Roteiro de Estudos para a P2 - 2013.2

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Roteiro de Estudos para a P2 – 2013.2 
Cálculo a uma Variável B – MAT 1158 
Monitor: Marcello Congro 
Nota: 
Este material foi elaborado pelo monitor Marcello Congro como forma de auxiliar 
os estudos para a P2 de MAT 1158. Qualquer forma de reprodução, distribuição 
ou cópia deste material sem as devidas referências é permanentemente proibida 
pelo autor do material. 
 
1 Limites Infinitos e Limites no Infinito 
(Revisão Cálculo A) 
 
Considere a função 
 
 
 
Queremos determinar e . Pelos nossos estudos 
em Cálculo A, sabemos que a técnica para resolver tais limites é colocar o 
termo algébrico de maior expoente em evidência, tanto no numerador 
quanto no denominador do quociente (caso a função em questão seja 
racional, como no caso exemplificado anteriormente) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Método Prático para Esboço de Gráficos: 
A) Determinar o domínio da função; 
B) Determinar a interseção do gráfico com os eixos x e y 
C) Responder: f é par? f é ímpar? 
D) Determinar as assíntotas horizontais e/ou verticais, caso 
existam. 
E) Determinar os intervalos de crescimento/decrescimento, 
bem como os máximos/mínimos locais. 
F) Determinar a concavidade e os pontos de inflexão; 
G) Fazer o esboço do gráfico. 
 
Resumo Ilustrativo: 
Definição: A reta y = L é dita assíntota horizontal da curva y = f(x) se: 
 
 ou , sendo L um número real. 
 
 
 
Definição: A reta x = L é dita assíntota vertical da curva y = f(x) se: 
 
 ou , sendo L um número real. 
 
 
 
 
 
Exemplo Resolvido: Esboce o gráfico de . 
(i) Domínio : 
 
 
 
 (ii) Assíntotas Horizontais e Verticais : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(iv) Crescimento , Decrescimento e Extremos Relativos : 
 
 
 
(v) Concavidade e Ponto de Inflexão: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(vi) Gráfico 
 
 
Exemplo Resolvido 2: Construa o gráfico da função f(x) = 
 
 
 
 
1º passo (Domínio): 
2º passo (Pontos de interseção com os eixos -> às vezes não é 
necessário) 
 
 
3º passo (Pontos críticos): 
4º passo (Intervalos de crescimento/decrescimento): 
 
 
 
 
 
 
 
5º passo (Pontos de máximo e mínimo locais ou relativos): 
 
6º passo (Concavidade e Pontos de Inflexão): 
7º passo (Assíntotas): 
 
 = 1 = 1 = 0 
x² x ∞ 
A reta y = 0 é assíntota horizontal. 
8º passo (Esboço do gráfico): 
Unindo os dados dos 7 passos anteriores, esboçamos o gráfico, atentando 
para os intervalos de crescimento e decrescimento, as assíntotas, os 
pontos de inflexão, pontos críticos e a concavidade: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 Função Exponencial, Logarítmica, Inversa e 
Derivadas 
 
 Em Cálculo A, aprendemos a derivar funções polinomiais e 
trigonométricas. Agora, ampliando nossos horizontes, iremos 
trabalhar com funções exponenciais, logarítmicas e inversas, 
compreendendo seus respectivos comportamentos e estudando suas 
derivadas. 
 
 Desde já memorize (Obs.: Para ambas as funções vale a Regra da 
Cadeia vista em Cálculo A). 
 
 
Se f(x) = exp (x), então f ‘ (x) = exp (x). 
 
Se g(x) = ln (x), então g ‘ (x) = 1/x. 
 
Figura 1. Gráfico de exp(x). 
 
 
Figura 2. Gráfico de ln(x). 
 
