Exercicio de cálculo Numérico

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CCE0117_EX_A1_201201475988
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	Lupa
	 
	Aluno: 
	Matrícula: 
	Disciplina: CCE0117 - CÁLCULO NUMÉRICO 
	Período Acad.: 2016.1 (G) / EX
	
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		
	
	
	
	
	
	-11
	
	
	-3
	
	
	3
	
	
	2
	
	 
	-7
	
	
	
		2.
		A Matemática traduz as ideias desenvolvidas em diversas ciências, como a Física, a Química e as Engenharias, em uma linguagem algébrica clara, que nos possibilita a manipulação de equações matemáticas e, desta forma, o descobrimento e entendimento dos fenômenos naturais que nos rodeiam. Neste universo de conhecimento matemático, existem as funções que seguem o padrão f(x)=ax2+bx+c, onde "a", "b" e "c" representam números reais, com "a" diferente de zero. Com relação a este tipo de função, PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	
	
	Estas funções apresentam comportamento crescente ou decrescente, porém nunca ambos.
	
	 
	Estas funções possuem em suas representações gráficas pontos que são denominados vértice da parábola.
	
	 
	A forma gráfica destas funções sempre apresentam interseções com o eixo horizontal.
	
	
	Estas funções são adequadas a representação de fenômenos constantes ao longo do tempo.
	
	
	O coeficiente "a" está relacionado a forma crescente ou decrescente da forma gráfica associada a função.
	
	
	
		3.
		As funções matemáticas aparecem em diversos campos do conhecimento, descrevendo o comportamento da variável em estudo. Por exemplo, em Física, temos a descrição da velocidade de uma partícula em função do tempo no qual a observação se processa; em Economia, temos a descrição da demanda de um produto em função do preço do mesmo, entre outros exemplos. Com relação a função matemática que segue a lei algébrica f(x)=ax+b, com "a" e "b" representando números reais ("a" diferente de zero), PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	
	 
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "b" é denominado de linear e nos fornece informação sobre a angulação da reta.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente angular e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	O coeficiente "a" é denominado de coeficiente linear e nos fornece informação sobre o ponto em que a reta intercepta o eixo horizontal.
	
	
	
		4.
		Sendo as matrizes M = (mij)2x3, N = (nij)axb, P = (pij)cx4, Q = (qij)dxe, é possível determinar M+N, NxP e P-Q. Determine o valor de a + b + c + d + e:
	
	
	
	
	
	12
	
	 
	14
	
	
	13
	
	 
	15
	
	
	16
	
	
	
		5.
		Sejam os vetores u, v e w no R3. Considere ainda o vetor nulo 0. É incorreto afirmar que:
	
	
	
	
	 
	u x v = v x u
	
	
	(u + v) + w = u + (v + w)
	
	
	u.v = v.u
	
	 
	u + v = v + u
	
	
	u + 0 = u
	
	
	
		6.
		Funções matemáticas representam um tema recorrente no estudo da Ciência ao longo da vida acadêmica de muitos estudantes. Entre as funções mais comuns utilizadas para representar a linguagem dos fenômenos naturais, encontra-se a função f(x)=ax, onde o coeficiente "a" é um número real positivo. Com relação a esta função, NÃO PODEMOS AFIRMAR.
	
	
	
	
	
	Funções do tipo f(x)=ax recebem estão associadas a forma geométrica linear.
	
	 
	Funções representadas genericamente por f(x)=ax não representam comportamento constante.
	
	
	Funções do tipo f(x)=ax possuem o conjuntos reais como domínio a princípio.
	
	 
	As funções do tipo f(x)=ax possuem máximo e mínimo.
	
	
	O valor do coeficiente "a" determina se a função f(x)=ax é crescente ou decrescente.
	
	
	CCE0117_EX_A2_201201475988
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Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		Considere uma função f: de R em R tal que sua expressão é igual a f(x) = a.x + 8, sendo a um número real positivo. Se o ponto (-3, 2) pertence ao gráfico deste função, o valor de a é:
	
	
	
	
	
	3
	
	
	2,5
	
	
	indeterminado
	
	 
	2
	
	
	1
	
	
	
		2.
		A resolução de equações matemáticas associadas a modelos físico-químicos pode nos conduzir a resultados não compatíveis com a realidade estudada, ou seja, "resultados absurdos". Isto ocorre geralmente porque há diversas fontes de erro. Com relação a este contexto, NÃO PODEMOS AFIRMAR:
	
	
	
	
	 
	Erro de arredondamento: são erros referentes a aproximações dos números para uma forma infinita.
	
