Características Geométricas de Figuras Planas

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Engenharia da Computação 
 
4º / 5° Semestre 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – AULAS 01 
Prof Daniel Hasse 
 
 
 
 
 
 
Características Geométricas de Figuras Planas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
SÃO JOSÉ DOS CAMPOS, SP 
AAuullaa 0011 –– FFiigguurraass PPllaannaass II 
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1- FIGURAS PLANAS 
Nesta aula iremos estudar as principais características geométricas das figuras, como por exemplo, área, 
momento estático e centróide. 
1.1 – Área 
O conceito de área já é conhecido de disciplinas anteriores, podemos generalizar o cálculo da área como 
sendo a integral definida de um elemento de área 𝑑𝐴 em um domínio 𝐴. 
 
𝐴 = � 𝑑𝐴
𝐴
 
1.1.1 – Propriedades da área 
• As unidades de área possuem a forma 𝐿2, como por exemplo, 𝑚2, 𝑘𝑚2, 𝑚𝑚2 e 𝑝𝑜𝑙2; 
• São sempre positivas; 
• São aditivas, podem-se somar áreas diferentes desde que possuam a mesma unidade, como se 
pode observar na figura a seguir: 
 
𝐴𝑇 = 𝐴1 + 𝐴2 + 𝐴3 
1.2 – Momento Estático com relação a um eixo 
Ao contrário da área, o momento estático é sempre relacionado a um eixo. Tomamos o elemento de área 
infinitesimal 𝑑𝐴 e multiplicamos pela distância a este eixo e fazemos a integral em todo domínio 𝐴. 
De modo geral estamos mais interessados com relação aos momentos estáticos com relação aos eixos de 
coordenadas, como visto abaixo. 
 
Momento estático com relação ao eixo X 
𝑀𝑆𝑥 = � 𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
 
Momento estático com relação ao eixo Y 
𝑀𝑆𝑦 = � 𝑥𝑑𝐴
𝐴
 
 
 
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1.2.1 – Propriedades do Momento Estático 
• As unidades de momento estático possuem a forma 𝐿3, como por exemplo, 𝑚3, 𝑘𝑚3, 𝑚𝑚3 e 𝑝𝑜𝑙3; 
• Pode ser positivo, negativo ou nulo, dependendo das coordenadas envolvidas (coordenadas 
positivas momento estático positivo, coordenadas negativas momento estático negativo, 
coordenadas simétricas momento estático nulo); 
• É aditivo, podem-se somar momentos estáticos diferentes desde que possuam o mesmo eixo de 
referência, como se pode observar na figura a seguir: 
 
𝑀𝑆𝑥 = 𝑀𝑆𝑥1 +𝑀𝑆𝑥2 +𝑀𝑆𝑥3 
1.3 – Centróide ou Centro de Gravidade 
Defini-se como Centróide ou Centro de Gravidade o ponto onde se pode concentrar toda a área de uma 
figura, sendo possível assim definir o momento estático como sendo o produto da área pela distância deste 
ponto ao eixo a que se refere o momento estático. 
 
 
𝑀𝑆𝑥 = � 𝑦𝑑𝐴
𝐴
= 𝐴𝑦𝐺 𝑀𝑆𝑦 = � 𝑥𝑑𝐴
𝐴
= 𝐴𝑥𝐺 
Deste modo as coordenadas do centro de gravidade podem ser 
calculadas por: 
𝑥𝐺 = 𝑀𝑆𝑦𝐴 = ∫ 𝑥𝑑𝐴𝐴 𝐴 𝑦𝐺 = 𝑀𝑆𝑥𝐴 = ∫ 𝑦𝑑𝐴𝐴 𝐴 
 
Utilizando estas expressões podemos calcular a posição do centro de gravidade de figuras elementares. 
Estes valores normalmente são encontrados em tabelas, como a que se encontra ao final desta aula no 
Apêndice A. 
 
