pacote de onda

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1 Pacote de Onda Unidimensional: Dispersa˜o do Pacote de
Onda.
• Part´ıcula livre: V (x) = 0
• Vamos considerar um pacote de onda Gaussiano:
ψ(x, 0) =
1√
2pi
∫ +∞
−∞
dk g(k, 0) exp(ikx) (1)
onde g(k, 0) e´ dado por:
g(k, 0) =
√
a
(2pi)1/4
exp
[
−a
2
4
(k − k0)2
]
(2)
• E´ fa´cil verificar que g(k, 0) esta´ normalizado, ou seja:
∫ +∞
−∞
dk |g(k, 0)|2 = 1 (3)
• De acordo com a fo´rmula de Parseval-Plancherel temos que:
∫ +∞
−∞
dx |ψ(x, 0)|2 = 1 (4)
1.1 Forma do Pacote em t = 0.
• Vamos agora obter a expressa˜o para ψ(x, 0). Substituindo a eq. [2] na eq. [1] obtemos:
ψ(x, 0) =
1√
2pi
√
a
(2pi)1/4
∫ +∞
−∞
dk exp
[
−a
2
4
(k − k0)2
]
exp(ikx) (5)
=
√
a
(2pi)3/4
∫ +∞
−∞
dk exp
[
−a
2
4
(k − k0)2 + ikx
]
(6)
• Vamos olhar agora o expoente do integrando da eq. [6]:
−a
2
4
(k − k0)2 + ikx = −a
2
4
(
k − 2kk0 + k20
)
+ ikx =
−a
2
4
k2 +
a2
2
kk0 − a
2
4
k20 + ikx = −
a2
4
k2 +
(
a2
2
k0 + ix
)
k − a
2
4
k20 (7)
1
• Isto pode ser colocado na seguinte forma:
−a
2
4
(k −B)2 + a
2
4
B2 − a
2
4
k20 = −
a2
4
k2 +
a2
2
Bk − a
2
4
B2 +
a2
4
B2 − a
2
4
k20 (8)
• Comparando as eq. [7] e [8] obtemos:
B = k0 +
2i
a2
x B2 = k20 +
4i
a2
x− 4
a4
x2 (9)
• Juntando tudo temos:
−a
2
4
(k −B)2 + a
2
4
B2 − a
2
4
k20 = −
a2
4
(
k − k0 − 2i
a2
x
)2
+
a2
4
k20 + ik0x−
x2
a2
− a
2
4
k20 (10)
• O pacote fica:
ψ(x, 0) =
√
a
(2pi)3/4
∫ +∞
−∞
dk exp
[
−a
2
4
(
k − k0 − 2i
a2
x
)2
+ ik0x− x
2
a2
]
=
=
√
a
(2pi)3/4
exp
[
ik0x− x
2
a2
] ∫ +∞
−∞
dk exp
[
−a
2
4
(
k − k0 − 2i
a2
x
)2]
︸ ︷︷ ︸
2
√
pi/a
=
=
(
2
pia2
)1/4
exp(ik0x) exp
[
−x
2
a2
]
(11)
• A densidade de probabilidade e´:
|ψ(x, 0)|2 =
(
2
pia2
)1/2
exp
[
−2x
2
a2
]
(12)
1.1.1 Ca´lculo de ∆x e ∆k.
• Ca´lculo de ∆k:
〈k〉 =
∫ +∞
−∞
dk k |g(k)|2 =
∫ +∞
−∞
dk k exp
[
−a
2
2
(k − k0)2
]
(13)
fazendo a mudanc¸a˜ de varia´vel k ′ = k − k0 temos:
〈k〉 = k0 (14)
〈k2〉 =
∫ +∞
−∞
dk k2 |g(k)|2 = a
(2pi)1/2
∫ +∞
−∞
dk k2 exp
[
−a
2
2
(k − k0)2
]
(15)
2
fazendo k ′ = k − k0 temos:
〈k2〉 = a
(2pi)1/2
∫ +∞
−∞
dk ′ (k ′ + k0)2 exp
[
−a
2
2
k ′ 2
]
=
1
a2
+ k20 (16)
com isto temos:
∆k =
√
〈k2〉 − 〈k〉2 = 1
a
(17)
• Ca´lculo de ∆x:
〈x〉 =
∫ +∞
−∞
dx x |ψ(x, 0)|2 = 0 (18)
〈x2〉 =
∫ +∞
−∞
dx x2 |ψ(x, 0)|2 =
(
2
pia2
)1/2 ∫ +∞
−∞
dx x2 exp
[
−2x
2
a2
]
=
a2
4
(19)
com isto temos:
∆x =
√
〈x2〉 − 〈x〉2 = a
2
(20)
• Note que para um pacote |ψ(x, 0)|2 normalizado, ∆x esta´ relacionado com o expoente do inte-
grando: ∆x = 1/
√
2α), se |ψ(x, 0)|2 ∝ exp(−αx2).