	
	Erros de modelo: representam erros que se referem a simplificação que realizamos quando representamos a realidade através de modelos matemáticos.
	
	 
	Erros de dados: representam erros relacionados aos dados coletados através de processos experimentais passíveis de erro.
	
	
	Erro absoluto: é a diferença entre o valor exato de um número e o seu valor aproximado.
	
	
	Erros de truncatura: são erros decorrentes da interrupção de um processo infinito.
	
	
	
		3.
		Aprendemos que a Matemática é a linguagem que utilizamos para expressar o conhecimento de várias ciências como a Física, a Química, a Economia e diversas outras. Associadas a Matemática estão as técnicas numéricas que nos facilitam a obtenção de soluções, inserindo os computadores na execução de rotinas de cálculo. Com relação ao cálculo numérico, podemos afirmar as seguintes sentenças, com EXCEÇÃO de:
	
	
	
	
	 
	Em cálculo numérico, erro é a diferença entre dois valores gerados por métodos não analíticos de obtenção do resultado.
	
	
	Nos métodos numéricos é necessário decidir qual a precisão dos cálculos com que se pretende obter a solução numérica desejada.
	
	
	Um método numérico é um método não analítico, que tem como objetivo determinar um ou mais valores numéricos, que são soluções de determinado problema.
	
	
	A precisão dos cálculos numéricos é também um importante critério para a seleção de um algoritmo na resolução de um dado problema.
	
	
	Os métodos analíticos conduzem a soluções exatas para os problemas; os métodos numéricos produzem, em geral, apenas soluções aproximadas.
	
	
	
		4.
		Seja a medida exata da área de uma laje igual a 24,8 m2 e o valor aproximado de 25m2. Qual o erro relativo associado?
	
	
	
	
	 
	0,8%
	
	
	99,8%
	
	 
	0,2 m2
	
	
	1,008 m2
	
	
	0,992
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		Um aluno no Laboratório de Física fez a medida para determinada grandeza e encontrou o valor aproximado de 1,50 mas seu professor afirmou que o valor exato é 1,80. A partir dessas informações, determine o erro relativo.
 
	
	
	
	
	
	0,1266
	
	 
	0,30
	
	
	0,2667
	
	
	0,66670,1667
	
	
	
		6.
		Considere o valor exato 1,126 e o valor aproximado 1,100. Determine respectivamente o erro absoluto e o erro relativo.
	
	
	
	
	
	0,023 E 0,023
	
	
	0,013 E 0,013
	
	 
	0,023 E 0,026
	
	
	0,026 E 0,026
	
	 
	0,026 E 0,023
	
	CCE0117_EX_A3_201201475988
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Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha (3).
Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		Com relação ao método da falsa posição para determinação de raízes reais é correto afirmar, EXCETO, que:
	
	
	
	
	
	A precisão depende do número de iterações
	
	 
	A raiz determinada é sempre aproximada
	
	
	Pode não ter convergência
	
	
	É um método iterativo
	
	
	Necessita de um intervalo inicial para o desenvolvimento
	 Gabarito Comentado
	
	
		2.
		Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo:
	
	
	
	
	
	(1,0; 2,0)
	
	
	(-2,0; -1,5)
	
	 
	(-1,0; 0,0)
	
	 
	(-1,5; - 1,0)
	
	
	(0,0; 1,0)
	 Gabarito Comentado
	
	
		3.
		Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo:
	
	
	
	
	
	[-4,1]
	
	
	[-4,5]
	
	 
	[-8,1]
	
	 
	[1,10]
	
	
	[0,1]
	
	
	
		4.
		Suponha a equação 3x3 - 5x2 + 1 = 0. Pelo Teorema de Bolzano é fácil verificar que existe pelo menos uma raiz real no intervalo (0,1). Utilize o método da bisseção com duas iterações para estimar a raiz desta equação.
	
	
	
	
	 
	0,715
	
	
	0,687
	
	
	0,500
	
	
	0,750
	
	 
	0,625
 
	
	
	
		5.
		Os processos reiterados (repetitivos) constituem um procedimento de vários métodos numéricos para obtenção de raízes, como podemos constatar no método da bisseção. Um destes processos, se baseia na sucessiva divisão de um intervalo numérico no qual se conjectura a existência de uma raiz ou algumas raízes. Considerando-se a função f(x)= 2x3-5x2+4x-2 e o intervalo [2,6], determine o próximo intervalo a ser adotado no método de investigação das raízes.
	