Mais funções: 
 
 
 
 
A função logarítmica (a i(x) do exemplo acima) nada mais é que a função 
inversa da função exponencial. A reta y = x funciona como um espelho, 
devolvendo a inversa de y = exp(x). Observe e verifique as conclusões 
que podemos levantar: 
Se h(x) = ax, então h’(x) = ax . ln (a) 
Se i(x) = logax, então i’(x) = 1/ln (a) * 1/x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas 
OBS.: Este item do roteiro corresponde às seções 1.5, 1.6 e 3.6 do livro-
texto (Volume I do Stewart, 6ª edição). 
 
 
 As funções trigonométricas básicas (função seno, função cosseno e 
função tangente) foram bem estudadas durante o curso de Cálculo A. 
Lá você pôde verificar o comportamento dos gráficos de tais funções e 
estudou suas derivadas. No curso de Cálculo B, vamos ampliar nossos 
horizontes, trabalhando agora com as funções trigonométricas 
inversas: arcsen(x) (ou arcsin(x)), arccos(x), arctg (x) (ou arctan(x)) e 
arcsec(x). 
 
 
 É fundamental que você lembre as derivadas das funções 
trigonométricas básicas, bem como seus respectivos gráficos. Na 
página seguinte, definiremos as funções trigonométricas inversas, 
apresentando seus gráficos e comparando com a função básica para 
que você relembre os conceitos aprendidos em Cálculo A. 
 
I. A função arco seno 
 
 
 
A função arcsen(x) apresenta Im = [-Pi/2, Pi/2] e Dom = [-1, 1]. A função 
arcsen(x) só é chamada desta forma se estiver variando de –Pi/2 a Pi/2! 
 
II. A função arco cosseno 
 
 
 
III. A função arco tangente 
A função y = arctg(x) apresenta algumas propriedades importantes. Note 
que –Pi/2 e Pi/2 são assíntotas horizontais presentes em seu gráfico 
IV. A função arco secante 
Derivadas das Trigonométricas Inversas 
OBS 1: Das derivadas de trigonométricas inversas listadas a seguir, só é 
necessário saber os itens (a), (b), (c) e (e). Os outros itens não são trabalhados no 
curso de Cálculo B. 
OBS 2: Atenção! A Regra da Cadeia continua valendo também nesses casos. Ex.: 
Se f(x) = arctg (3x² + 5x), f ‘ (x) = 1/1+(3x²+5x) . (6x + 5). 
 
Derivada da Inversa em um ponto x = a: 
(h-1)’ (a) = 
 
 
 
Exemplo: Seja f(x) = x7 + 3x + 2. Calcule, caso haja, a derivada da inversa 
no ponto x = 6, sabendo que f(1) = 6. 
 
 
 
 
 
Passo 1 – Verificar que há inversa: 
Basta fazer f ‘ (x) = 7x6 + 3 > 0 . Logo, a função é um a um (injetora), e, logo, admite inversa. 
Passo 2 – Calcular a derivada da inversa no ponto pedido: 
O exercício nos pede a derivada da inversa no ponto 6. Inicialmente, podemos perceber pelo 
enunciado que, se f(1) = 6, então, na inversa, f-1 (6) = 1. Logo, substituindo na fórmula: 
 
 
 = 
 
 
=
 
 
=
 
 
 
4 Regra de L’Hospital e Formas Indeterminadas 
OBS: Este item corresponde às seções 4.4 e 4.5 do livro-texto (Volume I do 
Stewart, 6ª edição). 
 Em Cálculo A, fomos apresentados aos limites no infinito e aos limites 
de funções polinomiais. Desenvolvemos inúmeras manobras 
algébricas para contornar as indeterminações que apareciam nos 
exercícios. Vamos novamente ampliar nossos horizontes, descobrindo 
técnicas clássicas e muito mais eficazes e práticas para eliminar tais 
indeterminações. 
 
