Limites no Infinito

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Ca´lculo Diferencial e Integral I
Limites no Infinito
Luiz C. M. de Aquino
aquino.luizclaudio@gmail.com
http://sites.google.com/site/lcmaquino
http://www.youtube.com/LCMAquino
Limites no Infinito
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x2
, para que
valor a func¸a˜o se aproxima quando x assume valores negativos
cada vez menores? E quando x assume valores positivos cada vez
maiores?
x f(x)
-10 0,01
-100 0,0001
-1.000 0,000001
-10.000 0,00000001
-100.000 0,0000000001
↓
x f(x)
10 0,01
100 0,0001
1000 0,000001
10.000 0,00000001
100.000 0,0000000001
↓
lim
x→−∞ f (x) = 0 limx→+∞ f (x) = 0
Limites no Infinito
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x2
, para que
valor a func¸a˜o se aproxima quando x assume valores negativos
cada vez menores? E quando x assume valores positivos cada vez
maiores?
x f(x)
-10 0,01
-100 0,0001
-1.000 0,000001
-10.000 0,00000001
-100.000 0,0000000001
↓
x f(x)
10 0,01
100 0,0001
1000 0,000001
10.000 0,00000001
100.000 0,0000000001
↓
lim
x→−∞ f (x) = 0 limx→+∞ f (x) = 0
Limites no Infinito
Noc¸a˜o intuitiva
Considere a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x2
, para que
valor a func¸a˜o se aproxima quando x assume valores negativos
cada vez menores? E quando x assume valores positivos cada vez
maiores?
x f(x)
-10 0,01
-100 0,0001
-1.000 0,000001
-10.000 0,00000001
-100.000 0,0000000001
↓
x f(x)
10 0,01
100 0,0001
1000 0,000001
10.000 0,00000001
100.000 0,0000000001
↓
lim
x→−∞ f (x) = 0 limx→+∞ f (x) = 0
Limites no Infinito
Noc¸a˜o Intuitiva - Interpretac¸a˜o Geome´trica
Figura: A func¸a˜o f e´ tal que lim
x→+∞ f (x) = 0 e limx→−∞ f (x) = 0.
Limites no Infinito
Definic¸a˜o formal
Seja uma func¸a˜o f definida no intervalo (a, +∞).
Dizemos que
lim
x→+∞ f (x) = L,
se para qualquer nu´mero ε > 0 existe um nu´mero δ > 0 , com
δ > a, correspondente de tal modo que:
|f (x)− L| < ε, sempre que x > δ.
Limites no Infinito
Definic¸a˜o formal - Interpretac¸a˜o Geome´trica
Figura: A func¸a˜o f e´ tal que lim
x→+∞ f (x) = L.
Limites no Infinito
Definic¸a˜o formal
Seja uma func¸a˜o f definida no intervalo (−∞, a).
Dizemos que
lim
x→−∞ f (x) = L,
se para qualquer nu´mero ε > 0 existe um nu´mero δ > 0 , com
−δ < a, correspondente de tal modo que:
|f (x)− L| < ε, sempre que x < −δ.
Limites no Infinito
Definic¸a˜o formal - Interpretac¸a˜o Geome´trica
Figura: A func¸a˜o f e´ tal que lim
x→−∞ f (x) = L.
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Seja a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x
.
Calcule os limites:
(i) lim
x→+∞ f (x)
(ii) lim
x→−∞ f (x)
x f(x)
-10 -0,1
-100 -0,01
-1.000 -0,001
-10.000 -0,0001
-100.000 -0,00001
↓
x f(x)
10 0,1
100 0,01
1000 0,001
10.000 0,0001
100.000 0,00001
↓
lim
x→−∞ f (x) = 0 limx→+∞ f (x) = 0
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Seja a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x
.
Calcule os limites:
(i) lim
x→+∞ f (x)
(ii) lim
x→−∞ f (x)
x f(x)
-10 -0,1
-100 -0,01
-1.000 -0,001
-10.000 -0,0001
-100.000 -0,00001
↓
x f(x)
10 0,1
100 0,01
1000 0,001
10.000 0,0001
100.000 0,00001
↓
lim
x→−∞ f (x) = 0 limx→+∞ f (x) = 0
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 1: Seja a func¸a˜o f : R∗ → R definida por f (x) = 1
x
.
Calcule os limites:
(i) lim
x→+∞ f (x)
(ii) lim
x→−∞ f (x)
x f(x)
-10 -0,1
-100 -0,01
-1.000 -0,001
-10.000 -0,0001
-100.000 -0,00001
↓
x f(x)
10 0,1
100 0,01
1000 0,001
10.000 0,0001
100.000 0,00001
↓
lim
x→−∞ f (x) = 0 limx→+∞ f (x) = 0
Limites no Infinito
Exerc´ıcios - Exemplo 1
Figura: A func¸a˜o f e´ tal que lim
x→−∞ f (x) = 0 e limx→+∞ f (x) = 0.