Nota: O momento estático tomado com relação a qualquer eixo que passa pelo centro de gravidade da 
figura é nulo e se o momento estático for nulo, o eixo passa pelo centro de gravidade da figura. 
 
 
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Exemplo Resolvido: Cálculo das propriedades geométricas de um retângulo 
 
Cálculo da Área 
𝑑𝐴 = 𝑏𝑑𝑦 
𝐴 = � 𝑑𝐴 =
𝐴
� 𝑏𝑑𝑦
ℎ
0
 
𝐴 = �𝑏𝑦|ℎ0 = 𝑏ℎ 
Cálculo do Momento Estático 
𝑀𝑆𝑥 = � 𝑦𝑑𝐴
𝐴
= � 𝑦𝑏𝑑𝑦ℎ
0
= �𝑏𝑦22 �
0
ℎ = 𝑏ℎ22 
𝑀𝑆𝑦 = � 𝑥𝑑𝐴
𝐴
= � 𝑥ℎ𝑑𝑥𝑏
0
= �ℎ𝑥22 �
0
𝑏 = ℎ𝑏22 
 
Cálculo do Centróide ou Centro de Gravidade 
 
𝑥𝐺 = 𝑀𝑆𝑦𝐴 = ℎ𝑏22𝑏ℎ = 𝑏2 
 
𝑦𝐺 = 𝑀𝑆𝑥𝐴 = 𝑏ℎ22𝑏ℎ = ℎ2 
1.4 – Método Prático para a determinação das propriedades geométricas 
Na maioria das vezes quando lidamos com figuras com formas complicadas torna-se difícil definir uma 
função matemática que descreva esta figura, como é o exemplo da figura a seguir: 
 
Nesses casos utilizamos um método prático, baseado nas propriedades aditivas da área e momentos 
estáticos, este método consiste em dividir a figura em figuras menores com propriedades conhecidas, 
nesse exemplo iremos dividir a figura em três outras figuras menores, um retângulo, um semicírculo e um 
triângulo. 
dy
x
y
b
h
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O método prático consiste em montar uma tabela contendo todas as informações de cada uma das figuras 
resultantes da subdivisão, apenas neste caso utilizaremos valores negativos para área, porém, temos que 
ter em mente que isto é um artifício para se descontar da figura original uma área sem material, esta tabela 
encontra-se a seguir e para todos os casos a serem estudados possuirá as mesmas colunas alterando-se 
apenas as linhas de acordo com a figura original. 
 
Figura 𝑨𝒊 𝒙𝑮𝒊 𝒚𝑮𝒊 𝑨𝒙𝑮𝒊 𝑨𝒚𝑮𝒊 
 12 2 1,5 24 18 
 3 4,67 1 14 3 
 -3,53 2,5 0,64 -8,83 -2,26 
∑ 11,47 --- --- 29,17 18,74 
 
Para se determinar o centróide ou centro de massa basta dividir o somatório do produto 𝐴𝑥𝐺𝑖 e 𝐴𝑦𝐺𝑖 pelo 
somatório de área, assim temos: 
 
𝑥𝐺 = ∑𝐴𝑥𝐺𝑖∑𝐴 = 29,1711,47 = 2,54 
 
𝑦𝐺 = ∑𝐴𝑦𝐺𝑖∑𝐴 = 18,7411,47 = 1,63 
 
 
 
 
 
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APÊNDICE A – FORMULÁRIO DE PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DAS FIGURAS MAIS COMUNS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1- FIGURAS PLANAS 
Nesta aula iremos continuar a estudar as principais características geométricas das figuras, como por 
exemplo, momento de inércia, momento polar de inércia e raio de giração. 
1.1 – Momento de Inércia com relação a um eixo 
Assim como o momento estático já estudado na aula anterior, o momento de inércia também é sempre 
relacionado a um eixo de referência. Tomamos o elemento de área infinitesimal 𝑑𝐴 e multiplicamos pelo 
quadrado da distância a este eixo e fazemos a integral em todo domínio 𝐴. 
Para os eixos cartesianos, os momentos de inércia podem ser definidos pelas seguintes integrais: 
 
