CeSIII2010-2_ExerciciosdeReferenciaCeS

Prévia do material em texto

1 
FACULDADE DE ENGENHARIA DA UERJ 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA 
CONTROLE & SERVOMECANISMO III 
EXERCÍCIOS DE REFERÊNCIA 
 
Prof.: Paulo Almeida 
Estabilidade 
 
1) Utilizando o critério de Routh-Hurwitz, analise a questão da estabilidade dos 
sistemas cujas equações características são: 
(a) s2 + 3 s + 1 (b) s3 + 4 s2 + 5 s + 6 
(c) s3 + 3 s2 - 6 s + 10 (d) s4 + s3 + 2 s2 + 6 s + 8 
(e) s4 + s3 + 2 s2 + 2 s + K (f) s5 + s4 + 2 s3 + s + 3 
(g) s5 + s4 + 2 s3 + s2 + s + K (h) s3 + 3 s2 + 2 s + K 
(i) s4 + K s3 + s2 + s + 1 (Ogata 2ª ed. A.4.12) 
 
Para todos os casos, determine o número de raízes no semiplano da direita, 
quando for o caso. Determine também a faixa de valores de K que resulta em 
sistema estável e os valores de s no limite de estabilidade. 
 
2) Um sistema de controle de velocidade de um motor é representado pelo diagrama 
de blocos abaixo. Calcule os valores de K para que o funcionamento do motor seja 
estável, sabendo que T1 = T3 = 1 segundo e T2 = 2 segundos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Determine a gama de valores de K para a qual a resposta c(t) é estável nos 
sistemas indicados a seguir, admitindo que a excitação é degrau unitário. Calcule 
as raízes (polos) nos limite de estabilidade. 
 
5)K(s20)8s(s5)(s
5)K(s
R(s)
C(s)
(a)
2 


 
4)K(s3)2)(s1)(ss(s
4)K(s
R(s)
C(s)
(b)



 
 
4) Determine o valor máximo de K para que o sistema mostrado a seguir seja estável 
e calcule o módulo das raízes imaginárias nesta condição. Reduza o ganho K pela 
metade do valor limite e faça uma análise da estabilidade relativa nessa nova 
condição. 
 
 
 
 
 
 
 
 
s T1 (1 + s T2) + 1 
1 
1 + s T3 
1 
K 
- 
+ 
R (s) C (s) 
s (s + 10) 
s + 40 
s + 20 
1 
K - 
+ 
R (s) C (s) 
Exercícios de Referência 
 
 2 
5) Determine as faixas de valores de K para a estabilidade dos sistemas de controle 
com realimentação unitária negativa cujas funções de transferência de malha 
aberta são: 
a) 
2)1)(ss(s
K
G(s)


 e b) 
3)1)(2ss(s
K
G(s)


 
 
6) Determine a faixa de valores de K para o qual o sistema é estável. Usando um 
programa de simulação digital (por exemplo, o MATLAB), mostre o gráfico da 
saída c(t) em relação ao tempo para valores de K dentro e fora da faixa estável, 
bem como no valor limite da estabilidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ações de Controle - Amplificadores Operacionais (AO) 
 
 Ogata “Engenharia de Controle Moderno” - 2ª Edição: Exemplos 2.4 e 2.5 (pág.90), 
Problemas A.2.7, A.2.8, B.2.9 e B.2.10. 
 
 Dorf & Bishop “Sistemas de Controle Modernos” - 8ª Edição: E2.19, E2.27 e PP2.4 
 
 Questões de AO dos Provões 
 
 
R(s) C(s) 
G(s) 
H(s) 
5)2s5)(s(s
2)K(s
G(s)
2 


H(s) = 1 
Exercícios de Referência 
 
 3 
Resposta Transitória 
 
Problemas Ilustrativos e Soluções do Ogata (2ª edição): 
A.4.2; A.4.4; A.4.7; A.4.11 e A.4.14 
 
1) Considerando o servomecanismo da figura 1, determine os valores de K e k de tal 
forma que o sobre-sinal máximo na resposta ao degrau unitário seja 25 % e o 
instante de pico seja 2 s. (Ogata 2ª ed. A.4.3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Dado o sistema de 2ª ordem da figura 2, determine c(t) para uma entra degrau 
unitário no caso de amortecimento crítico  = 1. Sugestão: usar uma das 
propriedades da Transformada de Laplace. 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Supondo agora que o sistema da figura 2 é subamortecido (0 <  < 1), determine o 
instante que ocorre o 1º pico de sobre-sinal para R(s) = 1 / s. 
 
