Engenharia Econômica apostila aula 1

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AULA 1 
 
Vamos iniciar trabalhando alguns conceitos relacionados 
com a matemática financeira, conceitos básicos que 
permitem entender o funcionamento do dinheiro no tempo. 
Os recursos financeiros, quando aplicados, rendem juros, 
que é a remuneração por deixarmos o dinheiro em uma 
instituição financeira, por exemplo. No entanto, eles 
também sofrem impactos com a inflação, pois quando 
projetamos um fluxo de caixa futuro, os montantes de 
lucros projetados são impactados pela inflação. Isso 
equivale dizer que o mesmo montante, se comparado hoje 
a daqui um ano, não possui o mesmo poder de compra. 
É o efeito inflacionário!!! Todos esses aspectos devem ser 
analisados quando realizamos projetos ou investimentos. 
 
Para nos aprofundarmos nos cálculos, é necessário 
destacar alguns conceitos: 
 
CAPITAL: É qualquer valor expresso na moeda corrente 
de um país e disponível para uma operação financeira 
(CASTANHEIRA, MACEDO, 2008, p. 14). É o montante ou 
quantia existente no instante inicial da operação financeira. 
Pode aparecer também como valor presente, valor atual, 
principal. O capital também é tratado na matemática 
financeira como Valor Presente (PV = Present Value) e o 
montante como Valor Futuro (FV = Future Value). 
TEMPO: Também chamado de período, prazo, número de 
períodos. Corresponde ao tempo que determinado capital 
ficará aplicado ou, ainda, à quantidade de parcelas ou 
períodos de capitalização. 
 
JUROS: É o valor (remuneração) que o capital receberá 
pelo tempo que ficará aplicado. Mas também pode 
representar a remuneração do capital que é utilizado nas 
atividades da empresa. O cálculo dos juros é realizado com 
a aplicação de uma taxa sobre o capital empregado, pelo 
tempo da operação. 
 
MONTANTE: É o valor do capital inicial acrescido dos 
juros, calculados de acordo com o período de tempo da 
operação. É conhecido como o valor futuro do capital. 
 
 
OBSERVAÇÃO : Os cálculos que seguirão como exemplos 
nas questões de matemática financeira utilizam todas as 
casas decimais. No texto, em função do espaço, aparecem 
somente 4 a 5 casas após a vírgula, mas o cálculo foi 
desenvolvido com a utilização de todas as casas possíveis. 
Se por acaso você for refazer os exemplos e não chegar 
exatamente no valor, não se assuste! Refaça a questão 
com todas as casas após a vírgula, não somente as 4 ou 5 
casas que aparecem no texto da resolução das questões. 
 
Juros Simples e Compostos 
O cálculo dos juros pode ser pela Capitalização Simples ou 
Composta, conhecidos como Juros Simples e Juros 
Compostos. 
Juros Simples 
A taxa de juros incide somente sobre o capital inicial, não 
incidindo sobre os juros acumulados no período (VIEIRA 
SOBRINHO, 2008, p. 21). Os juros calculados não são 
somados ao capital para se calcular os próximos juros. A 
equação para o cálculo dos juros simples é: 
 
 
 
Para os exemplos apresentados, iremos utilizar Vieira 
Sobrinho (2008) e Castanheira e Macedo (2008). 
Vamos ver um exemplo: qual é o valor do juro obtido por 
um investidor que aplicou R$12.500,00 pelo período de 40 
dias, a uma taxa de juros simples de 1,8% ao mês? 
 
 
 
 
Mas antes de aplicarmos a fórmula, precisamos deixar o 
tempo e os juros na mesma base, ou em dias ou em 
meses. Dividindo 1,8% ao mês por 30 dias, temos 0,06% 
ao dia. Ao utilizar uma taxa na fórmula, é preciso dividir por 
100 = 0,06 / 100 = 0,0006. Agora sim: 
 
Se quisermos calcular o montante, usa-se a equação: 
 
Em alguns cálculos, a variável que precisamos calcular é o 
Capital, o tempo ou os juros. Nesse caso precisamos 
adaptar o cálculo, vejam o exemplo: qual será a taxa 
mensal de juro simples que fará um capital de R$ 
200.000,00 formar um montante de 272.000,00 daqui a 12 
meses? 
 
