Geometria Plana
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Geometria Plana


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Construc¸a\u2dco:
b a
\u3b8
Figura 12.16: Problema 12.21.
1. Marquemos o lado BC tal
que BC = a.
2. Transportemos o a\u2c6ngulo C\u302,
de modo que seu ve´rtice coincida
com a extremidade C do segmento
BC e um de seus lados seja o seg-
mento BC.
3. Marquemos, sobre o outro
lado do a\u2c6ngulo transportado, um
ponto A tal que AC = b.
Desenho: Execute os trac¸ados
indicados na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura 12.16.
12.22 Problema. Construir o tria\u2c6ngulo ABC, sendo dados os a\u2c6ngulos B\u302, C\u302 e o lado a.
Construc¸a\u2dco:
B a
C
^
^
Figura 12.17: Problema 12.22.
1. Marquemos o lado BC tal que BC = a.
2. Transportemos o a\u2c6ngulo C\u302, de modo que seu
ve´rtice coincida com a extremidade C do segmento
BC e um de seus lados seja o segmento BC.
3. Transportemos o a\u2c6ngulo B\u302, de modo que seu
ve´rtice coincida com a extremidade B do segmento
BC e um de seus lados seja o segmento BC.
4. O ponto de intersec¸a\u2dco dos lados dos a\u2c6ngulos
transportados, que na\u2dco conte\u2c6m BC, e´ o ponto A.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados na
construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura 12.17.
12.23 Problema. Contruir o tria\u2c6ngulo ABC, sendo dados os lados c, a e o a\u2c6ngulo A\u302 = \u3b8.
Construc¸a\u2dco:
c a
\u3b8
Figura 12.18: Problema 12.23.
1. Marquemos o lado AB no papel tal que
AB = c.
2. Construamos a semi-reta
\u2212\u2212\u2192
AX tal que
BA\u302X = \u3b8. O ve´rtice C sera´, enta\u2dco, um dos
pontos de intersec¸a\u2dco da semi-reta
\u2212\u2212\u2192
AX com a
circunfere\u2c6ncia de centro B e raio a.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados
na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura
12.18.
12.24 Observac¸a\u2dco. Com os dados apresentados, o problema teve duas soluc¸o\u2dces. Podemos
observar que esse problema nem sempre possui soluc¸a\u2dco. Se o lado BC, de medida a, for pequeno
(a < c sen \u3b8), a circunfere\u2c6ncia, de centro B e raio a, na\u2dco cortara´ a semi-reta S(AX). A contruc¸a\u2dco
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Problemas de tange\u2c6ncia
mostra porque uma corresponde\u2c6ncia entre dois tria\u2c6ngulos do tipo LLA na\u2dco e´ necessariamente
uma congrue\u2c6ncia.
12.25 Problema. Construir o tria\u2c6ngulo ABC, sendo dados o lado a, a altura ha e o a\u2c6ngulo A\u302.
Construc¸a\u2dco:
a h
A^
a
Figura 12.19: Problema 12.25.
1. Tracemos um segmento BC de
medida a.
2. Construamos o arco capaz de A\u302
relativo ao segmento BC.
3. Construamos uma reta r, paralela
a BC contida no mesmo semi plano de-
terminado por BC que o arco capaz do
\u131´tem anterior, e cuja dista\u2c6ncia a BC seja
igual a ha.
4. A intersec¸a\u2dco de r com o arco capaz da´ o ponto A.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura
12.19.
12.26 Observac¸a\u2dco. Nem sempre existe a soluc¸a\u2dco. Se ha for grande, a paralela a` r na\u2dco cortara´
o arco capaz.
12.27 Problema. Construir o tria\u2c6ngulo ABC, sendo dadas as medianas ma e mb e a altura
ha.
Construc¸a\u2dco:
m h a
. . . .
m a b
Figura 12.20: Problema 12.27.
1. Tracemos duas retas paralelas, r e s,
distando ha uma da outra. Sobre r, marque
um ponto A.
2. Centro em A e raio ma, construamos
uma circunfere\u2c6ncia, que corta s num ponto M .
3. Seja G o ponto de AM tal que AM =
2
3
ma.
4. Centro em G e raio
2
3
mb, construamos uma circunfere\u2c6ncia, que corta s num ponto B.
Marque, com raio BM , uma circunfere\u2c6ncia de centro M , obtendo assim o ponto C sobre s.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura
12.20.
12.28 Observac¸a\u2dco. Os dados apresentados na\u2dco determinam um u´nico tria\u2c6ngulo. Note ainda
que, dependendo das relac¸o\u2dces entre os dados, o problema pode na\u2dco ter soluc¸a\u2dco.
12.5 Problemas de tange\u2c6ncia
12.29 Problema. Trac¸ar uma tangente a uma circunfere\u2c6ncia dada, que seja paralela a uma
reta tambe´m dada.
Construc¸a\u2dco:
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Problemas de tange\u2c6ncia
Figura 12.21: Problema 12.29.
Sejam C (O, r) e s a circunfere\u2c6ncia e a reta dadas,
respectivamente.
1. Passemos por O, uma perpendicular a s, que corta
a circunfere\u2c6ncia C (O, r) em dois pontos, A,B.
