo do meridiano de Paris, fosse dez milhões de metros. Atualmente o metro é medido em função do comprimento de onda de uma determinada linha espectral de um isótopo de criptônio; o seu valor é de 1.650.763,73 vezes maior que o valor deste comprimento de onda.
	O SEGUNDO - a unidade de tempo segundo(s), originou-se em termos da rotação terrestre, com um valor de (1/60)(1/60)(1/24) vezes a duração do dia solar médio. Nos dias de hoje o segundo é definido em termos de uma frequência característica associada ao átomo de césio. 
	O QUILOGRAMA – está unidade de massa (kg), possui o valor de 1.000 gramas(g) e é definido como a massa de um certo cilindro metálico padrão também encontrado em Sèrves.
A conferência em 1921 definiu o Sistema Internacional de Medidas com símbolo S.I. .
	A unidade de força referente ao S.I. é o Newton (N): 1 N = 1 kg.m/s2 
Unidades básicas do S.I.
	Grandeza
	Nome
	Símbolo
	Comprimento
	Metro
	m
	Massa
	Quilograma
	kg
	Tempo
	Segundo
	s
	Corrente elétrica
	Ampère
	A
	Temperatura termodinâmica
	Kelvin
	K
Outro sistema utilizado é o Britânico. Algumas unidades básicas deste sistema são:
	Unidades básicas do Sistema Britânico
	Grandeza
	Nome
	Símbolo
	Comprimento
	Pés
	ft
	Força
	Libra
	lb
	Tempo
	Segundo
	s
	Alguns fatores de conversão entre o S.I. e o Britânico:
			1 m = 3,281 ft ; 1 N = 0,2248 lb.
Grandezas Físicas
	Escalar - tais grandezas na física podem ser totalmente descritas e entendidas apenas pela sua definição de grandeza. Tomemos como exemplo o tempo (3 s), a massa (50 t), a densidade (100 kg/m3) e o volume (1m3). São chamadas grandezas físicas escalares.
	Vetorial - este tipo de grandeza física se difere da escalar, pois ela não se satisfaz somente com uma definição de sua grandeza, devido a sua natureza mais complexa elas possuem uma direção e sentido para sua total visualização e compreensão. Tomemos alguns exemplos; o deslocamento, a velocidade, a aceleração e a força, que recebem o nome de vetores.
	Exemplo: A velocidade de um objeto não está totalmente especificada quando se diz que sua grandeza é 15 m/s; deve-se dizer que é dirigida para alguma região a fim de que seja realizada uma descrição da situação.
Vetores
Adição e subtração de vetores (Método Gráfico):
	Graficamente, é possível representar um vetor como um segmento de reta dirigido, apontado ao longo da direção associada com o vetor, cuja grandeza e comprimento é proporcional à grandeza da quantidade vetorial. Algebricamente, uma quantidade vetorial é representada por um símbolo, por exemplo A, enquanto que o módulo do vetor pode ser representado pelo símbolo (A(.
	O vetor soma de dois vetores, A+B, é obtido graficamente colocando-se a extremidade do vetor B no início do vetor A, então, desenhando-se um terceiro vetor, cuja extremidade repouse sobre a extremidade de A e cujo início esteja no início de B, como é demonstrado na Figura 1 do lado esquerdo. Este terceiro vetor representa a soma vetorial de A e B. Com a Figura 1 do lado direito demonstramos que não faz diferença a ordem na qual são somados os vetores A e B. Portanto A+B=B+A
Figura 1. Demonstração da adição de vetores definida pela soma gráfica de dois deslocamentos.
	O vetor - A é definido como um vetor que possui a mesma grandeza e direção que A, porém possui o sentido oposto. Portanto a soma vetorial de qualquer vetor e seu oposto é nula. No entanto vetores podem ser subtraídos pela adição do negativo de um deles ao outro, como mostra a Figura 2.a. Então A-B=A+(-B).
	O procedimento gráfico para chegar-se ao vetor A-B é mostrado na Figura 3.a. Vê-se facilmente na Figura 2.b que os vetores A+B e A-B podem ser representados pelas duas diagonais do paralelogramo direcionado por A e B. Da trigonometria elementar (lei dos cosenos), obtemos que A+B é :
Figura 2. (a) Mecanismo gráfico para a subtração vetorial. (b)Lei dos cosenos e diagonais representando soma e subtração.