4) Quando uma força (entrada em degrau) de lb* é aplicada ao sistema da figura 3, a 
massa oscila conforme é mostrado na figura 4. Determine m, f e k do sistema a 
partir desta curva de resposta. (Ogata 2ª ed. A.4.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s2 
1 
1 + k s 
K 
- 
+ 
R (s) C (s) 
Figura 1 
s (s + 2  n) 
n
2
 
- 
+ 
R (s) C (s) 
Figura 2 
 f do amortecedor 
m da massa 
k da mola 
P (força de 2 lb*) 
x de deslocamento 
Figura 3 : Sistema 
Mecânico Vibratório 
 1 2 3 4 t (s) 
 x(t) [ft] 
0,0095 ft 
 Figura 4: Curva de resposta a degrau 
0,1 
Exercícios de Referência 
 
 4 
5) Um termômetro requer 1 minuto para indicar 98 % da temperatura do fluido onde 
ele é mergulhado. Supondo que o termômetro tem um comportamento de um 
sistema de 1ª ordem, determine a constante de tempo deste sistema. Se esse 
termômetro é colocado num ambiente onde a temperatura varia linearmente a uma 
taxa de 10° C/min, qual será o erro apresentado na leitura desse termômetro? 
(Ogata 2ª ed. B.4.1) 
 
6) Qual seria o erro se o circuito da figura abaixo fosse usado como um integrador 
para uma entrada degrau? (Ogata 1ª ed. B.6.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) O diagrama de blocos da figura mostrada a seguir representa um sistema de 
controle de altitude de uma nave espacial. Admitindo a constante de tempo T do 
controlador como 3 s e a relação do torque para a inércia K / J como 2 / 9 rad²/s², 
determine o coeficiente de amortecimento do sistema. (Ogata 2ª ed. B.4.5) 
 
 
 
 
 
 
 
 
8) Determine o tempo de subida, o instante de pico, o sobre-sinal máximo e o tempo 
de acomodação, considerando a resposta a degrau unitário dos sistemas de 
controle com realimentação unitária negativa cujas funções de transferência de 
malha aberta são: (Ogata 2ª ed. B.4.3 e B.4.6) 
 
9) O sistema a seguir tem  = 0,158 e n = 3,16 rad/s quando funciona apenas com 
realimentação unitária (Kh = 0). Como a realimentação por tacômetro melhora a 
estabilidade relativa, calcule Kh tal que o coeficiente de amortecimento  se eleve 
para 0,5. (Ogata 2ª ed. B.4.12) 
 
 
 
 
 
 
 
 
J s2 
1 K (T s + 1) 
- 
+ 
R (s) C (s) 
Sistema de Controle de Altitude 
1) (s s
1
 G(s) (a)


0,6) (s s
1 s 0,4
 G(s) (b)



R 
C ei(t) eo(t) 
Sistema de Controle com realimentação tacométrica 
s (s + 1) 
10 
1 + Kh s 
R (s) C (s) 
+ 
Exercícios de Referência 
 
 5 
Lugar das Raízes 
 
Problemas Ilustrativos e Soluções do Ogata (2ª edição): 
A.5.1; A.5.3; A.5.5; A.5.6; A.5.7 e A.5.11 
 
1) Mostre que o lugar das raízes para um sistema de controle com G(s) e H(s) 
mostrados abaixo, forma uma circunferência com centro na origem e raio = 
10 
: 
102ss
10)6s(sK 
 G(s)
2
2



 e H(s) = 1 (Ogata 2ª ed. B.8.4) 
 