a) A Regra de L’Hospital (somente para indeterminações 0/0 e ∞/∞) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No final de 1600, John Fernoulle descobriu uma regra para 
calcular os limites das frações cujos numeradores e 
denominadores fossem próximos de zero. Hoje a regra é 
conhecida como "Regra de L´Hospital". L´Hospital era um nobre 
francês que escreveu um texto de introdução ao cálculo no qual 
a regra era apresentada pela primeira vez. A regra de L´Hospital 
frequentemente apresenta resultados rápidos e diretos e, 
algumas vezes, funciona onde outros métodos falharam. Em 
1691,Johann Bernoulli concordou em aceitar um salário de 300 
libras por ano de seu antigo aluno L'Hospital para solucionar os 
problemas de cálculo e manter o ex-aluno atualizado sobre o 
assunto. Um desses problemas intitulava-se "problema 0/0", 
solucionado por Bernoulli. Quando L´Hospital publicou seu livro 
de cálculo em 1696, a regra de "0/0" era apresentada como um 
teorema. Ele reconheceusua dívida para com Bernoulli e, para 
não se intitular único autor, não colocou seu nome no livro. 
Entretanto, Bernoulli acusou L´Hospital de plágio por publicar no 
livro os resultados que ele obtivera. 
 
(Extraído de Com panion Website (www.aw.com/ thomas_br) em 
História e Biografias), 
 
 
OBS: A regra de L’Hospital só vale para as indeterminações do tipo 0/0 e 
∞/∞. A regra vale também para limites laterais e limites no infinito. 
 
Exemplos: 
Calcule 
Perceba que: 
 
Então, temos uma forma indeterminada do tipo 0/0. Logo, é possível 
aplicar a Regra de L’Hospital. Não se esqueça de mostrar em sua prova 
para onde vai o limite e escreva (utilizando uma seta, por exemplo, 
como fizemos em nossas aulas, de que é possível aplicar a regra). 
 
Resolvendo: 
 
Outro exemplo: 
 
Verificando... 
 
Indeterminação do tipo ∞/∞. É possível aplicar L’Hospital. 
Cada vez que você 
esquece a palavra “lim” 
durante as passagens da 
resolução, -0.1! Cuidado! 
 
b) Indeterminação do tipo 0.∞ 
 
 
 
Exemplo: 
 (produto 0. ∞) 
 Repare pelo gráfico da função ln(x) que o ln quando 
x tende a 0 pela direita vai para infinito): 
 
Resolução: 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA: Passe um dos elementos para o 
denominador, transformando o produto em 
quociente. 
 
 
c) Diferença ∞ - ∞ 
 
 
 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
Perceba que, neste caso, é possível colocar o x em evidência. Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caímos em uma nova indeterminação, pois não sabemos determinar o 
limite de exp(x)/x quando x tende ao infinito. Logo, vamos calcular este 
pequeno limite separadamente e depois voltamos ao limite geral: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Voltando ao limite geral e substituindo o resultado encontrado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) Potências Indeterminadas: 00, ∞0 e 1∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ESTRATÉGIA: Coloque um termo em 
evidência. 
 
ESTRATÉGIA: 
 
(comutamos a exponencial com o limite pois f(x) = exp(x) é função contínua) 
Exemplo: 
 
Seguindo nossa estratégia: 
 
 
JUSTIFIQUE: Como exp(x) é função contínua, é possível comutá-la com o limite. 
O limite L já foi calculado nesta planilha, mais precisamente no caso (ii) 
de indeterminação. Seu resultado vale 0. 
Logo, fazendo e0, obtemos 1 como resposta final. 
ATENÇÃO: Não se esqueça de elevar o “e” ao valor do limite 
L! Muitos alunos só calculam o limite L e acreditam que a 
resposta obtida é a correta. Está errado! Lembre-se que 
fizemos uma manobra algébrica com a função exp(x), e o 
resultado será exatamente quando elevarmos nosso ‘e’ ao 
resultado do limite L. 
 
