EDO Exata e Função Potencial

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Aula 3 
1. EDO exata 
 
Uma EDO ( ) ( ) é dita exata se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembre-se que um campo vetorial ( ) ( ( ) ( )) é conservativo 
quando existe uma função tal que . Sabemos que um campo 
vetorial ( ) é conservativo então vale 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, campos conservativos estão relacionados com EDO’s exatas. Daí, podemos 
imaginar que vale o seguinte Teorema. 
 
Teorema: Suponha que as funções e possuem derivadas de 
primeira ordem contínuas. Então a EDO ( ) ( ) é exata se, e 
somente se, existe uma função ( ) tal que 
 
 
 
 
 
 
 
Por analogia com o caso acima, chamaremos tal função de função potencial. 
 
Demonstração: A demonstração é feita em duas partes. Primeiro, se existe tal função 
 , como as derivadas parciais de primeira ordem de e são contínuas, então 
tem derivadas parciais e contínuas. Daí, pelo Teorema de Clairaut 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a EDO é exata. 
 
Por outro lado, se a EDO é exata, então precisamos encontrar uma função tal que 
 e . Integrando a primeira dessas igualdades com respeito a x, ou seja, 
tratando y como constante, obtemos 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 ( ) 
Nesse caso, é uma função que depende apenas de y, e é um ponto qualquer no 
qual a função esteja definida. Precisamos mostrar que sempre é possível escolher 
a função de modo que a outra igualdade acima seja satisfeita, ou seja, . 
Derivando a equação acima com relação a y, obtemos 
 ( ) 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 ( ) 
Ou seja, 
 ( ) ( ) 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
O que falta mostrar é que o lado direito dessa expressão é uma função apenas de y, 
pois sabemos que a função é desse tipo. Para isso, vamos derivar com relação a x o 
lado direito: 
 
 
( ) 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
Trocando a ordem de derivação na segunda parcela e usando o Teorema 
Fundamental do Cálculo e o fato de que a EDO é exata, temos 
 
 
 
( ) 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
 
( ) 
 
 
( ) 
 
Assim, apesar de sua forma aparente, o lado direito de 
 
 ( ) ( ) 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 
não depende de x. Logo, podemos obter ( ) integrando a equação acima e 
substituindo na expressão inicial que obtivemos para . De fato, esse será o 
procedimento padrão que usaremos para determinar tal função, que como veremos 
abaixo, é de fundamental importância no estudo das soluções de uma EDO exata. 
 
Observação: Considere a EDO exata e seja uma função potencial, 
então as soluções da EDO são dadas por 
 
 ( ) 
 
onde é uma constante real. De fato, diferenciando, obtemos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, ( ) é uma solução (implícita) da EDO. 
 
Exemplo 11: Resolva a EDO 
 
Podemos escrever a equação na forma ( ) . Logo, ( ) 
 e ( ) . 
 
Observe que 
 
 
 e 
 
 
 , logo a EDO é exata. Vamos procurar uma função 
potencial usando o procedimento ilustrado na demonstração do Teorema acima. 
Queremos uma função tal que e . Integrando a primeira 
equação com respeito a x, obtemos 
 ( ) ( ) 
Agora derivamos com respeito a y, obtendo 
 ( ) 
 
Logo, ( ) e podemos tomar ( ) . Daí, ( ) , e a solução 
geral da EDO é dada por 
 
 
Exemplo 12: Resolva a EDO ( ) 
 
Escrevendo na forma ( ) ( ) , temos 
 ( ) e ( ) . 
 
Como 
 e 
 , a EDO é exata. Queremos uma 
função tal que 
 e 
 . Também podemos 
encontrar primeiro integrando com relação a y e depois derivando com relação a x. 
Integrando, obtemos 
 ( ) ( ) 
Agora derivamos com relação a x: 
 ( ) 
 
Logo, ( ) e podemos tomar ( ) . Logo, ( ) e a 
solução geral da EDO é dada por 
 
 
Exemplo 13: Resolva a EDO ( ) ( ) . 
 
Temos ( ) e ( ) . Logo, e 
 . Logo, e a EDO não é exata. E agora? Responderemos isso com a 
observação seguinte. 
 
Observação: Às vezes uma EDO não é exata, mas se a multiplicarmos por um fator 
integrante ( ) adequado, a EDO passa a ser exata. Isto é, suponha que a EDO 
 
não é exata, mas 
 
é exata. 
 
Assim, ( ) ( ) . Pela regra do produto, 
 
 
Isto é, 
 ( ) 
 
Essa equação é uma EDP, cuja resolução é muito complicada. No entanto, podemos 
simplificar o problema supondo que é uma função apenas de x ou apenas de y. No 
primeiro caso, temos que , logo 
 ( ) 
 
Assim, 
 
 
 (
 
 
) 
Logo, vale a pena usar esse fator integrante se o quociente 
 
 
 
é uma função apenas de x. Nesse caso, podemos encontrar resolvendo a EDO 
acima, que é de variáveis separáveis. 
 
No segundo caso (em que é função apenas de y), temos , logo 
 ( ) 
 
Portanto 
 
 
 (
 
 
) 
 
e vale a pena usar o método se 
 
 
 é função apenas de y. 
 
Agora, voltamos ao exemplo 13. Observe que , e 
 
 
 
 
 
 
 
 ( )
 
 
 
 
Logo, podemos usar o método procurando um fator integrante função apenas de x, 
resolvendo a EDO 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
que é de variáveis separáveis. Logo 
 
 
 
 
 
 
Integrando, 
 
E portanto é o fator integrante que torna a EDO do exemplo 13, exata. 
 
Assim, obtemos 
( ) ( ) 
ou seja, 
( ) ( ) 
 
Agora temos ( ) e ( ) . Daí, e 
 e a EDO realmente se tornou exata. Para resolvermos, buscamos 
uma função potencial tal que e . Integrando a 
primeira dessas equações com respeito a x, obtemos 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Agora, derivamos com relação a y: 
 
 ( ) 
 
Portanto, ( ) e podemos tomar ( ) . Daí, ( ) 
 
 
 e a 
solução geral da EDO do exemplo 13 é