Momento de inércia com relação ao eixo X 
𝐼𝑥 = � 𝑦2𝑑𝐴
𝐴
 
 
Momento de inércia com relação ao eixo Y 
𝐼𝑦 = � 𝑥2𝑑𝐴
𝐴
 
1.1.1 – Propriedades do Momento de Inércia 
• Normalmente a notação utilizada para representar o momento de inércia é a letra 𝐼, porém, em 
algumas bibliografias a letra 𝐽 também é utilizada, mas esta última normalmente refere-se ao 
momento de inércia de massa, propriedade esta utilizada em disciplinas como DSF. 
• As unidades de Momento de Inércia possuem a forma 𝐿4, como por exemplo, 𝑚4, 𝑘𝑚4, 𝑚𝑚4 e 
𝑝𝑜𝑙4; 
• São sempre positivos; 
• São aditivos, podem-se somar momentos de inércia diferentes desde que possuam o mesmo eixo 
de referência, como se pode observar na figura a seguir: 
 
 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1 + 𝐼𝑥2 + 𝐼𝑥3 
 
 
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Exemplo Resolvido 1: Cálculo do momento de inércia com relação ao eixo �̅� de um retângulo com sistema 
de eixos localizados no centróide: 
 
𝐼�̅� = � 𝑦2𝑑𝐴
𝐴
= � 𝑦2𝑏𝑑𝑦ℎ2
−
ℎ
2
= �𝑏𝑦33 �
−
ℎ
2
ℎ
2 = 𝑏ℎ312 
 
 
Exemplo Resolvido 2: Cálculo do momento de inércia com relação ao eixo 𝑥 de um retângulo com sistema 
de eixos localizados na base: 
 
𝐼𝑥 = � 𝑦2𝑑𝐴
𝐴
= � 𝑦2𝑏𝑑𝑦ℎ
0
= �𝑏𝑦33 �
0
ℎ = 𝑏ℎ33 
 
 
Obs.: O momento de inércia com relação ao eixo 𝑦� ou 𝑦, possui cálculo semelhante ao apresentado acima, 
portanto, não será demonstrado. 
1.2 – Translação de eixos: Teorema de Steiner ou dos Eixos Paralelos parao Momento de Inércia 
Em muitas situações possuímos os momentos de inércia 𝐼�̅� e 𝐼𝑦� fornecido com relação aos eixos �̅� e 𝑦� que 
passam pelo centróide, porém, necessitamos do momento de inércia com relação a outros eixos quaisquer 
𝑥 e 𝑦 paralelos a �̅� e 𝑦�, para tal faz-se necessário reescrever as coordenadas fornecidas no sistema 
referencial �̅�𝑦� no referencial 𝑥𝑦, como pode ser observado a seguir: 
 
𝑥 = �̅� + 𝑏 
𝑦 = 𝑦� + 𝑎 
 
 
dy
x
y
b
h
dy
x
y
b
h
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Recalculando o momento de inércia com relação ao eixo 𝑥, temos: 
𝐼𝑥 = � 𝑦2𝑑𝐴 =
𝐴
� (𝑦� + 𝑎)2𝑑𝐴 =
𝐴
� (𝑦�2 + 2𝑎𝑦� + 𝑎2)𝑑𝐴 =
𝐴
� 𝑦�2𝑑𝐴
𝐴
+ 2𝑎� 𝑦�𝑑𝐴
𝐴
+ 𝑎2 � 𝑑𝐴
𝐴
 
