Função Afim ou do 1° Grau - Conceitos e exercícios

Prévia do material em texto

FACULDADE ESTÁCIO DE BELÉM BME UNIDADE 05 PROFESSOR: ALEX SANTOS 
 
1 
 
1 CONCEITOS INICIAIS 
 
Uma função f:    chama-se função afim, ou função do 1o grau, quando existem dois números reais a e b tal que 
f(x) = ax + b, para todo x  . Então, vamos analisar e resolver as questões abaixo: 
 
1.1 Identifique os coeficientes a e b nas funções afim a seguir: (a) f(x) = 3x + 1; (b) f(x) = 3  2x; (c) f(x) = (2/3)x  5; 
(d) f(x) = 5x. 
 
1.2 João pegou um táxi que cobra R$ 4,50 pela bandeirada e R$ 1,30 por quilômetro rodado. Ao percorrer 25 km, 
quanto João pagou ao motorista? Identifique a função matemática que representa essa situação. 
 
1.3 O Salário fixo mensal de um segurança é de R$ 1.500,00. Para aumentar sua receita, ele faz plantões noturnos em 
uma boate e recebe R$ 120,00 por noite de trabalho. Pergunta-se: (a) Se em 01 mês o segurança fizer 04 plantões, que 
salário receberá? (b) Qual é a função matemática que expressa o seu salário? (c) Qual é o número mínimo de plantões 
necessários para gerar um salário superior a R$ 2.300,00? 
 
2 DETERMINANDO A FUNÇÃO 
 
O valor de uma função afim é o valor que a função assume para um determinado valor de x. Então, vamos analisar e 
resolver a questão abaixo: 
 
2.1 Considere f(x) = 3x + 1 e determine: (a) f(1); (b) f(-2). 
 
Pode-se determinar a função do 1o grau conhecendo-se seus valores em dois pontos distintos. Então, vamos analisar e 
resolver as questões abaixo: 
 
2.2 Determine a função do 1o grau, sabendo-se que f(-1) = 3 e f(2) = 2. 
 
2.3 Determine a função do 1o grau que passa pelos pontos A(1, 5) e B(-3, -7). 
 
3 EXERCÍCIOS TÍPICOS DE CONCURSOS 
 
3.1 Na produção de peças, uma indústria tem um custo fixo de R$ 8,00 mais um custo variável de R$ 0,50 por unidade 
produzida. Sendo “X” o número de unidades produzidas, faça o seguinte: (a) Escreva a lei da função que fornece o 
custo de “X” peças, e; (b) Calcule o custo de 100 peças. 
 
3.2 Devido ao desgaste, o valor (V) de uma mercadoria decresce com o tempo (t). Por isso, a desvalorização que o 
preço dessa mercadoria sofre em razão do tempo de uso é chamada de depreciação. A função depreciação pode ser uma 
função afim, como neste caso: “o valor de uma máquina hoje é de R$ 1.000,00; estima-se que daqui a 05 anos será de 
R$ 250,00”. Então, responda: (a) Qual será o valor dessa máquina em “t” anos? (b) Qual será o valor dessa máquina em 
06 anos? (c) Qual será sua depreciação total após esse período de 06 anos? 
 
3.3 Um grande poluente produzido pela queima de combustíveis fósseis é o dióxido sulfúrico (SO2). Uma pesquisa feita 
em Oslo, Noruega, demonstrou que o número (N) aproximado de peixes mortos em um certo rio, por semana, é dado 
por uma função afim de concentração (C) de SO2. Foram feitas as seguintes medidas: 
 
Concentração ( em g/m3) Mortes 
400 106 
500 109 
 
 Pergunta-se qual é a concentração máxima de SO2 que pode ser despejada no rio para que o número de mortes não 
ultrapasse 115, fato que poderia prejudicar a reprodução da espécie. 
 