OBS: também é possível calcular a taxa utilizando = i = J / 
C . n 
Juros Compostos 
Um empréstimo é contratado a juros compostos quando, no 
final de cada período, os juros devidos são pagos ou 
incorporados ao capital. Se forem incorporados ao capital, 
os próximos juros incidirão sobre o capital e os juros 
incorporados (HUMMEL, TASCHNER, 1995, p. 35). Usa-se 
a equação: 
 
E o montante é calculado com: 
 
No juro composto, o valor do juro calculado em um período 
incorpora ao capital. Os novos juros são calculados sobre o 
novo valor. Exemplo: 
 
Exemplo: qual será o valor do juro correspondente a um 
empréstimo de R$15.000,00 pelo prazo de um ano, a uma 
taxa de juro composto de 2,5% ao mês? 
 
Em alguns casos, é solicitado capital, a taxa de juros ou o 
período. Nesse caso podemos usar as seguintes fórmulas: 
 
OBS: para a resolução das fórmulas pode ser utilizada 
calculadora financeira ou o Excel para os cálculos. 
Exemplo: a que taxa de juro composto devem ser 
emprestados R$35.000,00 para, em oito meses, obtermos 
um montante de R$42.000,00? 
 
i = 0,02305 x 100 = 2,30% ao mês de juro 
 
 
 
 
Tema 
Taxa de Juros Efetiva e Nominal 
 
A taxa nominal ocorre quando a taxa de juros é calculada 
em um determinado período, por exemplo anual, mas a 
capitalização dos juros é mensal. O período de referência 
dos juros é diferente do período de capitalização da taxa. 
A taxa efetiva ocorre quando o período de tempo de 
referência da taxa é igual ao período de capitalização dos 
juros. É a taxa real da operação. 
 
Para o cálculo dos juros compostos e montantes, é 
utilizada a taxa efetiva. Se a taxa estiver nominal, pode-se 
transformar a mesma em taxa efetiva, dividindo-se pelo 
período de meses da taxa de capitalização. É a taxa 
proporcional ao período efetivo. Exemplo: se a taxa for de 
24% ao ano com capitalização mensal, a taxa efetiva será 
de 2% ao mês. 
 
Taxas Equivalentes 
Duas ou mais taxas são equivalentes se, ao mantermos 
constantes o capital e o prazo de aplicação do capital, o 
montante resultante da aplicação for o mesmo, quaisquer 
que sejam os períodos de capitalização (CASTANHEIRA, 
MACEDO, 2008, p. 58). 
 
Como exemplo, vamos utilizar uma taxa de 24% ao ano 
com capitalização mensal, que é diferente da taxa de 2% 
ao mês pela capitalização dos juros compostos. Para que 
as taxas sejam equivalentes, devem produzir o mesmo 
montante no final do período. 
 
Na qual: 
 
Exemplo: taxa anual de 12% para taxa mensal (taxa 
equivalente). 
 
OBS: um ano tem 12 meses = 1/12. Se fosse de mês para 
anos = 12/1. 
 
Exemplo: determine a taxa trimestral equivalente a uma 
taxa de juro composto de 36% ao ano. 
 
OBS: um ano tem 4 trimestres = 1/4. Se fosse de trimestre 
para anos = 4/1. 
 
 
Fluxo de Caixa 
Antes de iniciar sobre séries de pagamentos, vamos 
entender sobre Fluxo de Caixa, sua disposição gráfica. 
Fluxo de Caixa é uma sucessão de recebimentos ou de 
pagamentos, em dinheiro, previstos para determinado 
período de tempo (VIEIRA SOBRINHO, 2008, p. 64). A 
seguir estão relacionadas entradas e saídas de uma 
empresa, no primeiro semestre do ano: 
 
 
 
Graficamente, o fluxo de caixa líquido é assim 
representado: 
 
Se houverem valores negativos, saídas de caixas, a seta 
estaria apontada para baixo. 
 