 
 
 
 
 
 
5 Mais gráficos e Assíntotas Inclinadas 
OBS: Este item da planilha refere-se à seção 4.5 do livro-texto (Volume I 
do Stewart, 6ª edição). 
 
 Vamos esboçar o gráfico da função f(x) = ex – x, utilizando os mesmos 
princípios que estávamos acostumados em Cálculo A e até mesmo no 
curso de Cálculo B, quando fazíamos gráficos de funções mais fáceis. 
 
 Vamos introduzir inicialmente o conceito das assíntotas inclinadas, 
antes de começarmos a resolver o exemplo proposto. Como 
determiná-las? 
 
 Se o lim quando x tende ao infinito de [f(x) – (ax + b)] = 0, então a reta 
y = ax + b é dita assíntota inclinada (ou oblíqua) da curva y = f(x). Para 
determinar o valor de a e de b, basta fazer: 
 
 
 
 
 
Seja f(x) = exp(x) – x. Vamos esboçar seu gráfico seguindo o tradicional 
roteiro: 
 
1) Domínio: IR, pois exp(x) é contínua. 
 
2) Interseções com os eixos: 
Eixo y (faça x = 0) ::: y = 1 :::: Ponto (0,1) 
Eixo x (faça y = 0) ::: 0 = exp(x) – x (não é possível determinar à mão) 
3) Assíntotas: 
 Horizontais: 
Basta fazer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e 
 
 
 e 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Não há assíntotas horizontais, mas podem haver assíntotas 
inclinadas. 
 
 Verticais: 
Não há AV pois nenhum elemento foi excluído do Dom(f(x)). 
 
 Inclinadas: 
Determinando ‘’a’’: 
 
 
 e 
 
 e 
 e a = -1 
Logo, a = -1. 
Determinando “b”: 
 e 
 ::::: b = ∞ (não há AI para x -> +∞) 
 
 
 
 
Logo, b = 0. 
 
Então a assíntota inclinada tem equação y = -x. 
4) Crescimento/Decrescimento e Mínimos/Máximos Locais: 
Se f(x) = exp(x) – x, então f’(x) = exp(x) – 1. Estudar o sinal desta função 
pode até inicialmente parecer complexo, mas basta lembrar dos 
movimentos no gráfico. Repare que exp(x) – 1 é o gráfico da função 
exp(x) descida de 1 unidade no eixo y. Confira um rápido esboço na 
página seguinte. 
 
 
(a função em azul é exp(x) e a vermelha é exp(x) – 1). 
Estudando o sinal de f ‘ (x), é possível perceber que antes de x= 0, f’(x) < 0 
e após x = 0, f ‘ (x) > 0. Logo, x = 0 é mínimo local da função. A função f é 
decrescente de (-∞, 0] e crescente de [0, +∞). 
 
5) Concavidade: 
 
Fazendo f ‘’(x) , obtém-se exp(x), que é totalmente positiva em todo o seu 
domínio. Logo, f é totalmente côncava para cima. 
 
6) Esboço: 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
I) Refaça a P2 de 2011.2: 
 
II) (P2 – 2013.1) Seja f(x) = sqrt (3x² + 5). Determine as assíntotas, os 
pontos de máximo e mínimo local, caso existam e o esboço do gráfico de 
f. 
III) Refaça a atividade de verificação dada na monitoria de 11/10. 
 
 
 
IV) Refaça a P2 de 2011.1: 
 
V) (P2 – 2012.2) Seja 
 
a) Determine o limite de f(x) quando x tende a +∞. 
b) Determine o valor de c tal que 
 
 
VI) (P2 – 2012.2) Seja g(x) = 3 arctg (2x + 5) – x. Faça o que se pede: 
a. Domínio de g 
b. Derivada de g 
c. Equação de cada uma das assíntotas verticais da curva y = g(x). 
d. Equação de cada uma das assíntotas horizontais da curva y = g(x). 
e. Equação de cada uma das assíntotas inclinadas da curva y = g(x). 
 