	
	
	
	
	[4,6]
	
	
	[3,4]
	
	 
	[2,3]
	
	
	[5,6]
	
	
	[4,5]
	
	
	
		6.
		O método da falsa posição está sendo aplicado para encontrar a raiz aproximada da equação f(x) =0 no intervalo [a,b]. A raiz aproximada após a primeira iteração é:
	
	
	
	
	 
	O encontro da função f(x) com o eixo x
	
	
	O encontro da função f(x) com o eixo y
	
	 
	O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x
	
	
	A média aritmética entre os valores a e b
	
	
	O encontro da reta que une os pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo y
	 Gabarito Comentado
	
	
		
	CCE0117_EX_A4_201201475988
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Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		Para utilizarmos o método do ponto fixo (MPF) ou método iterativo linear (MIL) devemos trabalhar como uma f(x) contínua em um intervalo [a,b] que contenha uma raiz de f(x). O método inicia-se reescrevendo a função f(x) em uma equivalente, uma vez que f(x) não facilita a procura da raiz. Considere a função f(x) = x3 + x2 - 8. A raiz desta função é um valor de x tal que x3 + x2 - 8 = 0. Se desejarmos encontrar a raiz pelo MIL, uma possível função equivalente é:
		
	
	
	
	 
	(x) = 8/(x3+ x2)
	
	
	(x) = 8/(x3 - x2)
	
	
	(x) = 8/(x2 - x)
	
	
	(x) = x3 - 8
	
	 
	(x) = 8/(x2 + x)
	
	
	
		2.
		A raiz da função f(x) = x3 - 8x deve ser calculada empregando o Método de Newton Raphson. Assim, considerando-se o ponto inicial x0= 4, tem-se que a próxima iteração (x1) assume o valor:
		
	
	
	
	
	0,8
	
	
	3,2
	
	 
	2,4
	
	
	1,6
	
	
	0
	
	
	
		3.
		Considere a descrição do seguinte método iterativo para a resolução de equações. " a partir de um valor arbitrário inicial x0 determina-se o próximo ponto traçando-se uma tangente pelo ponto (x0, f(x0)) e encontrando o valor x1 em que esta reta intercepta o eixo das abscissas." Esse método é conhecido como:
		
	
	
	
	
	Método do ponto fixo
	
	
	Método da bisseção
	
	
	Método das secantes
	
	 
	Método de Newton-Raphson
	
	
	Método de Pégasus
	
	
	
		4.
		O Método do Ponto Fixo é largamente utilizado para a obtenção de raízes de equações polinomiais, utilizando uma função equivalente que, alimentada com um valor inicial x0, poderá convergir para um valor representante da raiz procurada. Considerando a equação x2+x-6=0 e a técnica utilizada no método do ponto fixo com função equivalente igual a g(x0)=√(6-x) e x0=1,5, verifique se após a quarta interação há convergência e para qual valor. Identifique a resposta CORRETA.
		
	
	
	
	
	Há convergência para o valor 1,7.
	
	 
	Há convergência para o valor 2.
	
	
	Há convergência para o valor -3.
	
	
	Não há convergência para um valor que possa ser considerado raiz.
	
	
	Há convergência para o valor 1,5
	
	
	
		5.
		Considere a função polinomial f(x) = 2x5 + 4x + 3. Existem vários métodos iterativos para se determinar as raízes reais, dentre eles, Método de Newton Raphson - Método das Tangentes. Se tomarmos como ponto inicial x0= 0 a próxima iteração (x1) será:
		
	
	
	
	
	-1,50
	
	 
	-0,75
	
	 
	1,25
	
	
	0,75
	
	
	1,75
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Abaixo tem-se a figura de uma função e várias tangentes ao longo da curva.
 
 
Esta é a representação gráfica de um método conhecido como:
 
		
	
	
	
	 
	Newton Raphson 
	
	
	Gauss Jordan
	
	
	Bisseção 
	
	
	Gauss Jacobi
	
	
	Ponto fixo 
	
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Após a finalização do exercício, você terá acesso ao gabarito. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	
		1.
		No cálculo numérico podemos alcançar a solução para determinado problema utilizando os métodos iterativos ou os métodos diretos. É uma diferença entre estes métodos:
	
	
	
	
	
	não há diferença em relação às respostas encontradas.o método direto apresenta resposta exata enquanto o método iterativo pode não conseguir.
	
	
	os métodos iterativos são mais simples pois não precisamos de um valor inicial para o problema.
	
	
	no método direto o número de iterações é um fator limitante.
	
	
	o método iterativo apresenta resposta exata enquanto o método direto não.
	