Efeitos inflacionários 
Inflação é o aumento generalizado dos preços. A inflação 
precisa ser considerada em cálculos financeiros, para se 
apurar qual é a taxa de juros global e a taxa de juros real. 
Vamos ver cada uma dessas taxas: 
a) Taxa de Juro Global 
Algumas modalidades de cálculos levam em conta um 
indexador (para levar em conta a inflação nos cálculos 
financeiros) e uma taxa de juros.É a correção monetária 
para compensar o efeito inflacionário nos preços. Exemplo: 
o rendimento da caderneta de poupança é determinado 
pela Taxa Referencial (TR), acrescido de 0,5% ao mês. A 
TR é utilizada para compensar os efeitos inflacionários e a 
taxa de 0,5% ao mês é o ganho proporcionado pela 
poupança. 
A equação para determinar a taxa global é a seguinte: 
 
Onde i global = é o rendimento total da taxa da operação 
(não é a soma das taxas). 
 
 
b) Taxa de Juro Real 
Taxa de Juros Real é a taxa efetiva, após excluídos os 
efeitos inflacionários. É o ganho real proporcionado por 
determinada aplicação, após excluídos os efeitos da perda 
monetária pela inflação. 
É determinado pela equação: 
 
 
Exemplo: vamos supor que, em determinado período, uma 
roupa sofreu os seguintes aumentos 
1º - 2% 
2º - 4% 
3º - 7% 
Vamos comparar com a inflação do período, que foi de: 
1º - 2% 
2º - 3% 
3º - 5% 
 
a) Qual foi a taxa de aumento global do período? 
 
 
b) Qual foi a taxa de aumento global da Inflação do 
período? 
 
 
c) Qual foi a taxa de aumento real do período? 
 
 
 
 
Tema 
Série de Pagamentos 
 
Consiste em uma série de pagamentos ou desembolsos, 
em períodos diferentes. Castanheira e Macedo (2008, p. 
92) classificam uma série ou renda de acordo com quatro 
parâmetros. 
Quanto ao prazo 
 Temporária, quando a duração é limitada. 
 Perpétua, quando a duração é ilimitada. 
Quanto ao valor 
 Constante, quando todos os pagamentos ou recebimentos, ou 
saques ou depósitos têm valores iguais; 
 Variável, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques 
ou depósitos não têm todos os valores iguais. 
Quanto à forma 
 Imediata, quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou 
saque ou depósito ocorre no primeiro período, podendo ser: 
postecipado, quando a ocorrência é no final do período, ou seja, 
sem entrada; ou antecipado, quando a ocorrência é no início do 
período, ou seja, com entrada (considerando essa entrada igual 
às demais parcelas); 
 Diferida, quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou 
saque ou depósito não ocorre no primeiro período, havendo, 
portanto, um prazo de carência, podendo ser: postecipado, 
quando o primeiro movimento ocorre um período após o término 
da carência ou diferimento; ou antecipado, quando o primeiro 
movimento coincide com o final de carência ou diferimento. 
Quanto à periodicidade 
 Periódica, quando a periodicidade entre os pagamentos ou 
recebimentos, ou saques ou depósitos é igual; 
 Não periódica, quando a periodicidade entre os pagamentos ou 
recebimentos, ou saques ou depósitos não é igual entre as 
parcelas. 
Quando uma série uniforme é simultaneamente 
Temporária, Constante, Imediata Postecipada e Periódica, 
temos um Modelo Básico de Renda. 
Para calcular séries de pagamentos e recebimentos iguais 
com termos vencidos (postecipados), as equações a seguir 
devem ser utilizadas: 
• Fator de Valor Atual: quando se tem as prestações e quer 
calcular o capital atual. As prestações são denominadas de 
P: 
 
Exemplo: um automóvel é anunciado em 36 prestações 
mensais iguais de R$1.499,00, sendo que o primeiro 
pagamento será em 30 dias. Determine o preço à vista 
deste automóvel, sabendo que a loja cobra 1,99% ao mês 
de taxa de juro. 
 