2) Um sistema de controle com G(s) = K / (s² (s+1)) e H(s) = 1 é instável para todos 
os valores positivos do ganho K. Esboce o gráfico do lugar das raízes deste 
sistema. Usando este gráfico, mostre que este sistema pode ser estabilizado 
adicionando-se um zero sobre o eixo real negativo ou modificando-se G(s) para 
G1(s) = K (s + a) / (s² (s + 1)), sendo 0  a < 1. (Ogata 2ª ed. B.8.5) 
 
3) Para cada função de transferência de malha aberta mostrada a seguir, determine 
os pontos de separação sobre o lugar das raízes: 
8)(s 6)(s s
K
 H(s) G(s) (a)


 
4)(s2)(s
5)(sK 
 H(s) G(s) (b)



 
1)(ss
1)(sK 
 H(s) G(s) (c)
2 


 
 
4) Trace o lugar das raízes para os seguintes sistemas com retroação unitária e 
K  0: (D'Azzo 2ª ed. 7.3 b  e) 
 12)6s(s s
K
 G(s) (a)
2 

 e 
10)6s2)(s2s(s s
K
 G(s) (b)
22 

 
 
5) Trace o lugar das raízes de um sistema com retroação unitária que possui no 
canal direto a seguinte função de transferência. Determine o valor de K que leva o 
sistema ao limiar da instabilidade: (D'Azzo 2ª ed. 7.5) 
s) 0,01s)(1 0,02 (1 s
K
 G(s) 


 
 
6) Um sistema de controle automático com realimentação unitária negativa tem a 
função de transferência de malha aberta conforme mostrada a seguir. Esboce o 
gráfico do lugar das raízes deste sistema para K  0 e determine a faixa de valores 
de K para tornar o sistema instável. Para que valor de K têm-se raízes puramente 
imaginárias? Que raízes são essas? (Dorf 6.26) 
4)s (1)(s s
1) (sK 
 H(s) G(s) 
2
2



 
 
7) Um sistema de controle automático com realimentação unitária negativa tem G(s) 
conforme mostrado a seguir. Deseja-se conhecer as raízes dominantes com 
coeficiente de amortecimento igual a 0,5. Para o ganho assim calculado, mostre 
que as raízes complexas são s = -1,3  j 2,2 : (Dorf 6.29) 
4)s (s
8) s 4 (sK 
 G(s) 
2
2



 
Exercícios de Referência 
 
 6 
8) Esboce o gráfico do lugar das raízes para sistema abaixo e demonstre que ele se 
torna instável para grandes valores de K. (Ogata 2ª ed. B.8.8) 
 
 
 
 
 
 
 
9) Para o sistema de controle abaixo, esboce o lugar das raízes das localizações dos 
polos de malha fechada no plano "s" quando K varia de 0 a + infinito: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) Traçar os lugares das raízes para o sistema de controle de malha fechada com: 
3,6)(ss
0,4)K(s
G(s)
2 


 e H(s) = 1 
 
100 s + 1 
2 
K e
-4s
 
- 
+ 
R (s) C (s) 
- 
+ 
C(s) R(s) 
s2 + 2 s + 2 
K s 
(s + 3) (s + 4) 
s – 1 
Exercícios de Referência 
 
 7 
Resposta em Frequência 
 
 
Problemas Ilustrativos e Soluções do Ogata (2ª edição): 
A.6.3; A.6.4; A.6.6; A.6.9; A.6.11; A.6.16 e A.6.17 
 
 
 
 
1) Para o circuito abaixo, obtenha a corrente em regime permanente i(t) supondo que 
a entrada do sistema seja ei(t) = Ei sen  t : 
(Ogata 2ª ed. A.6.1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considerando um sistema com realimentação unitária cuja função de transferência 
de malha aberta é G(s) = 10 / (s + 1), obtenha a saída em regime estacionário do 
sistema quando estiver sujeito a cada uma das seguintes entradas: 
(a) r(t) = sen (t + 30°) 
(b) r(t) = 2 cos (2 t - 45°) 
(c) r(t) = sen (t + 30°) – 2 cos (2 t - 45°) (Ogata 2ª ed. B.6.1) 
 
 
3) Desenhe o Diagrama de Bode, obtenha a resposta à rampa unitária e construa o 
gráfico c(t)  t do seguinte sistema de fase não-mínima: 
sT1
R(s)
C(s)

