1ª+Lista+de+Álgebra+Linear+com+Gabarito

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Universidade Veiga de Almeida 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professor: Marcelo Torraca 
 
 
1 de 8 
Álgebra Linear – 1ª lista – 1º/2013 
1. As meninas Adriana1 = ; Bruna2 = e Carla3 = falam muito ao telefone entre si. A matriz M mostra 
cada elemento ija representando o número de telefonemas que “i” deu para “j” no mês de setembro: 
0129
6018
10130
M = . Quem mais telefonou e quem mais recebeu ligações? 
Resposta: Adriana recebeu 27 ligações e a Bruna telefonou 24 vezes. 
 
2. Ache os elementos da matriz )a(A ij= de ordem 3, em que 22ij jia += . 
Resposta: 










181310
1385
1052
 
 
3. Escreva os elementos da matriz )a(A ij= de ordem 3, definida por 
( )



=
≠−
=
+
jise,0
jise,1
a
ji
ij . 
Resposta: 










−−−−
−−−−−−−−
−−−−
011
101
110
 
 
4. Escreva os elementos da matriz 2x4ij)a(A = , definida por 



>−
≤+
= jise,ji
jise,ji
a ij . 
Resposta: 












2
1
4
3
3
2
1
2
 
 
5. Construa a matriz real quadrada A de ordem 3, definida por: 




≥+−
<
=
+
ji se 1ji
ji se 2
a
2
ji
ij . 
Resposta: 










789
3234
1681
 
 
 
Universidade Veiga de Almeida 
Disciplina: Álgebra Linear 
Professor: Marcelo Torraca 
 
 
2 de 8 
Álgebra Linear – 1ª lista – 1º/2013 
6. Determine x e y, sabendo que 





=





−
+
16
7
yx3
y3x2
. 
Resposta: 5x ==== e 1y −−−−==== 1 
 
7. Determine a, b, x e y, sabendo que 




 −
=





−−
++
70
13
bayx2
ba2yx
. 
Resposta: -5b e 2a,2y,1x ================ 
 
8. Uma matriz quadrada A é simétrica se tAA = . Assim se a matriz 










−
−
=
234
1z0x
y212
A é simétrica, 
calcule zyx ++ . 
Resposta: 5zyx e 4z,2y,1x ====++++++++========−−−−==== 
 
9. Dada as matrizes 









 −
=










−=
z84
13x
560
Be
215
y36
420
A , calcule x, y e z para que tAB = . 
Resposta: 2z e 8y,2x ============ 
 
10. Sejam 






=










−
=
ca
92
Be
81
1log27
a
16
1
A 3
b
3
2
calcule a, b e c para que BA = . 
Resposta: -4Cb e 3a ========−−−−==== 
 
11. Dada a matriz 










−
−
=
210
432
011
A , obtenha a matriz X tal que tAAX += . 
Resposta: 










−−−−
====
450
561
012
A 
 
 
 
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Disciplina: Álgebra Linear 
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3 de 8 
Álgebra Linear – 1ª lista – 1º/2013 
12. Sendo 3x1ij)a(A = tal que ji2a ij −= e 3x1ij)b(B = tal que 1jibij ++−= , calcule BA + . 
Resposta: [[[[ ]]]]222 
 
13. Sendo 










−
−−=
534
201
321
M , 










=
100
010
001
N e 










−
−
−
=
023
102
110
P , calcule: 
a) MPN +− 
Resposta: 










−−−−
−−−−====
657
311
230
M 
 
b) PN3M2 −− 
Resposta: 










−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−
====
785
530
551
M 
 
c) )PM(2N −− 
Resposta: 










−−−−−−−−
−−−−
−−−−−−−−−−−−
====
91014
612
461
M 
 
14. Ache m, n, p e q, de modo que: 





=





−
−
+





51
87
q3q
nn
pp
m2m
. 
Resposta: 1qe2p,2n,5m −−−−================ 
 
15. Calcule a matriz X, sabendo que ( ) BAXe
2
3
0
1
2
5
B,
3
0
2
4
1
1
A T =+





−
=










−= . 
Resposta: 










−−−−
−−−−
−−−− 1
0
4
1
2
4
 
 
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4 de 8 
Álgebra Linear – 1ª lista – 1º/2013 
16. Para 





−
−
=
450
123
A
 





−−
−
=
113
024
B Resolva 0BA2X =−+ . 
Resposta: 





−−−−−−−−
−−−−−−−−
9113
262
 
 
17. Para 





−
−
=
450
123
A
 





−−
−
=
113
024
B Resolva BA2
3
X
=+ . 
Resposta: 