• Fator de Recuperação de Capital: quando se tem o valor 
do capital e quer se calcular as prestações: 
 
Exemplo: um automóvel cujo preço à vista é de 
R$54.356,00 deverá ser financiado em 36 parcelas 
mensais e iguais, sendo o primeiro pagamento em 30 dias, 
à taxa de juro de 2,99% ao mês. Determine o valor das 
prestações. 
 
• Fator de Acumulação de Capital: quando se tem o valor 
das prestações e se quer calcular o montante final (futuro): 
 
Exemplo: uma empresa buscando manter um bom 
relacionamento com seu banco efetuou 38 depósitos 
mensais de R$ 5.000,00 na instituição financeira. Sabendo 
que a taxa mensal de juro é de 3% ao mês, qual é o saldo 
à disposição da empresa após o último depósito? 
 
• Fator de Formação de Capital: quando se tem o valor do 
montante final (futuro) e se quer calcular as prestações: 
 
Exemplo: qual é a quantia que devo depositar no final de 
cada mês, durante dez anos, para constituir o montante de 
R$1.000.000,00, se a taxa de juro é de 2% ao mês? 
 
 
Em algumas séries a primeira parcela acontece no 
momento da operação, no momento zero, corresponde à 
renda antecipada. É dada uma entrada do mesmo valor 
das demais parcelas. Nesse caso utilizamos a fórmula: 
 
Para Saber Mais: 
Existem alguns sites que podem auxiliar, principalmente 
quando precisamos fazer rapidamente alguns cálculos, 
disponibilizando calculadoras para os mesmos. Seguem 
alguns links, clique nos botões: 
SAIBA MAIS 
SAIBA MAIS 
Agora que você já está por dentro do assunto, não deixe de 
acompanhar as explicações do professor Guilherme, no 
vídeo a seguir: 
 
• Fator de Formação de Capital: quando se tem o valor do 
montante final (futuro) e se quer calcular as prestações: 
 
Exemplo: qual é a quantia que devo depositar no final de 
cada mês, durante dez anos, para constituir o montante de 
R$1.000.000,00, se a taxa de juro é de 2% ao mês? 
 
 
 
Em algumas séries a primeira parcela acontece no 
momento da operação, no momento zero, corresponde à 
renda antecipada. É dada uma entrada do mesmo valor 
das demais parcelas. Nesse caso utilizamos a fórmula: 
 
 
Tema 
Descontos simples e compostos 
 
Desconto é um abatimento concedido ao devedor pela 
antecipação do pagamento de um título. Também é dado 
desconto quando um título é resgatado antes do 
vencimento. No desconto o valor futuro do título é 
conhecido e se quer determinar o atual valor do título, a 
diferença representa o desconto na operação. O desconto 
é aplicado sobre o montante ou valor futuro. 
 
 
 
 
Desconto Simples (ou Bancário ou 
Comercial) 
A taxa de desconto é aplicada sobre o montante ou valor 
futuro. O desconto comercial é calculado sobre o valor da 
dívida no seu vencimento. 
A equação para seu cálculo é: 
 
Exemplo: uma empresa pretende saldar um título de 
R$3.900,00 três meses antes do seu vencimento. Sabendo 
que a taxa de juro simples corrente é de 24% ao ano, 
determine o desconto comercial que vai obter e que valor 
ela deve pagar. 
OBS: taxa de 24% ao ano / 12 meses = 2% ao mês 
D = 3.900 . 0,02 . 3 = R$234,00 
 