Sabe-se que: 
𝐼�̅� = � 𝑦�2𝑑𝐴
𝐴
 
𝑀𝑆�̅� = � 𝑦�𝑑𝐴
𝐴
 
𝐴 = � 𝑑𝐴
𝐴
 
Na aula anterior, quando estudamos as propriedades do momento estático verificamos que quando o eixo 
de referência passa pelo centróide, o momento estático é nulo, portanto podemos reescrever o momento 
de inércia sob a seguinte forma: 
𝐼𝑥 = 𝐼�̅� + 𝑎2𝐴 
De forma similar para o momento de inércia com relação ao eixo 𝑦, é dado por: 
𝐼𝑦 = 𝐼𝑦� + 𝑏2𝐴 
Exemplo Resolvido 3: Cálculo do momento de inércia com relação ao eixo 𝑥 de um retângulo com sistema 
de eixos localizados na base, calculado utilizando o Teorema de Steiner: 
𝐼𝑥 = 𝐼�̅� + 𝑎2𝐴 = 𝑏ℎ312 + �ℎ2�2 𝑏ℎ = 𝑏ℎ312 + 𝑏ℎ34 = 𝑏ℎ3 + 3𝑏ℎ312 = 𝑏ℎ33 
 
1.3 – Raio de Giração com relação a um eixo 
O raio de giração refere-se sempre a um eixo. Por definição o raio de giração com relação a este eixo é raiz 
quadrada do momento de inércia dividido pela área. 
Se fosse possível concentrar toda a área da figura plana em um ponto cuja distância ao centro de gravidade 
seja o raio de giração, o momento de inércia com relação a um eixo que passe pelo CG seria a área 
multiplicada pelo quadrado do raio de giração correspondente. 
Raio de giração com relação ao eixo 𝑥: 
𝑖𝑥 = �𝐼𝑥𝐴 𝐼𝑥 = 𝑖𝑥2𝐴 
 
Raio de giração com relação ao eixo 𝑦: 
𝑖𝑦 = �𝐼𝑦𝐴 𝐼𝑦 = 𝑖𝑦2𝐴 
 
 
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1.3.1 – Propriedades do Raio de Giração 
• Normalmente a notação utilizada para representar o momento de inércia é a letra 𝑖, porém, em 
algumas bibliografias a letra 𝑟 também é utilizada. 
• As unidades do raio de giração possuem a forma 𝐿, como por exemplo, 𝑚, 𝑘𝑚, 𝑚𝑚 e 𝑝𝑜𝑙; 
1.4 – Módulo de resistência com relação a um eixo central 
O módulo de resistência é uma característica geométrica da seção que será utilizada no estudo da flexão. 
Apesar de podermos definir o módulo de resistência com relação a qualquer eixo que passe pelo centro de 
gravidade da figura plana, neste tópico o módulo de resistência será definido sempre com relação a um dos 
eixos centrais da figura. Os módulos de resistência com relação ao eixo central 𝑢 são dados pelas 
expressões: 
 
 
 
𝑊𝑥𝑠 = 𝐼𝑢𝑐𝑠 
𝑊𝑥𝑖 = 𝐼𝑢𝑐𝑖 
 
onde: 
𝐼𝑢 é o momento de inércia com relação ao eixo 𝑢; 
𝑐𝑠 é a distância entre o eixo 𝑢 e o eixo paralelo a ele que tangencia a figura plana no lado superior (caso 
haja mais de uma tangente, adota-se a que dá a maior distância); 
𝑐𝑖 é a distância entre o eixo u e o eixo paralelo a ele que tangencia a figura plana no lado inferior (caso haja 
mais de uma tangente, adota-se a que dá a maior distância). 
1.4.1 – Propriedades do Módulo de Resistência 
• As unidades do módulo de resistência possuem a forma 𝐿3, como por exemplo, 𝑚3, 𝑘𝑚3, 𝑚𝑚3 e 
𝑝𝑜𝑙3; 
• Os módulos de resistência não são aditivos, isto é, ao contrário do cálculo feito para o momento de 
inércia, o módulo de resistência de uma seção tubular não é o módulo da parte de fora menos o 
módulo da parte de dentro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1.5 – Momento polar de inércia com relação a um ponto 
O momento polar de inércia é sempre definido com relação a um ponto ou pólo. Tomamos o elemento de 
área infinitesimal 𝑑𝐴 e multiplicamos pelo quadrado da distância ao polo e fazemos a integral em todo 
domínio 𝐴. 
 