2. Passemos por A (ou por B), uma paralela a s.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados na con-
struc¸a\u2dco acima usando os dados da figura 12.21.
12.30 Problema. Dada uma circunfere\u2c6ncia, trac¸ar as tangentes a esta circunfere\u2c6ncia por um
ponto P exterior a ela.
Construc¸a\u2dco: Devemos, inicialmente, obter os pontos de tange\u2c6ncia.
.
P
Figura 12.22: Problema 12.30.
1. Se O e´ o centro da circunfere\u2c6ncia e A e´ um dos
pontos de tange\u2c6ncia, enta\u2dco o a\u2c6ngulo PA\u302O e´ reto. Logo,
A petence a um arco capaz de 90\u25e6 sobre PO.
2. Determinemos, enta\u2dco o ponto me´dio de PO e
trac¸amos a circunfere\u2c6ncia de dia\u2c6metro PO, que determina
sobre a circunfere\u2c6ncia dada, os pontos de tange\u2c6ncia procu-
rados, A e A\u2032.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados na con-
struc¸a\u2dco acima usando os dados da figura 12.22.
12.31 Problema. Trac¸ar as tangentes comuns a duas circunfere\u2c6ncias dadas.
Construc¸a\u2dco:
Sejam C (O1, r1) e C (O2, r2) as duas circunfere\u2c6ncias tais que O1O2 > r1 + r2. Se r1 = r2, a
construc¸a\u2dco das quatro tangentes comuns fica como exerc´\u131cio. Fac¸amos o caso r1 < r2.
1. Tracemos dois raios paralelos O1A e O2B, de C (O1, r1) e C (O2, r2) , respectivamente.
..
Figura 12.23: Problemas 12.31.
2. Liguemos A a B ate´ cortar a reta dos
centros, no ponto P.
3. Passemos por P uma tangente
a C (O1, r1) . Analogamente constru´\u131mos a
outra tangente comum que passa por P. Pas-
samos agora a` construc¸a\u2dco das demais tan-
gentes.
5. Tracemos uma circunfere\u2c6ncia de centro
O2 e raio r1 + r2.
6. Determinamos o ponto X de tange\u2c6ncia
de umas das tangentes a C (O2, r1 + r2) que
passa por O1.
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Problemas de tange\u2c6ncia
7. Construamos O2X e chamamos de A, a intersec¸a\u2dco de O2X com C (O2, r2). Este e´ um
dos pontos de tange\u2c6ncia procurados.
8. Tracemos uma paralela a O2A passando por O1, que corta C (O1, r1) no ponto B.
9. A reta AB e´ uma tangente comum a`s circunfere\u2c6ncias procuradas. A outra tangente e´
constru´\u131da de modo ana´logo.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura
12.23.
12.32 Problema. Inscrever uma circunfere\u2c6ncia, de raio r dado, em um a\u2c6ngulo, tambe´m dado.
Construc¸a\u2dco: 1. Construamos a bissetriz s do a\u2c6ngulo dado.
r
Figura 12.24: Problema 12.32.
2. Construamos um paralela a um
dos lados do a\u2c6ngulo, cuja dista\u2c6ncia ate´
este lado seja igual ao raio da circun-
fere\u2c6ncia dado.
3. O ponto de encontro da bissetriz
com a paralela e´ o centro da circun-
fere\u2c6ncia.
Desenho: Execute os trac¸ados indi-
cados na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura 12.24.
12.33 Problema. Trac¸ar uma circunfere\u2c6ncia tangente a tre\u2c6s retas dadas.
Construc¸a\u2dco: Sejam AB,BC,CD as retas dadas.
A
B
C
D
Figura 12.25: Problema 12.33.
1. Construamos as bissetrizes dos a\u2c6ngulos
B\u302 e C\u302, e chamamos de O o ponto de intersec¸a\u2dco
entre elas.
2. Passemos por O uma perpendicular a
AB, e chamamos de P o pe´ desta perpendic-
ular.
3. A circunfere\u2c6ncia de centro O e raio OP,
e´ a circunfere\u2c6ncia procurada.
Desenho: Execute os trac¸ados indicados
na construc¸a\u2dco acima usando os dados da figura
12.25.
12.34 Problema. Trac¸ar tre\u2c6s circunfere\u2c6ncias de mesmo raio, tangentes exteriormente entre si,
e tangentes interiormente a uma outra dada.
Construc¸a\u2dco:
Seja C (O, r) a circunfere\u2c6ncia dada.
1. Marquemos em C (O, r) , tre\u2c6s pontos A,B,C tais que AB = BC = AC, e constru´\u131mos os
raios OA,OB,OC.
2. Prolonguemos os raio AO na direc¸a\u2dco de A para O.
3. Tracemos por C uma tangente a C (O, r) , que corta o prolongamento de AO num ponto,
o qual chamaremos de P.
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Exerc´\u131cios complementares
.
Figura 12.26: Problema 12.34.
4. Centro em P e raio PC, tracemos um arco que corta
OP num ponto, que chamaremos de D.
5. Passemos por D uma perpendicular a AP. O ponto
de encontro desta perpendicular com OB e´ o centro O1 da
primeira