Momento Fletor e Esforço Cortante

Prévia do material em texto

Disciplina: Sistemas Estruturais 
Assunto: Estruturas Isostáticas – Momento Fletor e 
Cortante 
Prof. Ederaldo Azevedo 
Aula 6 
 
e-mail: ederaldoazevedo@yahoo.com.br 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
 
6.1 Generalidades 
 
 As forças são classificadas em: externas e internas. 
 
 Todos os corpos rígidos, ao serem submetidos a forças 
externas: ativas (cargas) e reativas (reações de apoio), 
apresentam mudança da forma geométrica 
(deformações). No momento em que um corpo deforma, 
entra em estado de tensão. 
 
 Tensão é o estado que a matéria assume decorrente de 
uma deformação. 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
 
6.1 Generalidades 
 
 As forças se transmitem internamente de um ponto a 
outro em um determinado elemento estrutural, por meio 
das tensões. 
 
 A capacidade de transmissão de cargas está associada 
às tensões admissíveis dos materiais de que são 
compostos os elementos estruturais. Isso significa que, 
dependendo do material de que é constituído determinado 
elemento estrutural, maior ou menor será a sua 
capacidade de transmissão de cargas. 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
 
6.2 Esforços Internos 
 
 As Forças internas são os esforços originados das 
tensões desenvolvidas pelos materiais que constituem os 
corpos rígidos. 
 As Forças internas são responsáveis por manterem 
unidos os vários pontos materiais que constituem um 
corpo rígido. 
 
 Determinar os esforços internos implica, determinar o 
estado de tensão a que o elemento está submetido. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
 
6.2 Esforços Internos 
 
 Para evidenciar as forças internas é necessário separar o 
elemento estrutural em análise em duas partes, através 
de um plano de corte imaginário. Este procedimento é 
conhecido como método dos cortes ou método das 
seções. 
 
 Neste estudo, serão abordados os esforços internos 
associados ao estado simples e duplo de tensão. 
 
 Esforço cortante Q, Esforços normais N e Momento 
Fletor M 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 
 A Determinação dos esforços internos independe das 
características dos materiais. 
 
 Os Esforços Internos depende somente da forma 
geométrica e dos esforços externos ativos e reativos e 
portanto é um problema que pode ser resolvido pela 
mecânica estática. 
 
 A determinação dos esforços internos é de fundamental 
importância para o dimensionamento correto dos 
elementos estruturais. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 
 Por exemplo: de posse do valor do Momento fletor 
máximo de uma viga, o profissional calculista terá 
condições de estimar as dimensões desta. 
 
 De acordo com a Primeira Lei de Newton, para que uma 
estrutura esteja estável, ou seja, em equilíbrio é 
necessário que o somatório de todas as forças externas e 
o somatório de todos os momentos de força que atuam no 
sistema sejam iguais a zero. 
 
 ∑(Fx=0) ∑(Fy=0) ∑(M=0) 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Sendo o sistema carregado por uma carga vertical 
uniformemente distribuída, cada apoio é responsável pela 
absorção de 50% da carga vertical aplicada, ou seja, cada 
apoio tem que resistir a 50% do peso da trave(vão). 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 
 Já a carga horizontal deverá ser absorvida em uma das 
vinculações(apoio) do sistema. 
 
 Assim, podemos afirmar que o sistema apresenta um 
equilíbrio global. 
 