	
	
		2.
		Um dos métodos mais utilizados na resolução de sistemas de equações lineares é aquele denominado Método de Gauss-Seidel. Porém, o método só nos conduz a uma solução se houver convergência dos valores encontrados para um determinado valor. Uma forma de verificar a convergência é o critério de Sassenfeld. Considerando o sistema a seguir e os valore dos "parâmetros beta" referentes ao critério de Sassenfeld, escolha a opção CORRETA.
             5x1+x2+x3=5
             3x1+4x2+x3=6
             3x1+3x2+6x3=0
	
	
	
	
	
	Beta 1= 1,4, beta 2=0,8 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge.
	
	
	Beta 1= 0,3, beta 2=0,2 e beta 3=0,8, o que indica que o sistema converge.
	
	
	Beta 1= 0,2, beta 2=0,9 e beta 3=0,4, o que indica que o sistema converge.
	
	 
	Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema converge.
	
	
	Beta 1= 0,4, beta 2=0,6 e beta 3=0,5, o que indica que o sistema não converge.
	
	
	
		3.
		A resolução de sistemas lineares é fundamental em alguns ramos da engenharia. O cálculo numérico é uma ferramenta importante e útil nessa resolução. Sobre os sistemas lineares assinale a opção CORRETA.
	
	
	
	
	
	Nos métodos diretos para a resolução de sistemas lineares utilizamos o escalonamento que consiste em transformar a matriz incompleta em uma matriz identidade
	
	 
	Ao se utilizar um método iterativo para solucionar um sistema de equações lineares deve tomar cuidado pois, dependendo do sistema em questão, e da estimativa inicial escolhida, o método pode não convergir para a solução do sistema.
	
	
	Um sistema é dito linear quando pelo menos uma variável tem expoente unitário.
	
	
	Para o mesmo sistema linear e para um mesmo chute inicial, o método de Gauss-Seidel tende a convergir para a resposta exata do sistema numa quantidade maior de iterações que o método de Gauss-Jacobi.
	
	
	O método da Eliminação de Gauss é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares.
	
	
	
		4.
		Na resolução de sistemas de equações lineares é possívela a utilização de métodos diretos, como o de Gauss-Jordan. Com relação aos métodos diretos é correto afirmar que:
	
	
	
	
	
	Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, por conta das iterações que ocorrem
	
	
	Fornecem a solução exata do sistema linear a partir das iterações consecutivas.
	
	 
	Fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir, a menos de erro de arredondamento.
	
	
	Nunca fornecem a solução exata do sistema linear, se ela existir.
	
	
	Não são adequados para a resolução de sistemas de equações lineares.
	 Gabarito Comentado
	
	
		5.
		O método de Gauss-Jacobi é um método iterativo para a resolução de sistemas lineares. Como todo método iterativo, existe a possibilidade ou não de convergência. Um dos critérios adotados para garantir a convergência é denominado:
	
	
	
	
	 
	Critério das diagonais
	
	
	Critério das colunas
	
	
	Critério das frações
	
	 
	Critério das linhas
	
	
	Critério dos zeros
	 Gabarito Comentado
	
	
		6.
		Métodos Iterativos para a resolução de um sistema linear representam uma excelente opção matemática para os casos em que o sistema é constituído de muitas variáveis, como os Métodos de Método de Gauss-Jacobi e Gauss-Seidel. Com relação a estes métodos, NÃO podemos afirmar:
	
	
	
	
	 
	Adotando-se uma precisão "e" como critério de parada dos cálculos, xk representa uma solução quando o módulo de xk-x(k-1) for superior a precisão.
	
	
	Com relação a convergência do Método de Gauss-Seidel, podemos citar o critério de Sassenfeld, que garante a convergência tomando-se como referência o "parâmetro beta" inferior a 1.
	
	
	Se a sequência de soluções xk obtida estiver suficientemente próxima de x(k-1), sequência anterior, segundo um critério numérico de precisão, paramos o processo.
	
	 
	Ambos os métodos mencionados se baseiam na transformação de um sistema Ax=B em um sistema xk=Cx(k-1)+G.
	
	
	Considerando uma precisão "e", tem-se uma solução xk quando o módulo de xk-x(k-1) for inferior a precisão