Decomposição de um Vetor
	A projeção de um vetor sobre uma reta é chamada, a componente do vetor em direção da reta. Um exemplo bastante utilizado de componentes de um vetor são as projeções do vetor sobre as retas de um sistema cartesiano ortogonal. As projeções desse vetor são denominadas de componentes cartesianas do vetor. Tomemos como exemplo o vetor A, suas componentes são simbolizadas por Ax, Ay e Az.
	A Figura 3 demonstra os vetores A, B e C com suas respectivas componentes cartesianas. As coordenadas de P1 são (x1,y1), fazendo uma designação análoga para as coordenadas P2 e P3; consequentemente as componentes são:
AX = x2 – x1 		Ay = y2 – y1
			Bx = x3 – x2 		By = y3 – y2
			Cx = x3 – x1 		Cy = y3 – y1
Figura 3.Componentes x e y dos vetores A e B.
	Observando a Figura 3 fica bem claro que:
	C = A + B ( Cx = Ax + Bx 	e Cy = Ay + By
	O módulo de um vetor pode ser escrito em termos das componentes cartesianas. Na Figura 3 podemos perceber que as componentes Ax e Ay formam os dois catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é o módulo do vetor A.
			A = 
	Podemos também, especificar a direção em termos das componentes cartesianas. Sendo 
 o ângulo entre a direção do vetor e uma reta paralela ao eixo dos x.
	
	(	
	Podemos representar um vetor em termos de suas componentes retangulares mediante os vetores unitários. Um vetor unitário é um vetor adimensional que tem módulo igual a 1 e orienta-se segundo qualquer direção conveniente. Por exemplo, sejam i, j e k os vetores unitários que se orientam segundo as direções x, y e z respectivamente. Um vetor geral A pode então ser escrito como a soma de três vetores, cada um paralelo a um eixo coordenado:
			A = Axi + Ayj Azk							(1)
	O vetor Axi é produto da componente Ax pelo vetor unitário i, é um vetor paralelo ao eixo x e tem o módulo Ax. O vetor soma, indicado na equação (1), está ilustradona Figura 4.b. A adição de três vetores pode escrever-se em termos dos vetores unitários da seguinte forma:
		A + B + C = (Axi + Ayj + Azk) + (Bxi + Byj + Bzk) + (Cxi + Cyj + Czk)
		A + B + C = (Ax + Bx + Cx)i + (Ay + By + Cy)j + (Az + Bz + Cz)k 		
Figura 4.(a) Representação dos vetores unitários i, j e k num sistema cartesiano ortogonal. (b) O vetor A em termos unitários i, j e k num sistema cartesiano ortogonal.
A Multiplicação de Vetores: Produtos Escalar e Vetorial Produto Escalar de Dois Vetores.
	A simbologia para demonstrar o produto escalar de dois vetores A e B é A.B.
	O produto escalar é definido como produto de uma quantidade escalar dada pela intensidade de A vezes a intensidade de B, vezes o co-seno do ângulo que fica entre as direções A e B.
			A.B = A B cos
							(2)
			Se 
 = 
( que o produto escalar é zero
	Se cos( = 1, e tivermos um produto escalar de um vetor por ele mesmo, o resultado é simplesmente o quadrado de sua intensidade.
			A.A = A2								(3)
	Tomando como base essas duas observações, nos permiti avaliar o produto escalar de vetores unitários mais facilmente.
	De acordo com a equação (2); i . i = j. j= k . k = 1, uma vez que são vetores unitários.
	E observando a equação (3); i . j = j . i = i . k = k . i = j . k = k . j = 0, pois são mutuamente perpendiculares.
	Se o produto A.B for realizado em termos de seus vetores unitários i, j e k , teremos:
		A.B = (Ax.i + Ay.j + Az.k) . (Bx.i + By.j + Bz.k)
		A.B = AxBx(i.i) + AxBy(i.j) + AxBz(i.k) + AyBx(j.i) + AyBY(j.j) +	 			+ AyBz(j.k) + AzBx(k.i) + AzBy(k.j) + AzBz(k.k)
		A.B = AxBx(i.i) + AyB y(j.j) + AzBz(k.k)
A.B = AxBx + AyBy + AzBz
Ao observarmos este resultado, é importante notarmos que, A.B = B.A
Produto Vetorial de Dois Vetores
	A simbologia usada para demonstrar um produto vetorial de dois vetores é A(B. O produto é , por definição, um vetor cujo o módulo é o módulo de A vezes o módulo de B, vezes o seno do ângulo que fica entre as direções A e B.