 Agora separando parte do sistema(fig. a seguir), é 
possível observar que o somatório das forças atuantes é 
diferente de zero, o que indica que a parte do sistema 
em análise não está em equilíbrio. 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Se o sistema (como um todo) está estável, como pode parte dele não 
estar em equilíbrio? È que na realidade o sistema não pode ser 
analisado em partes separadas, pois o elemento estrutural é um 
conjunto monolítico, em que cada parte tem responsabilidade com 
outra parte. A parcela de carga ativa que falta para estabelecer o 
equilíbrio é fornecida pela parte suprimida da parte em análise em 
razão dos esforços internos. 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 
 
 
 
 
 
 
 Analisando a figura acima, concluimos que os equilibrios 
vertical e horizontal estão garantidos. 
 E, Q é o esforço interno que garante o equilibrio vertical 
do elemento em análise; 
 Q é o esforço cortante. O esforço cortante é 
responsável pela transmissão de cargas oriundas das 
tensões de corte. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 N é o esforço normal(perpendicular) horizontal, 
responsável pela transmissão de cargas oriundas das 
tensões de tração ou compressão. 
 
 Uma viga ao ser submetido a deformações curvas(fig. 
abaixo), o elemento entra em estado de tensão de flexão, 
em que existe uma variação de um: 
 
 Estado máximo de tensão de flexão, em que existe 
uma variação de um: 
 Estado máximo de tensão de compressão até um: 
 Estado máximo de tensão de tração, passando por 
uma linha neutra. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.1 Determinação dos Esforços Internos 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas 
 Conceito de viga: é um elemento estrutural, cuja forma 
geométrica é a de uma barra prismática(prisma) longa, em 
que dimensão e comprimento são bem maiores que as 
dimensões da seção. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.2 Esforço Cortantee Momento Fletor de Vigas 
 
 Estruturalmente, a principal função das vigas é absorver 
as cargas verticais e transmiti-las horizontalmente até os 
pontos de apoio, geralmente pilares. 
 
 Geralmente, as vigas por estarem submetidas a esforços 
verticais, desenvolvem somente tensões de flexão e 
tensões de corte, que dão origem aos esforços cortante 
e aos momentos fletores. 
 
 Para dimensionar a seção de uma viga, é necessário, 
portanto determinar os esforços cortantes e os momentos 
fletores decorrentes das tensões a que a viga está 
submetida. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas 
 
 Como já vimos as forças internas aparecem aos pares 
com sentidos opostos. Deste modo a parte esquerda da 
seção age sobre a parte direita, da mesma forma que a 
direita age sobre a esquerda. 
 
 Assim, o sentido das forças será definido quando o 
elemento estrutural fica a esquerda da seção ou quando 
fica a direita da seção. 
 
 Por convenção, os sentidos arbitrados das reações e 
momentos nos diagramas abaixo serão utilizados para 
cálculo dos esforços internos em todos os problemas 
apresentados daqui em diante. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas 
 
 Se analisarmos direito os diagramas de corpo livre dos 
dois segmentos, verifica-se que os esforços internos que 
surgem no ponto seccionado têm o mesmo módulo, 
mesma direção e sentidos contrários, condição 
necessária para satisfazer a Terceira lei de Newton e 
manter o equilíbrio interno. 
 
 Segundo a terceira lei de newton, para cada força 
aplicada a um corpo esse tende a devolver uma outra 
força de mesmo módulo, mesma direção e sentido 
contrário/ toda ação provém uma reação. 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.2 Esforço Cortante e Momento Fletor de Vigas 
 
 Para determinação dos esforços cortante e momento 
fletores adotaremos(esforços internos) o mesmo sistema 
de referencia que adotamos para calculo de reação de 
apoio, ou seja: 
 
 Sentido horário = (+) 
 Força para cima = (+) ; força para baixo =( -) 
 Força seta para direita =( +); força seta para esquerda = (-) 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 A partir do modelo estrutural, verificam-se as cargas ativas 
atuantes, traça-se o diagrama de corpo livre e calculam-se 
as reações de apoio por meio das equações de equilíbrio 
já estudadas no capítulo anterior. 
 
 Assim considerando o até agora estudado segue exercício 
resolvido. 
 