4 GRÁFICO DA FUNÇÃO AFIM 
 
O gráfico de uma função da forma f(x) = ax + b é sempre uma reta. Então, vamos analisar e resolver a questão abaixo: 
 
4.1 Construa o gráfico das seguintes funções: (a) f(x) = 2x  1; (b) f(x) = x + 2. 
 
4.2 Ao escolher um plano de saúde, uma pessoa se depara com duas situações: (1) O plano A cobra R$ 200,00 de 
inscrição e R$ 50,00 por consulta; (2) O plano B cobra R$ 300,00 de inscrição e R$ 40,00 por consulta. Determine: (a) 
FACULDADE ESTÁCIO DE BELÉM BME UNIDADE 05 PROFESSOR: ALEX SANTOS 
 
2 
 
A função correspondente a cada plano; (b) Em que situações o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; 
os dois planos se equivalem. 
 
5 COEFICIENTE ANGULAR E COEFICIENTE LINEAR 
 
Seja a função f(x) = ax + b. O coeficiente a, que é o coeficiente da incógnita x, será tratado, a partir de agora, como 
coeficiente angular de f(x). O coeficiente b, que é o coeficiente independente, será tratado, a partir de agora, como 
coeficiente linear de f(x). Para f(x) = 5x  2, a = 5 e b = 2; para y = 4  2x, a = 2 e b = 4. Vejamos, agora, o que 
significa o coeficiente angular e o linear. 
 
5.1 O coeficiente angular está intimamente relacionado com a inclinação da reta, que é o gráfico da função. 
Matematicamente, a = y/x, onde y = y2  y1 e x = x2  x1. Para a  0, a reta é crescente, e para a  0 a reta é 
decrescente. Então, vamos analisar e resolver as questões abaixo: 
 
5.1.1 Determine o coeficiente a para uma reta passando pelos pontos A(1, 0) e B(3, 4); depois, A(0, 3) e B (2, 1). 
 
5.2 O coeficiente linear b é exatamente onde a reta corta o eixo y. Então, vamos analisar e resolver as questões abaixo: 
 
5.2.1 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (2, 4) e tem coeficiente angular igual a 3. Sugestão: usar a 
equação geral do 1o grau para obter o valor de b. 
 
5.2.2 Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (2, 1) e tem coeficiente linear igual a 3. Sugestão: usar a 
equação geral do 1o grau para obter o valor de a. 
 
5.2.3 O custo C de produção de x litros de certo produto é dado por uma função expressa pelo gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nessas condições, o custo de R$ 1.400,00 corresponde à produção de quantos litros? 
 
6 EXERCÍCIOS 
 
6.1 Construa, num sistema de eixos ortogonais, o gráfico das seguintes funções. (1) f(x) = 2x + 3; (2) f(x) = 2x + 2. 
 
6.2 Um corpo se movimenta com velocidade constante segundo a fórmula s = 2t  3, em que s indica a posição do 
corpo (em metros) no instante t (em segundos). Construa o gráfico de s em função de t. 
 
6.3 Determine o valor de m para que o gráfico da função f(x) = 2x + m3: (1) intersecte o eixo y em (0, 4); (2) 
intersecte o eixo x em (3, 0). 
 
6.4 Dados os gráficos abaixo, determine as funções afins correspondentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FACULDADE ESTÁCIO DE BELÉM BME UNIDADE 05 PROFESSOR: ALEX SANTOS 
 
3 
 
 
7 CASOS PARTICULARES 
 
7.1 Função Identidade, f(x) = x, com a = 1 e b = 0. Essa função é também chamada de bissetriz dos quadrantes 
ímpares. 
 
7.2 Função Linear, f(x) = ax, com b = 0 e a podendo ser qualquer número real, exceto o número zero. A Função 
Identidade é um caso particular de Função Linear. 
 
7.3 Função Constante, f(x) = b, com a = 0 e b podendo ser qualquer número real, inclusive o número zero. Essa função 
não é nem crescente e nem decrescente; ela é constante. Ela é a mais simples das funções; é apenas uma linha 
horizontal cruzando o eixo y quando y = b. 
 
7.4 Em um mesmo sistema de eixos ortogonais, construa os gráficos das seguintes funções: (1) f(x) = (1/3)x, (2) f(x) = 
2x, e (3) f(x) = 3. 
 
