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O caso de vínculos holonômicos
Quando duas partículas de massas m1 e m2 estão livres no espaço, o número
de coordenadas para descrever o sistema definido por essas duas partículas é
igual a seis, pois precisamos das posições de cada uma delas, r1 e r2, respecti-
vamente, para descrever o estado do sistema. Como as partículas estão livres,
suas posições são independentes uma da outra e, portanto, precisamos de todas
as seis coordenadas para não haver dúvidas sobre o estado do sistema.
Considere agora o caso em que as partículas estejam coladas nas respectivas
extremidades de uma haste rígida, de massa desprezível e comprimento `. Nesse
caso, as posições das duas partículas não são mais independentes, pois devem
satisfazer o vínculo:
|r1 − r2| = `. (1)
Não podemos mais considerar quaisquer valores paras as seis coordenadas das
partículas, pois seria fácil violar a Eq. (1) dessa forma. No entanto, podemos
usar as três coordenadas da partícula de massa m1, por exemplo, e especificar
apenas os dois ângulos que definem o versor dado por
rˆ21 =
r2 − r1
|r2 − r1| =
r2 − r1
`
, (2)
onde já utilizei a Eq. (1). Então, o sistema de duas partículas presas por
uma haste rígida pode ser descrito por cinco coordenadas apenas. A Eq. (1) é
chamada de vínculo holonômico e, para cada um desses vínculos expressos por
uma igualdade, um grau de liberdade é diminuído do total de coordenadas do
sistema no caso de ausência de vínculos. Além disso, se impusermos ainda que
a partícula de massa m1 só poderá mover-se no plano xy, então a coordenada z
dessa partícula satisfaz mais um vínculo:
z1 = 0 (3)
e, portanto, o sistema agora só terá quatro graus de liberdade. Note que como
o vínculo representado pela Eq. (3) é expresso como uma igualdade, segue que
também é holonômico.
Considere agora o caso em que, ao invés de uma haste rígida, as partículas
estejam presas por um fio flexível de comprimento ` e massa desprezível. Nesse
caso, o vínculo não é mais como a Eq. (1), mas é assim:
|r1 − r2| 6 `.
Como nesse caso não temos uma igualdade, mas uma desigualdade, segue, por
definição, que o vínculo não é holonômico. Sempre consideram-se vínculos não
holonômicos aqueles que não podem ser expressos como igualdades como no
caso da Eq. (1). Um vínculo não holonômico não necessariamente precisa ser
uma desigualdade, basta que não seja expressável como uma igualdade. Nós
vamos apenas considerar vínculos holonômicos no que segue.
1
Consideremos um númeroNV de vínculos holonômicos independentes impos-
tos sobre um sistema de N partículas. Então, esses vínculos são expressos por
igualdades envolvendo as coordenadas das N partículas que formam o sistema:
h1 (r1, r2, . . . , rN ; t) = a1,
h2 (r1, r2, . . . , rN ; t) = a2,
...
hNV (r1, r2, . . . , rN ; t) = aNV ,
onde a1, a2, . . . , aNV são constantes e h1, h2, . . . , hNV são funções dadas. Mas
essas NV equações, como estão escritas, podem ser usadas para definirem NV
novas coordenadas generalizadas, a1, a2, . . . , aNV . Agora podemos definir mais
3N −NV coordenadas generalizadas:
q1 = q1 (r1, r2, . . . , rN ; t) ,
q2 = q2 (r1, r2, . . . , rN ; t) ,
...
q3N−NV = q3N−NV (r1, r2, . . . , rN ; t) .
Assim, o número total de coordenadas generalizadas que obtemos é 3N, como
deveria ser, sendo dadas por q1, q2, . . . q3N−NV , a1, a2, . . . , aNV . As equações de
Lagrange para essas coordenadas generalizadas escrevem-se
d
dt
(
∂T
∂q˙j
)
− ∂T
∂qj
= Qj , (4)
para j = 1, 2, . . . , 3N −NV e
d
dt
(
∂T
∂a˙k
)
− ∂T
∂ak
= Qk, (5)
para k = 1, 2, . . . , NV .
Tipicamente, as constantes a1, a2, . . . , aNV são especificadas e, portanto, só
precisamos resolver as 3N −NV equações para q1, q2, . . . , q3N−NV , isto é, temos
que resolver a Eq. (4). A Eq. (5) é útil para determinarmos as forças gen-
eralizadas de vínculo, Qk, para k = 1, 2, . . . , NV , após resolvermos a Eq. (4)
para j = 1, 2, . . . , 3N −NV . No caso de forças conservativas, deriváveis de uma
energia potencial, podemos definir uma função lagrangeana, L = T −V, e a Eq.
(4) fica
d
dt
(
∂L
∂q˙j
)
− ∂L
∂qj
= 0, (6)
para j = 1, 2, . . . , 3N −NV .
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Bibliografia
[1] Keith R. Symon, Mechanics, terceira edição (Addison Wesley, 1971).
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