Momento polar de inércia com relação ao pólo 𝑂: 
𝐼𝑝 = � 𝑟2𝑑𝐴
𝐴
 
mas: 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 
então: 
𝐼𝑝 = � (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝐴 =
𝐴
� 𝑥2𝑑𝐴
𝐴
+ � 𝑦2𝑑𝐴
𝐴
 
𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 
 
1.5.1 – Propriedades do Momento Polar de Inércia 
• O momento polar de inércia é sempre constante quando referenciado a um mesmo ponto, isto 
ocorre devido ao fato da soma dos momentos de inércia com relação a eixos ortogonais entre si 
que passam pelo mesmo ponto ser constante, como pode ser demonstrado na seqüência: 
 
Definindo novamente 𝑟2, temos: 
𝑟2 = 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑢2 + 𝑣2 
portanto: 
𝐼𝑝 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦 = 𝐼𝑢 + 𝐼𝑣 
 
1.6 – Produto de Inércia com relação a um par de eixos 
O produto de inércia é sempre calculado com relação a um par de eixos ortogonais entre si. Neste caso o 
elemento de área 𝑑𝐴 é multiplicado pelas distâncias a cada um dos eixos e integrado em toda área 𝐴. 
 
Geralmente o produto de inércia é calculado com 
relação aos dois eixos de coordenadas, assim o 
produto de inércia com relação aos eixos 𝑥 e 𝑦 é 
definido pela integral: 
𝐼𝑥𝑦 = � 𝑥𝑦𝑑𝐴
𝐴
 
𝑂 
AAuullaa 0022 –– FFiigguurraass PPllaannaass IIII 
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1.6.1 – Propriedades do Produto de Inércia 
• Normalmente a notação utilizada para representar o produto de inércia é a letra 𝐼, porém, em 
algumas bibliografias a letra 𝐽 também é utilizada, mas esta última normalmente refere-se ao 
momento de inércia de massa, propriedade esta utilizada em disciplinas como DSF. Em alguns livros 
o produto de inércia é chamado de momento centrífugo de inércia; 
• As unidades de Produto de Inércia possuem a forma 𝐿4, como por exemplo, 𝑚4, 𝑘𝑚4, 𝑚𝑚4 e 𝑝𝑜𝑙4; 
• O Produto de Inércia pode ser positivo, negativo ou nulo como pode ser observado nas figuras a 
seguir: 
Para uma figura contida inteiramente no 
primeiro ou terceiro quadrantes o produto de 
inércia é positivo, pois todos os produtos 𝑥𝑦 
serão positivos. 
 
𝐼𝑥𝑦 > 0 
 
Para uma figura contida inteiramente nos 
segundo e quarto quadrante o produto de 
inércia é negativo, pois todos os produtos 𝑥𝑦 
serão negativos. 
 
𝐼𝑥𝑦 < 0 
 
• Os produtos de inércia são aditivos, podem-se somar produtos de inércia diferentes desde que 
possuam os mesmos eixos de referências, como se pode observar na figura a seguir: 
 
 
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑦1 + 𝐼𝑥𝑦2 + 𝐼𝑥𝑦3 
1.7 – Translação de eixos: Teorema de Steiner ou dos Eixos Paralelos para o Produto de Inércia 
De forma similar ao demonstrado para o momento de inércia podemos definir o produto de inércia com 
relação a um par de eixos qualquer com base no produto de inércia com relação ao par de eixos que passa 
pelo centróide, como pode ser observado a seguir: 
 