			(A x B(=
							(4)
	A direção de vetor A ( B é perpendicular aos outros dois vetores A e B, e aponta ao longo da direção na qual um parafuso de rosca à direita avançaria quando o vetor A fosse girado na direção do vetor B através do menor ângulo possível, como ilustra a Figura 5. Como o parafuso irá se mover no sentido oposto ao A ( B quando for girado de B ( A, isto nos indica que A ( B ( B ( A.
Utilizando a, equação (4) notamos que o produto vetorial de dois vetores paralelos é zero. Utilizando agora vetores unitários, verificamos que:
			i ( i = j ( j = k ( k = 0
Figura 5. Demonstrando a regra da mão direita e a posição do vetor A ( B.
Nos baseando na equação (4) e na regra da mão direita que determina a direção do vetor produto, temos que:
				 i ( j = -( j ( i) = k
				 j ( k = -( k ( j) = i
				 k ( i = -( i ( k) = j
	Desta maneira temos que:
		A ( B = (Ay Bz - AzBy)i + (Az Bx – AxBz)j + (Ax By – AyBx)k
Bibliografia
Fundamentos de Física - Volume 1
D. Halliday & R. Resnick & J. Walker
LTC – Livros Técnicos e Científicos Editora S.A.
Física – Volume 1 
P. A. Tipler
Editora Guanabara Dois
Exercícios
1) Um navio parte de um ponto “A” e navega durante 2 horas na direção leste-oeste e no sentido oeste para leste, com módulo de velocidade constante 28,5 nós. Instantaneamente, muda de direção para norte-sul e no sentido sul para norte, com módulo de velocidade constante 35 nós durante 1 hora. Qual é o módulo do deslocamento total do navio em km, sabendo que 1 nó = 1,85 km/h?
2) Um caminhão viaja 50 km para leste, 30 km para o norte e 25 km em uma direção 30o a leste do norte. Represente os movimentos do veículo em um diagrama vetorial e determine o deslocamento total do veículo em relação ao ponto de partida. 
3) Uma estação de radar detecta um avião que vem do leste. No momento em que é observado pela primeira vez, o avião está a 400 m de distância, 40o acima do horizonte. O avião é acompanhado por mais 123o no plano vertical leste-oeste e está a 860 m de distância quando é observado pela última vez. Calcule o deslocamento da aeronave durante o período de observação.
4) Uma pessoa viaja de Washington até Manila. (a) Descreva o vetor deslocamento. (b) Calcule o módulo do vetor deslocamento, sabendo que a latitude e longitude das duas cidades são 39o N, 77o O e 15o N e 121o L, respectivamente.
5) Use a definição de produto escalar, a.b = ab cos , e o fato de a.b = axbx + ayby + azbz para calcular o ângulo entre os dois vetores dados por : 
a = 3 i + 3 j + 3k e b = 2 i + 1 j + 3k
6) Determine as componentes e o módulo de r = a - b + c se a = 5 i + 4 j - 6 k ; b = - 2 i + 2 j + 3k e c = 4 i + 3 j + 2k . Calcule o ângulo entre r e o sentido positivo dos “z”.
7) Dois vetores são dados por a = 3 i + 5 j e b = 2 i + 4 j . Calcule a.b; axb e (a + b).b.
8) Três vetores são dados por a = 3 i + 3 j - 2 k ; b = - 1 i - 4 j + 2k e c = 2 i + 2 j + 1k. Calcule a.(bxc); a.(b + c) e ax(b + c).
Dado: Produto Vetorial em Função das Coordenadas:
axb = i (aybz - azbx) + j (azbx - axbz) + z (axby - aybx )
9) Mostre que o produto misto a.(bxc) tem módulo igual ao volume do paralelepípedo formado pelos vetores a, b e c. Considere como exemplo o caso em que: a = 3 i ; b = 3 i e c= 3 i. 
_982151834.unknown
_1015065197.unknown
_1015065205.unknown
_1015076547.unknown
_982151979.unknown
_982152035.unknown
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_981804967.unknown