Lista Geometria analítica

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4a. LISTA DE EXERCÍCIOS DE ÁLGEBRA MATRICIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
ENGENHARIA BIOMÉDICA
Professora: Catiana Casonatto
Ano: 2016
(1) Determinar as coordenadas da extremidade do segmento orientado que representa o
vetor −→v = (2,−5), sabendo-se que sua origem está no ponto A = (−1, 3).
Resposta: (1,-2)
(2) Dados os pontos A = (−1, 3), B = (2, 5), C = (3,−1) e O = (0, 0), calcular −→OA−−→AB e
3
−→
BA− 4−−→CB.
Resposta: (−4, 1), (−5,−30)
(3) Determine as coordenadas da origem do segmento orientado que representa o vetor−→v = (3,−3), sabendo-se que sua extremidade está no ponto B = (2, 3).
Resposta: (-1,6)
(4) Dados os vetores −→u = (3,−1) e −→v = (−1, 2), determinar o vetor −→w tal que
(a) 4(−→u −−→v ) + 1
3
−→w = 2−→u −−→w
(b) 3−→w − (2−→v −−→u ) = 2(4−→w − 3−→u )
Resposta: (a) (
−15
2
,
15
2
); (b)(
23
5
,
−11
5
)
(5) Determine o vetor −→x , tal que 3−→x −2−→v = 15(−→x −−→u ), onde −→u = (−3, 2) e −→v = (1,−1).
Resposta: (
−47
12
,
8
3
)
(6) Dados os vetores −→u = (3,−4) e −→v = (−9
4
, 3), verificar se existem números a e b tais
que −→u = a−→v e −→v = b−→u .
Resposta: Existem tais números, a saber, a =
−4
3
e b =
−3
4
(7) Dados os vetores ~u = (2,−4), ~v = (−5, 1) e ~w = (−12, 6), decomponha ~w nas direções
de ~u e ~v, isto é, determine k1 e k2 tais que ~w = k1~u+ k2~v.
Resposta: k1 = −1 e k2 = 2
(8) Dados os pontos A = (2,−3, 1) e B = (4, 5,−2), determinar o ponto P tal que −→AP =−−→
PB.
Resposta: P = (3, 1,
−1
2
)
(9) Determinar o vetor ~v sabendo que (3, 7, 1) + 2~v = (6, 10, 4)− ~v.
1
2
Resposta: ~v = (1, 1, 1)
(10) Determinar a e b de modo que os vetores ~u = (4, 1,−3) e ~v = (6, a, b) sejam paralelos.
Resposta: (a) = 3/2 e (b) = −9/2
(11) Determine o ponto C tal que
−→
AC = 2
−→
AB sendo A = (0, 2) e B = (1, 0).
Resposta: C = (2,−2)
(12) Mostrar que os pontos A = (4, 0, 1), B = (5, 1, 3), C = (3, 2, 5) e D = (2, 1, 3) são
vértices do paralelogramo ABCD.
(13) Determinar o ponto simétrico Q de P = (3, 1,−2) em relação ao ponto A = (−1, 0, 3).
Resposta: Q = (−5,−1, 8)
(14) Uma reta no plano tem equação y = 2x+ 1. Determine um vetor paralelo a esta reta.
Resposta: Um vetor paralelo a reta é −→v = (1, 2)
(15) Dados quatro pontos A, B, C e X tais que
−−→
AX = λ
−→
AB, escreva
−−→
CX como combinação
linear de
−→
CA e
−−→
CB, isto é, como uma soma de múltiplos escalares de
−→
CA e
−−→
CB.
(16) Seja um triângulo ABC e sejamM e N os pontos médios de AC e BC, respectivamente.
Mostre que MN é paralelo a AB e tem comprimento igual a metade do comprimento
de AB.
(17) Demonstre que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um
trapézio é paralelo às bases, e seu comprimento é a média aritmética das medidas das
bases.
(18) Você dispõe de uma folha de papel circular, de centro O. Verifique se existem pontos A
e B na borda da folha tais que não seja possível desenhar representantes de
−→
OA+
−−→
OB e−→
OA−−−→OB (entenda “desenhar representante” como desenhar uma flecha correspondente).
Vetores no espaço
(19) Quais são as coordenadas do ponto Q, simétrico do ponto P = (1, 0, 3) em relação ao
ponto M = (1, 2,−1)?
(20) Encontre as coordenadas dos seguintes vetores:
a) 3~u− 2~v, para ~u = (1, 0, 1) e ~v = (−2, 10, 2)
b) 4~u− ~v, para ~u = (3, 3, 0) e ~v = (2, 1,−2)
c) 2~u− 3~v + 2~i, para ~u = −~i+~j + ~k e ~v =~i+ 2~j + 1~k
(21) Dados os pontos P = (1,−2,−3), Q = (−5, 2,−1) e R = (4, 0,−1), determine as
coordenadas do ponto S tal que PQRS seja um paralelogramo.
3
(22) Verifique se os pontos dados a seguir são colineares, isto é, pertencem a uma mesma
reta:
a) A = (5, 1,−3), B = (0, 3, 4) e C = (0, 3,−5)
b) A = (−1, 1, 3), B = (4, 2,−3) e C = (14, 4,−15)
(23) Calcular a e b de modo que sejam colineares os pontos A = (3, 1,−2), B = (1, 5, 1) e
C = (a, b, 7).
Resposta: a = −3 e b = 13
(24) Verifique se o vetor −→u é combinação linear de −→v e −→w :
a) −→v = (9,−12,−6), −→w = (−1, 7, 1) e −→u = (−4,−6, 2)
b) −→v = (5, 4,−3), −→w = (2, 1, 1) e −→u = (−3,−4, 1)