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AULAS 7 a 9 1. O primeiro quadrado é formado por 4 palitos. A partir do segundo quadrado, bastam três palitos para formá-lo, pois um lado será o lado do quadrado anterior. Para completar 100, serão necessários 4 + 99 × 3 = 301 palitos (Alternativa D) 2. Começando com 3 hexágonos para obter a configuração abaixo, verificamos serem necessárias 18 – 2 = 16 vare- tas, pois uma vareta pertence a dois hexágonos em duas situações. Para formar uma nova “camada, são necessá- rias 11 varetas (linhas cheias no desenho ao lado). Com 10 “camadas” temos 30 hexágonos. Na última delas, devemos anexar 2 hexágonos, sendo necessárias mais 8 varetas, conforme desenho abaixo. Assim, o número total de varetas é: 16 + 9 × 11 + 8 = 123. (Alternativa B) 3. Para formar um triângulo de lado 2, são necessários 4 T, para formar um triângulo de lado 3 são necessários 9 T, etc. Pode-se provar que para formar um triângulo de lado n, são necessários m2 triângulos T. Logo o triângulo for- mado por 49 triângulos T tem lado 7. (Alternativa A) 4. A linha é composta da repetição da figura ao lado, cujo comprimento é 9. Cada figura dessa inicia num ponto representado por um múltiplo de 3 no eixo horizontal: 0, 3, 6, ..., 30. A 11ª- figura, incompleta, tem comprimento 7. Portanto, o comprimento da linha poligonal é igual a 10 × 9 + 7 = 97. (Alternativa D) 5. A área da fazenda é 10 × 20 = 200km2 = 200000000m2. Cada família vai receber 200000000m2 : 200 = 1000000m2. (Alternativa A) 6. Pela figura vemos que o comprimento dos retângulos menores é o dobro da sua largura. Temos então que cada um desses retângulos contém 2 quadrados de lados iguais suas larguras. Assim, 3 lados dos quadrados somam 21cm, e cada lado mede 7cm. A área de cada um desses quadrados é 49cm2. A figura toda contém 12 desses quadrados, então a área do retângulo maior é 12 x 49 = 588cm2. (Alternativa E) 7. Somando-se as áreas das figuras, temos: , portanto o quadrado com essa área tem 80cm de lado. (Alternativa E) 2 12 16 2 2 80 60 2 88 16 6400 2⋅ ⋅ + + ⋅ =⋅ ⋅ cm 99 quadrados 144444424444443 ClasseEm SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 1 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 Resoluções NÍVEL 1 www.cursoanglo.com.br Treinamento para Olimpíadas de Matemática2008 8. O pentágono pode ser decomposto em triângulos e retângulos, conforme o desenho a seguir. A área do pentá- gono é . (Alternativa B) 9. Os três triângulos sombreados têm altura igual à altura do retângulo. Como a soma de suas bases é igual à base do retângulo, a soma de suas áreas é igual à metade da área do retângulo. Alternativamente, pode-se observar que as partes sombreadas e não sombreadas podem ser subdivididas de tal modo que a cada parte sombreada correspon- de exatamente uma parte congruente não sombreada, como mostra a figura abaixo. Logo, a área sombreada corres- ponde à metade da área do retângulo. (Alternativa D) 10. Os oitos cubos que ficam nas “pontas” possuem 3 faces verdes, enquanto que os 8 cubos centrais tem 2 faces verdes. (Alternativa D) 11. Em cada caixote de madeira cabem caixas de papelão cúbicas de 20cm de lado. Logo em cada caixote cabem 72 × 8 = 576 latas de palmito. (Alternativa A) 12. Há 6 possibilidades distintas de se colorir o tabuleiro. (Alternativa C) 1. O lado de cada quadrado mede 5cm. Temos Ou seja, o perímetro do retângulo formado é 6 × 5 = 30cm. (Alternativa A) 55 5 5 5 5 CasaEm 60 20 80 20 120 20 72⋅ ⋅ = A B B A C C CC A BE D C 2 3 1 2 3 1 2 2 1 2 3 1 2 4 3 2 3 2 1 3 2 19 2 2 2+ ⋅ + + ⋅ + = + + + + = ⋅ ⋅ cm SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 2 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 2. Para fazer uma peça, são necessários 3 × 10 + 3 × 5 = 45 centímetros de arame. Como 20 metros = 2 000 centímetros e 2000 dividido por 45 dá quociente 44 e resto 20, temos que o serralheiro irá fazer 44 peças completas, ficando com uma sobra de 20 centímetros, que lhe possibilitarão fazer as duas primeiras partes de uma peça, na forma (Alternativa B) 3. Completando a figura com quadradinhos de lado 1, vemos 3 quadrados de área 1, 1 quadrado de área 9, 2 quadrados de área 4 e 1 quadrado de área 25. Logo a área do retângulo é 3 + 9 + 2 × 4 + 25 = 45. (Alternativa C) 4. Podemos representar esquematicamente a figura usando três segmentos perpendiculares dois a dois: Considerando o segmento 2 como a fileira de 2 dados, o segmento 3 como a fileira de 3 dados e o segmento 4 como a fileira de 4 dados, vemos as rotações da peça nas ilustrações abaixo. I) III) II) IV) As figuras I) e III) não representam o objeto, pois o ângulo entre os segmentos (3) e (4) é de 90º no sentido anti-ho- rário. (Alternativa C) 5. Os cubos que apresentam 3 faces azuis e 3 faces cinzentas são os assinalados na figura e mais um que está totalmente oculto. (Alternativa A) 2 3 4 90° α2 3 490° α 2 3 4 – 90° α 2 3 4 – 90° α SISTEMA ANGLO DE ENSINO • 3 • Treinamento para Olimpíadas de Matemática 2008 2 3 4 90° α
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