 (Ogata 2ª ed. A.6.5) 
 
 
4) Mostre através do Diagrama de Bode que a resposta em frequência de malha 
fechada do sistema descrito a seguir exibirá um pico de ressonância, embora o 
coeficiente de amortecimento seja maior que a unidade ( >1). Verifique também 
que, na ausência do zero, este sistema de 2ª ordem não exibirá este pico. 
5)(s2)(s
1)(s10
R(s)
C(s)



 (Ogata 2ª ed. A.6.2) 
 
R 
C 
L 
i(t) 
ei(t) 
Exercícios de Referência 
 
 8 
5) Para cada um dos diagramas mostrados a seguir, obtenha a função de 
transferência e ache a correção a ser aplicada à curva assintótica em  = 8 rad/s: 
(D’Azzo 2ª ed. 8.9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6) A curva assintótica de ganho versus frequência relativa à função de transferência 
de malha aberta de um sistema de controle de fase mínima, com realimentação 
unitária, é mostrada abaixo. Com o auxílio desta curva, determine a função de 
transferência de malha aberta. 
(D’Azzo 2ª ed. 8.8) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
20 log GH(j) [dB] 
3 
-12 dB/oitava 
0 
-6 dB/oitava 
50 
800 
10 
 [rad/s] 
dB 
 [rad/s] 
-21 
36 
-20 dB/década 
0 
-40 dB/década 
1 
3 
4 
8 
a 
dB 
 [rad/s] 
-10 
40 
-20 dB/década 
0 
-40 dB/década 
1 5 
16 
b 
dB 
 [rad/s] 
12 
+20 dB/década 
0 
-40 dB/década 
1 2 16 0,5 
c 
Exercícios de Referência 
 
 9 
7) Esboce os diagramas de Bode para as seguintes funções de transferência: 
(Ogata 2ª ed. B.6.3) 
0)T(T
1sT
1sT
G(s)(a) 21
2
1 



 
0)T(T
1sT
1sT
G(s)(b) 21
2
1 



 
0)T(T
1sT
1sT-
G(s)(c) 21
2
1 



 
 
8) Utilizando o critério de Nyquist, determine o valor crítico de K para a estabilidade 
em um sistema com realimentação unitária negativa cuja função de transferência 
de malha aberta é 
1s
eK
 G(s)
s-0,8


 (Ogata 2ª ed. A.6.12) 
 
9) O sistema de controle com a seguinte função de transferência de malha aberta e 
com K = 2 é estável? Aplicando a análise de Nyquist, determine o valor crítico do 
ganho K para a estabilidade. Comprove este resultado utilizando outro método 
para a análise da estabilidade. (Ogata 2ª ed. A.6.10) 
1)(2s1)(ss
K
G(s)H(s)


 
 
10) Determine se cada um dos sistemas mostrados abaixo é estável ou instável, no 
sentido absoluto, por intermédio do esboço dos Diagramas de Nyquist completos. 
Supor H(s) = 1. (D’Azzo 2ª ed. 8.14) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Re 
Im 
 + 
 0+ 
-1 
G(j) 
a 
Re 
Im 
-1 
G(j) 
 0+ 
 + 
b 
Re 
Im 
-1 
c 
 0+  + 
G(j) 
Re 
Im 
-1 
G(j)  + 
 = 0+ 
d 
Exercícios de Referência 
 
 10 
11) O diagrama de blocos mostrado abaixo apresenta o sistema de controle de um 
veículo especial. Determine o ganho K tal que a margem de fase seja 50. Qual a 
margem de ganho neste caso? (Ogata 2ª ed. A.6.15) 
 
 
 
 
 
 
 
 
12) Considere um sistema de controle com realimentação unitária negativa cuja 
função de transferência de malha aberta é mostrado abaixo. Determine o ganho K 
tal que a margem de fase seja 50. Qual a margem de ganho neste caso? 
(Ogata 2ª ed. B.6.14) 
4)s(ss
K
G(s)
2 

 
 
s2 
1 
K (s+2) 
- 
+ 
R (s) C (s)