 
 
 
8 ZERO OU RAIZ DA FUNÇÃO 
Chama-se zero ou raiz da função do 1o grau f(x) = ax + b o número real x tal que f(x) = 0. Basta resolver a equação 
ax + b = 0. 
8.1 Encontre o zero de cada função a seguir: (1) f(x) = 3x + 2, (2) y = 2x  6. O certo, mesmo, é falar zero da função ou 
raiz da equação. 
Geometricamente, o zero de uma função afim f(x) = ax + b é o valor de x onde o gráfico intersecta o eixo x. 
8.2 Desenhe o gráfico da função f(x) = 2x  5 e encontre o valor de x no qual a reta intersecta o eixo x. 
8.3 Desenhe o gráfico da função f(x) = 2x + 4 e encontre o valor de x no qual a reta intersecta o eixo x. 
8.4 A raiz da função y = kx + 3 é 2. Determine o valor de k. 
8.5 Determine a raiz da função f(x) dada pelo gráfico abaixo. 
 
 
 
 
9 ESTUDO DO SINAL 
Estudar o sinal da função consisteem determinar os valores de x para ao quais f(x)  0, f(x)  0 e f(x) = 0. Na função 
f(x) = ax + b dois casos são possíveis: 
1o caso: a  0  Função Crescente. Esboce um exemplo de uma reta crescente no plano cartesiano. Seja o valor r a raiz 
da função. Então, para f(x) = 0, x = r; para f(x)  0, x  r, e; para f(x)  0, x  r. Mostre essa análise no gráfico da reta do 
exemplo em questão. Veja o dispositivo prático abaixo: 
 
FACULDADE ESTÁCIO DE BELÉM BME UNIDADE 05 PROFESSOR: ALEX SANTOS 
 
4 
 
 
 
2o caso: a  0  Função Decrescente. Esboce um exemplo de uma reta decrescente no plano cartesiano. Seja o valor r a 
raiz da função. Então, para f(x) = 0, x = r; para f(x)  0, x  r, e; para f(x)  0, x  r. Mostre essa análise no gráfico da 
reta do exemplo em questão. Veja o dispositivo prático abaixo: 
 
 
9.1 Estude o sinal das seguintes funções: (1) f(x) = 2x  1, e; (2) f(x) = 3x + 5. 
 
9.2 Seja a função f(x) = 2x + 4. Então: (1) Determine o zero dessa função, (2) Construa o gráfico de f(x), e (3) Faça o 
estudo do sinal da função f(x). 
 
9.3 Para quais valores de x a função: (1) f(x) = 2  x é positiva? (2) y = 3x + 15 é negativa? 
 
10 EXERCÍCIOS GERAIS 
 
10.1 Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia proporcional 
aos quilômetros percorridos. Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5 km paga-se R$ 
19,50, então o valor da bandeirada é: 
a) R$ 7,50. 
b) R$ 6,50. 
c) R$ 5,50. 
d) R$ 4,50. 
 
10.2 O reservatório A perde água a uma taxa constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B ganha água a 
uma taxa constante de 12 litros por hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em litros, da água 
contida em cada um dos reservatórios, em função do tempo, em horas, representado no eixo x. 
Determine o tempo em horas, indicado no gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10.3 Uma empresa de telefonia celular possui somente dois planos para seus clientes optarem entre um deles. No plano 
A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No plano B, o cliente paga 
uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar que, para o cliente, 
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso que o plano A. 
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A igual ao custo pelo plano B. 
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B, independente de quantos minutos sejam cobrados. 
 
