PARABOLAS CÔNICAS

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João Carlos Lemos Júnior 
Monitoria de Geometria Analítica – Resumo de Cônicas 
Matemática - Licenciatura 
 
1. PARÁBOLAS 
 
 
 
 
 
Obviamente, tem-se: d(V,F)=d(V,A) 
 
1.1 Equação da parábola de vértice na origem do sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
OU 
 
FOCO 
VÉRTICE 
RETA DIRETRIZ 
 
 
 
 
 
 X2 = 2py 
Equação da parábola de vértice na 
origem, tendo para o eixo, o eixo dos Y 
 
 
 
EIXO: SEMPRE SERÁ UMA 
RETA PERPENDICULAR A RETA 
DIRETRIZ QUE PASSA PELO 
FOCO 
 
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Lembre-se: “Através do valor de P, é possível definir qual a concavidade da parábola!” 
 
 
 
 
 
y2= 2px 
Equação da parábola de vértice na 
origem, tendo para o eixo, o eixo dos X 
 
 
 
a) Concavidade voltada 
para cima (p>0) 
 
b) Concavidade voltada 
para baixo (p<0) 
 
c) Concavidade voltada 
para direita (p>0) 
 
d) Concavidade voltada 
para esquerda (p>0) 
A B 
C D 
 
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 DICA: ao definir qual o valor de P nos exercícios quanto à positividade ou negatividade do mesmo 
lembre-se: 
 
a) P será positivo se e somente se: a concavidade da parábola for para cima ou para direita; 
b) P será negativo se e somente se: a concavidade da parábola for para baixo ou para esquerda. 
 
1.2 Equação da parábola de vértice fora da origem do sistema 
 
Seja uma parábola de vértice V(h,k) e eixo paralelo ao eixo dos y, sendo h e k coordenadas de V em 
relação ao sistema xOy: 
 
 
 
 
 
Observe que as coordenadas do vértice nestes casos são V(h,k). 
 
Passos para resolução de equação da parábola de vértice fora da origem do sistema 
1º - Em um plano cartesiano, localize os dados fornecidos no exercício pedido; 
2º - Lembre-se que a distância do vértice ao foco, e do vértice à reta diretriz são equidistantes, sendo assim, se lhe 
fornecerem o vértice e o foco, ou o vértice e a reta diretriz automaticamente denominará um novo ponto, ou se tiver o 
foco e a reta diretriz, lembre-se que o vértice será o ponto médio entre o foco e a reta diretriz; 
 
 
 
Coordenadas do Vértice 
V = (h, k) 
v 
 
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3º - Denomine o valor de P(ponto), sendo este a distância em unidades que se prolonga do foco, até a reta diretriz. 
Fique atento com relação ao sinal, se a concavidade da parábola for voltada para cima ou para direita, P será positivo, 
caso tenha concavidade voltada para baixo ou para esquerda, P será negativo; 
4º - Possuindo as coordenadas do vértice e o ponto, basta substituir nas fórmulas das equações. Sendo assim, após a 
resolução traga todos os valores para o lado esquerdo da igualdade, e iguale à zero. 
 
1.3 Equação da parábola na forma explícita 
 
 Como obter o vértice e o ponto de uma parábola através de sua equação, seja ela: 
a) (x-h)² = 2p(y-k) ou b) (y-k)² = 2p(x-h) 
 
EX. Dada uma equação, determinar a partir dela: seu vértice, foco, uma equação para reta 
diretriz e uma equação para o eixo. 
 
 
PASSOS PARA RESOLUÇÃO: 
1º PASSO: Separe as variáveis. 
 
 
2º PASSO: Observe o esquema abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
X² + 4x + 8y + 12 = 0 
x² + 4x = - 8y - 12 
x² + 4x = - 8y - 12 
Termo b 
Termo a 
REESCREVA A 
IGUALDADE, 
DESTE MODO 
(x + b/2)² = - 8y - 12 + (b/2)² 
Acrescente o 
mesmo termo, 
para não alterar a 
igualdade 
Neste caso, 
ficaremos com: 
 (x + 2)² = - 8y – 12 + 4
 (x + 2)² = - 8y – 8
Evidencie o 8 no 
lado esquerdo da 
igualdade 
 (x + 2)² = - 8 (y + 1) 
Para determinar o 
ponto, basta 
igualar sempre 
este valor à: 2p
Neste caso, P será 
igual à (- 4) 
Lembre-se que 
sabendo o valor 
de P, você 
definirá a 
concavidade da 
parábola. 
 (x + 2)² = - 8 (y + 1) 
Coordenadas do 
VÉRTICE 
V (- 2, -1) 
Obtendo o valor de P e V, basta esboçar o gráfico e encontrar a partir deles o valor de F e a 
reta diretriz. Lembre-se: a distancia entre o vértice e a reta diretriz e a distancia do vértice 
ao foco são "equidistantes”. 
 
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1.4 Determinação da equação da parábola sendo fornecidos apenas pares de pontos 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para explicação, tomaremos um exercício como exemplo: 
1) Determinar a equação da parábola sabendo que se tem o eixo de simetria paralelo ao eixo dos y 
e passa pelos pontos P1(0,1), P2(1,0) e P3(2,0). 
SOLUÇÃO: Perceba que esta parábola terá eixo de simetria paralelo ao eixo dos Y, sendo assim, sua 
equação na forma explícita é do tipo: 
 
 
 As coordenadas dos pontos devem satisfazer a equação desta parábola, isto é: 
 
 
 
 
 
 FÓRMULAS
X = ay² + by + c Y = ax² + bx + c 
Parábola tem eixo 
paralelo ao eixo 
dos X 
Parábola tem eixo 
paralelo ao eixo 
dos Y 
EQUAÇÕES DA PARÁBOLA 
NA FORMA EXPLÍCITA 
Corresponde a 
forma padrão: 
Corresponde a 
forma padrão: 
(x-h)² = 2p(y-k) (y-k)² = 2p(x-h) 
Y = ax² + bx + c 
 1 = a(0)² + b.0 + c
 0 = a(1)² + b(1) + c
 0 = a(2)² + b(2) + c C = 1 
Isolando a: 
a = - b - 1 
Substituindo os valores de C e A: 
0 = (-b-1).(2)² + 2b + 1 
0 = -4b -4 +2b +1 
2b = -3 
b = -3/2 
Portanto, a = 1/2 
Tendo os valores de a, b e c, basta 
substituir na fórmula: 
A = ½, B= -3/2 e C= 1 
Y = (½)x² - (3/2)x + 1 
Referência: STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica: Cônicas. São Paulo: Makron Books 
Editora Ltda.