𝐼𝑥𝑦 = 𝐼𝑥𝑦���� + 𝑎𝑏𝐴 
 
𝑦 
𝑥 
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1- FIGURAS PLANAS 
Nesta aula iremos estudar eixos e momentos principais de inércia e assim finalizar o estudo de figuras 
planas. 
1.1 – Eixos e momentos principais de inércia 
Existem diversos eixos que passam pelo CG de uma figura plana, porém, existe um par de eixos que 
possuem uma maior importância, são os eixos chamados de eixos principais. Esses eixos são importantes, 
pois, fornecem o maior e o menor momento de inércia de uma figura plana. 
Para se determinar esses eixos faz-se necessário conhecer os momentos e produtos de inércia com relação 
a um par de eixos ortogonais qualquer que passa pelo CG de uma figura plana, a determinação da posição 
desses eixos, bem como o valor dosmomentos de inércia podem ser determinados pelas expressões a 
seguir: 
Assim como o momento estático já estudado na aula anterior, o momento de inércia também é sempre 
relacionado a um eixo de referência. Tomamos o elemento de área infinitesimal 𝑑𝐴 e multiplicamos pelo 
quadrado da distância a este eixo e fazemos a integral em todo domínio 𝐴. 
Para os eixos cartesianos, os momentos de inércia podem ser definidos pelas seguintes integrais: 
 
𝑢 = 𝑥 𝑐𝑜𝑠(𝛼) + 𝑦 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
𝑣 = 𝑦 𝑐𝑜𝑠(𝛼)− 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
𝐼1 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 + ��𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 �2 + 𝐼𝑥𝑦2 
𝐼2 = 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼𝑥 + 𝐼𝑦2 −��𝐼𝑥 − 𝐼𝑦2 �2 + 𝐼𝑥𝑦2 
𝑡𝑎𝑛(𝛼1) = 𝐼𝑥 − 𝐼1𝐼𝑥𝑦 
𝛼2 = 𝛼1 + 90° = 𝛼1 + 𝜋2 
 
 
dA
y
x
u
v
α
y
x
v
u
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1.2 – Exercícios Figuras Planas 
Para as figuras a seguir determine todas as propriedades das figuras planas (Área, 𝑀𝑆𝑥, 𝑀𝑆𝑦, 𝑋𝐺, 𝑌𝐺, 𝐼𝑥 , 𝐼𝑦 , 
𝐼𝑥𝑦, 𝐼1, 𝐼2, 𝛼1 e 𝛼2). 
 
𝑖) 
 
 
 
 
 
 
 
y
x
7
1
1
4
AAuullaa 0033 –– FFiigguurraass PPllaannaass IIIIII 
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	RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS – AULAS 01
	Aula 01 - Figuras Planas.pdf
	1- Figuras Planas
	1.1 – Área
	1.1.1 – Propriedades da área
	1.2 – Momento Estático com relação a um eixo
	1.2.1 – Propriedades do Momento Estático
	1.3 – Centróide ou Centro de Gravidade
	1.4 – Método Prático para a determinação das propriedades geométricas
	Apêndice A – Formulário de Propriedades Geométricas das figuras mais comuns
	Aula 02 - Figuras Planas.pdf
	1- Figuras Planas
	1.1 – Momento de Inércia com relação a um eixo
	1.1.1 – Propriedades do Momento de Inércia
	1.2 – Translação de eixos: Teorema de Steiner ou dos Eixos Paralelos para o Momento de Inércia
	1.3 – Raio de Giração com relação a um eixo
	1.5 – Momento polar de inércia com relação a um ponto
	1.5.1 – Propriedades do Momento Polar de Inércia
	1.6 – Produto de Inércia com relação a um par de eixos
	1.6.1 – Propriedades do Produto de Inércia
	1.7 – Translação de eixos: Teorema de Steiner ou dos Eixos Paralelos para o Produto de Inércia
	Aula 03 - Figuras Planas.pdf
	1- Figuras Planas
	1.1 – Eixos e momentos principais de inércia
	1.2 – Exercícios Figuras Planas