• O produto ∆x∆k fica:
∆x ∆k =
1
2
(21)
1.2 Evoluc¸a˜o Temporal do Pacote de Onda.
ψ(x, t) =
1√
2pi
∫ +∞
−∞
dk g(k) exp [i(kx− ω(k)t)] ; ω(k) = h¯k
2
2m
(22)
ψ(x, t) =
√
a
(2pi)3/4
∫ +∞
−∞
dk exp
[
−a
2
4
(
k − k20
)
+ ikx− ih¯k
2
2m
t
]
=
=
√
a
(2pi)3/4
∫ +∞
−∞
dk exp
[
−
(
a2
4
+
ih¯t
2m
)(
k2 − ix+ a
2k0/2
ih¯t/2m+ a2/4
k
)
− a
2
4
k20
]
(23)
Completando o quadrado:
3
−
(
a2
4
+
ih¯t
2m
)(
k2 − ix+ a
2k0/2
ih¯t/2m+ a2/4
k
)
− a
2
4
k20 =
−
(
a2
4
+
ih¯t
2m
)
(k −B)2 +
(
a2
4
+
ih¯t
2m
)
B2 − a
2
4
k20 (24)
Desenvolvendo o quadrado e fazendo as comparac¸o˜es apropriadas:
B =
2ix+ a2k0
2ih¯t/m+ a2
(25)
Com isto o expoente fica:
−
(
a2
4
+
ih¯t
2m
)(
k − 2ix+ a
2k0
2ih¯t/m+ a2
)2
+
1
4
(
a2 +
2ih¯t
m
)(
2ix+ a2k0
2ih¯t/m+ a2
)2
− a
2
4
k20 (26)
Vamos analisar agora os dois u´ltimos termos deste expoente:
1
4
(
a2 +
2ih¯t
m
)(
2ix+ a2k0
2ih¯t/m+ a2
)2
− a
2
4
k20 =
=
1
4
(2ix+ a2k0)
2
2ih¯t/m+ a2
− a
2
4
k20 =
=
−x2 + ixa2k0 + a4k20/4
2ih¯t/m+ a2
− a
2
4
k20 + ik0x− ik0x =
=
−x2 + 2h¯k0tx/m− ia2h¯k20t/2m
2ih¯t/m+ a2
+ ik0x =
=
−x2 + 2h¯k0tx/m− ia2h¯k20t/2m+ h¯2k20t2/m2 − h¯2k20t2/m2
2ih¯t/m+ a2
+ ik0x =
= −(x− h¯k0t/m)
2
2ih¯t/m+ a2
+
−ia2h¯k20t/2m+ h¯2k20t2/m2
2ih¯t/m+ a2
+ ik0x =
= −(x− h¯k0t/m)
2
2ih¯t/m+ a2
+
(a2 + 2ih¯t/m) (−ih¯k20t/2m)
2ih¯t/m+ a2
+ ik0x =
= −(x− h¯k0t/m)
2
2ih¯t/m+ a2
− ih¯k
2
0
2m
t+ ik0x (27)
Assim temos:
ψ(x, t) =
√
a
(2pi)3/4
exp
[
ik0x− ih¯k
2
0
2m
t− (x− h¯k0t/m)
2
(a2 + 2ih¯t/m)
]
×
4
×
∫ +∞
−∞
dk exp
−(a2
4
+
ih¯t
2m
)(
k − 2ix+ a
2k0
2ih¯t/m+ a2
)2
︸ ︷︷ ︸
pi1/2/ (a2/4 + ih¯t/2m)
1/2
=
=
(
2a2
pi
)1/4 (
a2 +
2ih¯
m
t
)−1/2
exp
[
ik0x− ih¯k
2
0
2m
t− (x− h¯k0t/m)
2
(a2 + 2ih¯t/m)
]
(28)
Mas:
(
a2 +
2ih¯
m
t
)1/2
=
(a4 + 4h¯2
m2
t2
)1/2
exp
(
2ih¯t
ma2
)1/2 = (a4 + 4h¯2
m2
t2
)1/4
exp(2iθ) (29)
onde:
tan 2θ =
2h¯t
ma2
Finalmente:
ψ(x, t) =
(
2a2
pi
)1/4 (
a4 +
4h¯2
m2
t2
)−1/4
exp
[
ik0x− iθ − ih¯k
2
0
2m
t− (x− h¯k0t/m)
2
(a2 + 2ih¯t/m)
]
(30)
A densidade de probabilidade fica:
|ψ(x, t)|2 =
(
2a2
pi
)1/2 (
a4 +
4h¯2
m2
t2
)−1/2
exp
−
2a2
(
x− h¯k0m t
)2
(
a4 + 4h¯
2
m2
t2
)
 (31)
Esta densidade de probabilidade e´ uma func¸a˜o Gaussiana centrada em x = v0t ; v0 = h¯k0/m. A largura
do pacote ∆x e´ dada por:
∆x =
a
2
√
1 +
4h¯2
a2m2
t2 (32)
5