−−−−++++−−−−
++++−−−−−−−−
27339
6186
 
 
18. Resolva o sistema 



−=−
+=+
BA2YX
BAYX
, sendo 




−
=





−
=
5
1
Be
2
3
A . 
Resposta: 








−−−−
====








−−−−
====
6
2
5
Ye
3
2
9
X
 
 
19. Dadas as matrizes 




 −
=
30
21
A e 




 −
=
02
31
B . Calcule: 
a) 2A 
Resposta: 




 −−−−
====
90
61
A2 
 
b) 3A 
Resposta: 




 −−−−
====
270
201
A3 
 
c) BA2 
Resposta: 




 −−−−−−−−
====
018
313
BA2 
 
d) B3A2 + 
Resposta: 




 −−−−
====++++
96
154
B3A2 
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5 de 8 
Álgebra Linear – 1ª lista – 1º/2013 
20. Dadas as matrizes 




−
=
13
21
A e 




 −
=
34
12
B , calcule tBAB + . 
Resposta: 





====
39
119
A 
 
21. Efetue: 
a) 





−
⋅





−
−
2
3
41
35
 
Resposta: 





−−−− 11
21
 
 
b) [ ]










⋅
3
0
2
531 
Resposta: [17] 
 
c) 




 −
⋅





− 30
12
41
25
 
Resposta: 





−−−− 132
110
 
 
22. Dada a matriz 









 −
=
100
001
012
A , calcule A2. 
Resposta: 










−−−−
−−−−
100
012
023
 
 
23. Sabendo que 





=





=
11
02
Ne
10
21
M , calcule NMMN − . 
Resposta: 





−−−−
−−−−
20
22
 
 
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6 de 8 
Álgebra Linear – 1ª lista – 1º/2013 
24. Sendo 





=
43
21
A e 





=
21
02
B , mostre que ( ) ttt A.BB.A = . 
Resposta: Verdadeiro 
 
25. Sendo 





−
=
20
03
A , 




 −
=
53
12
P e 





=
b75
10a
13
1B , determine os valores de a e b, tais que 
1P.A.PB −= . 
Resposta: 
 
26. Determine a inversa das matrizes utilizando os três métodos ensinados: 
a) 




=
01
43
A 
Resposta: 








−−−−
4
3
4
1
10
 
 
b) 










−
=
221
131
001
B 
Resposta: 
















−−−−
−−−−
2
31
2
1
2
10
2
1
001
 
 
c) 










−=
207
135
064
C 
Resposta: 
 
d) 





=
10
01
D 
Resposta: 





10
01
 
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Disciplina: Álgebra Linear 
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7 de 8 
Álgebra Linear – 1ª lista – 1º/2013 
e) 





−
=
12
32
E 
Resposta: 










−−−−
4
1
4
1
8
3
8
1
 
 
27. Verifique se 





−
=
3
1
3
2
2
1 0
B é inversa de 





−
=
34
02
A 
Resposta: Verifique se IAB ====⋅⋅⋅⋅ 
 
28. Sendo 





=
43
21
A , calcule ( ) 11A −− . 
Resposta: 





43
21
 
 
29. Calcule os seguintes determinantes: 
a) 





=
3- 1
8 4-
A 
Resposta: 4)Adet( ==== 
 
b) 








=
7- 3
3 8
B 
Resposta: 57)Adet( −−−−==== 
 
c) 










−
=
8 3 1
6 4 3-
9- 6 4-
C 
Resposta: 97)Cdet( ==== 
 
30. Se 
4 3
1 2
A
−
= , 
1 3
7 21
B
−
= e 
3 5
2- 1-
C = , determine 22 CBAF −+= . 
Resposta: 114)7()42()11(F 22 ====−−−−++++==== 
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31. Resolva a equação 
 x5
x x
= -6. 
Resposta: 2x ==== e 3x ==== 
 
32. Se 





=
4 3
3 2
A , encontre o valor )A2A(det 2 − . 
Resposta: 9
1712
129
det ====





 
 
33. Calcule o valor do determinante da matriz 










=
3 1 2
6 7 5
0 1- 4
A 
Resposta: 63)A(det ==== 
 
34. Calcule os determinantes das matrizes 










−
=
7- 1- 2
4 3 1- 
2 0 1 
A , 










=
7- 6- 1
2 4- 3
0 0 1
B , 
011
130
201
C
−
= e 






=
4 3
3 2
D , usando o teorema de Laplace. 
Resposta: 3)A(det −−−−==== , 40)B(det ==== , 5)C(det −−−−==== e 1)D(det −−−−====