10.4 Os aeroportos brasileiros serão os primeiros locais que muitos dos 600 mil turistas estrangeiros, estimados para a 
Copa do Mundo FIFA 2014, conhecerão no Brasil. Em grande parte dos aeroportos, estão sendo realizadas obras para 
melhor receber os visitantes e atender a uma forte demanda decorrente da expansão da classe média brasileira. O gráfico 
mostra a capacidade (C), a demanda (D) de passageiros/ano em 2010 e a expectativa/projeção para 2014 do Aeroporto 
Salgado Filho (Porto Alegre, RS), segundo dados da lnfraero – Empresa Brasileira de lnfraestrutura Aeronáutica. De 
acordo com os dados fornecidos no gráfico, o número de passageiros/ano, quando a demanda (D) for igual à capacidade 
(C) do terminal, será, aproximadamente, igual a: 
a) sete milhões, sessenta mil e seiscentos. 
b) sete milhões, oitenta e cinco mil e setecentos. 
c) sete milhões, cento e vinte e cinco mil. 
d) sete milhões, cento e oitenta mil e setecentos. 
FACULDADE ESTÁCIO DE BELÉM BME UNIDADE 05 PROFESSOR: ALEX SANTOS 
 
5 
 
e) sete milhões, cento e oitenta e seis mil. 
 
10.5 As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e 
consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser 
representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, 
representadas pelas equações: 
QO = –20 + 4P 
QD = 46 – 2P 
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. 
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, 
quando QO e QD se igualam. 
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? 
a) 5 
b) 11 
c) 13 
d) 23 
e) 33 
 
10.6 Numa expedição arqueológica em busca de artefatos indígenas, um arqueólogo e seu assistente encontraram um 
úmero, um dos ossos do braço humano. Sabe-se que o comprimento desse osso permite calcular a altura aproximada de 
uma pessoa por meio de uma função do primeiro grau. 
a) Determine essa função do primeiro grau, sabendo que o úmero do arqueólogo media 40 cm e sua altura era 1,90 m, e 
o úmero de seu assistente media 30 cm e sua altura era 1,60 m. 
b) Se o úmero encontrado no sítio arqueológico media 32 cm, qual era a altura aproximada do indivíduo que possuía 
esse osso? 
 
10.7 Nos últimos anos, o salário mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica, contribuindo para o 
aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do salário mínimo e do valor da cesta 
básica na região Nordeste, a partir de 2005. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha que, a partir de 2005, as evoluções anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta básica, na 
região Nordeste, possam ser aproximadas mediante funções polinomiais do 1º grau, f (x) = ax + b, em que x representa o 
número de anos transcorridos após 2005. 
a) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário mínimo e dos preços da cesta 
básica, na região Nordeste. 
b) Em que ano, aproximadamente, um salário mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região Nordeste? 
Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo. 
 
10.8 Luiza possui uma pequena confecção artesanal de bolsas. No gráfico abaixo, a reta c representa o custo total 
mensal com a confecção de x bolsas e a reta f representa o faturamento mensal de Luiza com a confecção de x bolsas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Com base nos dados acima, é correto afirmar que Luiza obtém lucro se, e somente se, vender: 
a) no mínimo 2 bolsas. 
FACULDADE ESTÁCIO DE BELÉM BME UNIDADE 05 PROFESSOR: ALEX SANTOS 
 
6 
 
b) pelo menos 1 bolsa. 
c) exatamente 3 bolsas. 
d) no mínimo 4 bolsas. 
 
10.9 O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x, y) dados abaixo: 
 
x y 
0 5 
m 8 
6 14 
7 k 
 
Podemos concluir que o valor de k + m é: 
a) 15,5 
b) 16,5 
c) 17,5 
d) 18,5 
e) 19,5 
 
10.10 O gráfico mostra o número de favelas no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a 
variação nesse número entre os anos considerados é linear. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 
2010 e 968, então o número de favelas em 2016 será: 
a) menor que 1150. 
b) 218 unidades maior que em 2004. 
c) maior que 1150 e menor que 1200. 
d) 177 unidades maior que em 2010. 
e) maior que 1200. 
 
 
GABARITO 
 
1. D 
2. 30 horas 
3. B 
4. B 
5. B 
6. a) f(x)=3x+70 b) 1,66 m7. a) S(x)=42x+300 e C(x)=6x+154 b) 7 
8. B 
9. C 
10. C 
 
 
BOA SORTE !