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PRIMEIRA LISTA DE EXERCI´CIOS – VETORES GEOMETRIA ANALI´TICA Exerc´ıcio 1. Sejam A, B, C, D e E, pontos. Prove que: (1) −−→ AB = −−→ CD =⇒ −→ AC = −−→ BD (2) −−→ BC = −→ AE =⇒ −−→ EC = −−→ AB Exerc´ıcio 2. Seja −→u um vetor. Prove que: (1) − (−−→u ) = −→u . (2) −−→u = −→u =⇒ −→u = −→ 0 . Exerc´ıcio 3. Sejam A e B, pontos, e −→u e −→u , vetores. Prove que: (1) (A+−→u ) + (−−→u ) = A. (2) (A+ (−−→u )) +−→v = A+ (−(−→u +−→v )). (3) A+−→u = B +−→v =⇒ −→u = −−→ AB +−→v . Exerc´ıcio 4. Determine −−→ AB em func¸a˜o de −→u , sabendo que A+ (−−→u ) = B +−→u . Exerc´ıcio 5. Determine a relac¸a˜o entre −→u e −→v , sabendo que, para um dado ponto A, (A+−→u )+−→v = A. Exerc´ıcio 6. Dados os pontos A, B e C, determine X, sabendo que (A+ −−→ AB) + −−→ CX = C + −−→ CB. Exerc´ıcio 7. Prove que, se B = A+ −−→ DC, enta˜o B = C + −−→ DA. Exerc´ıcio 8. Prove que −−→ BC − −−→ BA = −→ AC. Exerc´ıcio 9. Prove que, se −−→ AB + −→ AC = −−→ BC, enta˜o A = B. Exerc´ıcio 10. Ache a soma pedida em cada figura, justificando sua resposta: (1) A+ −→ AC + −→ AE + −−→ DO A B C D EF O (2) A+ −−→ AB + −−→ AD + −→ AE A B CD E F GH Exerc´ıcio 11. Sendo ABACDEF um hexa´gono regular de centro O (como o da figura do item 1 da questa˜o anterior), prove que −−→ AB + −→ AC + −−→ AD + −→ AE + −→ AF = 6 −→ AO. Exerc´ıcio 12. Prove que as diagonais de um paralelogramo teˆm o mesmo ponto me´dio. Exerc´ıcio 13. Num triaˆngulo △ABC, sejam M,N,P os pontos me´dios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Mostre que −−→ AN + −−→ BP + −−→ CM = −→ 0 . Exerc´ıcio 14. Resolva as equac¸o˜es na inco´gnita −→x : (1) 2−→x − 3−→u = 10(−→x +−→v ) (2) −→x + 2−→a = −−→x + 7−→a (3) −→x + 4 −→ i = −( −→ i −−→x ) (4) −→x −−→v = 1 2 (−→x − 2−→v ) Exerc´ıcio 15. Sejam A, B e C treˆs pontos quaisquer, com A 6= B. Prove que: X e´ um ponto do segmento AB ⇐⇒ −−→ CX = α −→ CA+ β −−→ CB, com α ≥ 0, β ≥ 0 e α+ β = 1. Exerc´ıcio 16. Considere um triaˆngulo △ABC, e sejam −→ CA = −→u , −−→ CB = −→v e −→w = −→u − 2−→v . Calcule α real para que o ponto X = C + α−→w pertenc¸a a` reta AB. Date: 2015.1. 1
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