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Calcule o limite lim
x→+∞
2x2 − 1
8x2 − 7x + 5.
A estrate´gia e´ dividirmos tanto o numerador quanto o
denominador por x2.
lim
x→+∞
(2x2 − 1) : x2
(8x2 − 7x + 5) : x2 = limx→+∞
2− 1
x2
8− 7x + 5x2
=
2− 0
8− 0 + 0
=
1
4
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 2: Calcule o limite lim
x→+∞
2x2 − 1
8x2 − 7x + 5.
A estrate´gia e´ dividirmos tanto o numerador quanto o
denominador por x2.
lim
x→+∞
(2x2 − 1) : x2
(8x2 − 7x + 5) : x2 = limx→+∞
2− 1
x2
8− 7x + 5x2
=
2− 0
8− 0 + 0
=
1
4
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 3: Calcule o limite lim
x→+∞
x − 2√
3x2 + 1− 2.
A estrate´gia e´ dividirmos tanto o numerador quanto o
denominador por x .
lim
x→+∞
(x − 2) : x
(
√
3x2 + 1− 2) : x = limx→+∞
1− 2x√
3x2+1
x2
− 2x
= lim
x→+∞
1− 2x√
3 + 1
x2
− 2x
=
1− 0√
3 + 0− 0
=
√
3
3
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 3: Calcule o limite lim
x→+∞
x − 2√
3x2 + 1− 2.
A estrate´gia e´ dividirmos tanto o numerador quanto o
denominador por x .
lim
x→+∞
(x − 2) : x
(
√
3x2 + 1− 2) : x = limx→+∞
1− 2x√
3x2+1
x2
− 2x
= lim
x→+∞
1− 2x√
3 + 1
x2
− 2x
=
1− 0√
3 + 0− 0
=
√
3
3
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 4: Calcule o limite lim
x→+∞
√
x2 + 7x − x .
Primeiro, precisamos multiplicar e dividir a expressa˜o por√
x2 + 7x + x .
lim
x→+∞
(
√
x2 + 7x − x)(√x2 + 7x + x)√
x2 + 7x + x
= lim
x→+∞
7x√
x2 + 7x + x
Em seguida, dividimos o numerador e o denominador por x .
lim
x→+∞
(7x) : x
(
√
x2 + 7x + x) : x
= lim
x→+∞
7√
1 + 7x + 1
=
7√
1 + 0 + 1
=
7
2
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 4: Calcule o limite lim
x→+∞
√
x2 + 7x − x .
Primeiro, precisamos multiplicar e dividir a expressa˜o por√
x2 + 7x + x .
lim
x→+∞
(
√
x2 + 7x − x)(√x2 + 7x + x)√
x2 + 7x + x
= lim
x→+∞
7x√
x2 + 7x + x
Em seguida, dividimos o numerador e o denominador por x .
lim
x→+∞
(7x) : x
(
√
x2 + 7x + x) : x
= lim
x→+∞
7√
1 + 7x + 1
=
7√
1 + 0 + 1
=
7
2
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 4: Calcule o limite lim
x→+∞
√
x2 + 7x − x .
Primeiro, precisamos multiplicar e dividir a expressa˜o por√
x2 + 7x + x .
lim
x→+∞
(
√
x2 + 7x − x)(√x2 + 7x + x)√
x2 + 7x + x
= lim
x→+∞
7x√
x2 + 7x + x
Em seguida, dividimos o numerador e o denominador por x .
lim
x→+∞
(7x) : x
(
√
x2 + 7x + x) : x
= lim
x→+∞
7√
1 + 7x + 1
=
7√
1 + 0 + 1
=
7
2
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 5: Calcule o limite lim
x→+∞
4−√x
6
√
x + 1
.
A estrate´gia sera´ dividirmos o numerador e o denominador por
√
x .
lim
x→+∞
(4−√x) : √x
(6
√
x + 1) :
√
x
= lim
x→+∞
4√
x
− 1
6 + 1√
x
=
0− 1
6 + 0
= −1
6
Limites no Infinito
Exerc´ıcios
Exemplo 5: Calcule o limite lim
x→+∞
4−√x
6
√
x + 1
.
A estrate´gia sera´ dividirmos o numerador e o denominador por
√
x .
lim
x→+∞
(4−√x) : √x
(6
√
x + 1) :
√
x
= lim
x→+∞
4√
x
− 1
6 + 1√
x
=
0− 1
6 + 0
= −1
6