Para se obter o valor do título (valor presente, sem o 
desconto), é necessário diminuir o valor do Desconto (D) 
do Montante do título (M) = 
Valor presente = M – D 
OU 
Valor Presente = M . (1 – i . n) 
Exemplo: uma dívida de R$3.000,00 foi paga quatro meses 
antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto 
comercial simples de 2,5% ao mês. Qual foi o valor líquido 
pago pela dívida? 
Valor Pago = 3.000 . (1 – 0,025 . 4) = 3.000 . (1 – 0,1) = 
3.000 . 0,9 = R$2.700,00 
 
Desconto Composto 
De acordo com Vieira Sobrinho (2008, p. 55), o desconto 
composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre 
o montante futuro, deduzido dos descontos acumulados até 
o período imediatamente anterior. 
A taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o 
valor futuro do título, no segundo período, sobre o valor 
futuro do título menos o valor do desconto correspondente 
ao primeiro período, e assim sucessivamente. Sua fórmula 
é: 
 
 
 
xemplo: determine o desconto comercial composto de um 
título de R$40.000,00 que vencerá daqui a um ano, 
supondo uma taxa efetiva de desconto igual a 1,8% ao 
mês. 
 
Para se calcular o valor dotítulo, com uma taxa de 
desconto comercial composto: 
 
 
Exemplo: um título de R$27.000,00 é descontado oito 
meses antes do seu vencimento, pela taxa de desconto de 
1,5% ao mês. Qual é o valor pago pelo título, considerando 
o desconto composto calculado? 
 
 
Tema 
Sistemas de Amortização de Dívidas 
 
 
Amortização de dívidas corresponde aos pagamentos 
periódicos para a quitação das mesmas. O pagamento 
compreende a devolução do capital e os juros incidentes no 
empréstimo. Os dois principais sistemas de amortização 
são: a) Sistema de Prestação Constante (SPC); b) Sistema 
de Amortização Constante (SAC). 
 
Sistema de Prestação Constante (SPC) 
É conhecido também por Sistema Francês de Amortização 
ou Sistema Price. O valor de cada prestação é composto 
de juros e de uma fração do capital. Nesse sistema a 
amortização de uma dívida é realizada em prestações 
periódicas, iguais e sucessivas. O valor das prestações é 
constante em todos os períodos. Os juros são maiores nas 
prestações iniciais e menores nas prestações finais, pois a 
taxa de juros é aplicada sobre o saldo devedor. A seguir é 
apresentada uma figura demonstrando como se compõem 
os valores da parcela: 
Figura 01 – Representação da composição das prestações 
no Sistema de Prestação Constante 
 
Vamos analisar um exemplo: calculando os valores das 
parcelas de juros e a amortização de um empréstimo no 
valor de R$ 10.000,00, a ser liquidado em 5 prestações 
mensais e iguais, considerando a taxa de juros de 3% ao 
mês. 
Cálculo das prestações: 
 
 
 
Tabela 1 – Composição dos valores dos juros e 
amortização pelo Sistema de Prestação Constante 
 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
Neste sistema a amortização da dívida (não a prestação) é 
constante. No Sistema de Amortização Constante, o valor 
das prestações apresenta-se decrescente e formado por 
parcelas do capital mais os juros. 
Figura 02 – Representação da composição das prestações 
no Sistema de Amortização Constante 
 
 
Vamos analisar um exemplo, calculando os valores das 
parcelas de juros e a amortização de um empréstimo no 
valor de R$ 10.000,00, a ser liquidado em 5 prestações 
mensais, considerando a taxa de juros de 3% ao mês. 
 
Tabela 2 – Composição dos valores dos juros e 
amortização pelo Sistema de Amortização Constante 
 
 
O valor da amortização é sempre o mesmo (R$ 2.000,00), 
fazendo com que os juros sejam menores que no SPC, se 
comparado o total de juros calculados durante o período. 
As prestações são maiores no início, se comparado ao 
SPC, mas depois vão reduzindo, pois o saldo devedor é 
amortizado mais rapidamente.