VII) (P2 – 2012.2) Seja 
 
a. Calcule a derivada de h. 
b. A função h possui inversa? Justifique. 
c. Seja a = h(1), determine o valor de a. 
d. Calcule a derivada da inversa de h em a, (h-1)’(a). 
 
VIII) (P2 – 2013.1) Considere a função tangente: 
a. Determine o maior intervalo contendo 17Pi/4 tal que a função 
tangente restrita a este intervalo seja inversível. 
b. Seja h a inversa mencionada no item (a), determine uma expressão 
para h em função de arctan. 
c. Calcule h’(1). 
 
 
 
 
 
V) Exercícios do Stewart – 6ª edição: 
 
Seção Exercícios 
2.6 15, 17, 21, 23, 25, 31, 32, 33, 35, 39, 
41, 44, 58. 
3.1 12, 17, 32, 35. 
3.4 15, 22, 23, 54. 
3.5 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54. 
3.6 4, 5, 7, 9, 10, 16, 23, 24, 25, 26, 27, 
28, 29, 30. 
4.4 12, 18, 19, 26, 29, 38, 40, 51, 53, 54, 
56, 59. 
4.5 
(Não é necessário fazer todos os 
exercícios desta seção. Escolha 3 
exercícios e os faça. Se errar algum 
deles, faça mais 1). 
9, 10, 17, 25, 28, 41 a 46, 48 a 50, 57 
a 60, 62, 64, 65, 67, 68, 70. 
 
 
VII) Dicas e Apostas: 
 
Caros alunos, 
 
Escrevo a vocês para dar os meus “chutes” sobre o que teremos na P2 de Cálculo 
B. A prova provavelmente terá: 
 
1) 1 questão de “Calcule o limite” com subitens: 
 
COM TODA A CERTEZA haverá uma questão de limite indeterminado, 
em particular o caso das potências indeterminadas (00, ∞0 ou 1∞). E,como 
vocês são meus alunos, não vão esquecer de elevar o ‘e’ ao valor do 
limite no final, certo? E muito menos de falar que é possível comutar ‘e’ 
com o limite pois exp(x) é função contínua! APOSTO UMA CERVEJA 
NO PIRES QUE HAVERÁ ESTE ITEM DE POTÊNCIA 
INDETERMINADA!!! 
 
Haverá ainda mais alguns outros subitens, provavelmente da 
indeterminação 0.∞ ou da diferença ∞ - ∞. Talvez não caia uma de 
L’Hospital diretamente pois as indeterminações 0.∞ e ∞ - ∞, em seu 
desenvolvimento, acabam caindo em um L’Hospital. 
 
 
 
2) 1 questão de “Construa o gráfico” com subitens: 
 
Com aquele roteiro mais do que tradicional ... Em alguns anos, não é 
pedido o esboço do gráfico, apenas alguns dos itens do roteiro. Mas você 
deve saber fazer todos os itens do roteiro, sem dúvida! 
 
E não pensem que eles serão bonzinhos ... Certamente o gráfico que 
cairá TERÁ ASSÍNTOTA INCLINADA (além das horizontais e 
verticais). 
 
3) 1 questão de “Derivada da Inversa” com subitens: 
 
 A função a ser dada provavelmente será um log, um ln ou uma 
trigonométrica inversa. 
 
a. Prove que há inversa (basta verificar que f ‘ (x) é totalmente maior ou 
menor que 0); 
b. Calcule a primeira derivada da função; 
c. Determine a derivada da inversa em um ponto x = ... 
 
4) 1 questão de prova antiga 
 
Volte à lista de exercícios desta planilha e refaça os exercícios I.2 e VIII. A 
I.2 caiu no ano de 2011 e reapareceu novamente em 2013.1, de maneira 
idêntica. 
 
 
 
 
 
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