alga lista exercicios 3

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Lista de exercícios 3
1. Determinar as equações das seguintes retas:
(a) reta que passa por A(1,−2, 4) e é paralela ao eixo dos x;
(b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano xOz;
(c) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos do x e dos y;
(d) reta que passa por A(4,−1, 2) e tem direção do vetor −→i −−→j ;
(e) reta que passa pelos pontos M(2,−3, 4) e N(2,−1, 3).
2. Determinar o ângulo entre as seguintes retas:
(a) r :

x = −2− 2t
y = 2t
z = 3− 4t
e s : x4 =
y+6
2 =
z−1
2
(b) r :
{
y = −2x− 1
z = x+ 2
e s : y3 =
z+1
−3 ;x = 2
3. Calcular o ponto de intersecção das retas
(a) r :
{
y = 3x− 1
z = 2x+ 1
e s :
{
y = 4x− 2
z = 3x
(b) r : x−22 =
y
3 =
z−5
4 e s :

x = 5 + t
y = 2− t
z = 7− 2t
4. Sejam as retas
r :

x = 2 + 3t
y = 4 + 5t
z = m · t
e s :
{
y = 2x+ 1
z = x2 − 32
(a) calcular o valor de m para que r e s sejam concorrentes;
(b) determinar, para o valor de m, o ponto de intersecção de r e s.
5. Dados os pontos P1(7,−1, 3) e P2(3, 0,−12), determinar:
(a) o ponto P , que divide o segmento P1P2 ao meio.
6. Determinar as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(2, 0,−1) e é simultantea-
mente ortogonal à reta r : y−32 =
z+1
−1 ;x = 1 e ao eixo dos y.
7. Calcular o valor de n para que seja de 30◦ o ângulo que a reta r :
{
y = nx+ 5
z = 2x− 3 forma com o
eixo dos y.
8. A reta r :

x = 1 + 2t
y = t
z = 3− t
forma um ângulo de 60◦ com a reta determinada pelos pontosA (3, 1,−2)
e B (4, 0,m). Calcular o valor de m.
1
9. A reta r passa pelo ponto A (1,−2, 1) e é paralela à reta s :

x = 2 + t
y = −3t
z = −t
. Se P (−3,m, n) ∈ r,
determinar m e n.
10. A reta r :
{
y = mx+ 3
z = x− 3 é ortogonal à reta determinada pelos pontosA (1, 0,m) eB (−2, 2m, 2m).
Calcular o valor de m.
Respostas
1.
(a)
{
y = −2
z = 4
(b)
{
x = 3
z = 1
(c)
{
x = 2
y = 3
(d)
{
z = 2
x = −y + 3
(e)
{
x = 2
y+1
2 =
z−3
−1
2.
(a) 60o
(b) 30o
3.
(a) (1, 2, 3)
(b) (4, 3, 9)
4.
(a) m = 2
(b) (−1,−1,−2)
5.
(a) Q(5,−12 ,−92)
6. {
y = 0
z = −1
7. ±√15
8. −4
9. m = 10 e n = 5
10. 1 ou −32
2