 Exercício clássico: 
1) Determinar os esforços internos(momento fletor e 
Cortante) da viga isostática abaixo: 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: as reações de apoio já foram determinadas em 
exercício anterior e é o seguinte: RH=0; RV1=qL/2 ; 
RV2=qL/2 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Determinado o equilíbrio externo do elemento, o próximo 
passo é verificar os trechos de continuidade de carga. 
Onde houver descontinuidade no carregamento ativo 
significa que existem trechos que se comportam de 
forma diferente. Sendo assim é necessário que cada 
trecho seja analisado individualmente. 
 
 Para proceder à analise dos esforços internos, é 
necessário dividir a viga em trechos de continuidade e 
verificar as forças atuantes em cada trecho. 
 
 No modelo deste exercício existe apenas um trecho. 
Portanto ele será seccionado apenas uma vez. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Escolhido o ponto do trecho a ser seccionado, traça-se o 
diagrama de corpo livre de um dos segmentos A-S1 ou B-
S1, com todas as forças externas envolvidas e com os 
respectivos esforços internos que surgem no ponto 
seccionado. 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Analise dos esforços internos a partir do segmento 
esquerdo A-S1. 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N + 0 =0 N=0 (esforço normal) 
 𝐅𝐲 = 𝟎 qL/2 – qx - Q = 0 Q= qL/2-qx(esforço cortante) 
 𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M + (N x 0) + (Qx 0) - (q.x.x/2) + (qL/2.x) = 0 
 - M - qx²/2 + qxL/2=0 - M= +qx²/2-qxL/2 
 - M= +qx²/2-qxL/2 (x -1) 
 M= -qx²/2+qxL/2 (momento fletor) 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Análise dos resultados: 
 
 O esforço normal é nulo, e isso é porque não existem 
forças externas horizontais ou diagonais atuando na viga; 
 O resultado obtido para o esforço cortante é uma 
equação de 1º grau do tipo: Y= ax + b, equação geral da 
reta, donde: y= Q; a= q; b= qL/2; 
 O resultado obtido para o momento fletor é uma equação 
de 2º grau do tipo: Y= ax² + bx + c, equação da curva, 
donde: Y= M; a= q; b= qL; c= constante; 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Análise dos resultados: 
 Como os valores de Q e M são obtidos em forma de 
equação, é possível determinar o valor dos esforços 
internos em qualquer ponto da viga, transformando as 
equações em funções de x, onde x é uma variável 
contida no intervalo fechado ( 0 a L) que representa o 
tamanho da viga. 
 
 Assim, para a equação do cortante, Q(x) = -qx + qL/2 
 (0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:) 
 x=0 Q= qL/2 
 x=L/2 Q=zero(na metade da viga esforço cortante é zero); 
 x=L Q= -qL/2 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e EsforçoCortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Análise dos resultados: 
 Para a equação do momento fletor, M(x)= -qx²/2 + qxL/2 
 (0;L) Δx 0 a L (substituindo valores como:) 
 x=0 M=zero 
 x=L/2 M=qL²/8 
 x=L M=zero. 
 
 Para facilitar a visualização das deformações provocadas 
pelos esforços internos atuantes nos elementos 
estruturais, é possível traçar gráficos a partir dos valores 
obtidos por meio das funções; 
 Esses gráficos são chamados de diagrama dos esforços 
internos. 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Diagrama dos esforços internos: 
 O diagrama dos esforços internos é representado no 
plano cartesiano. 
 Para cada tipo de esforço é traçado um diagrama. 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 Nota: 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
1. O eixo das abscissas(x) representa o eixo geométrico da viga; 
2. O eixo das ordenadas(y) representa os esforços internos; 
3. Observe que o valor do momento é máximo, no ponto em que o esforço 
cortante é nulo. Essa é uma características das vigas simplesmente 
apoiada; 
4. Em muitos países, incluindo o Brasil, o gráfico usado para traçar o 
diagrama do momento fletor é traçado com eixo das ordenadas apontado 
para baixo, porque, dessa forma, a representação gráfica apresenta uma 
grande semelhança com as deformações causadas pelos momentos 
fletores. 
 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Nota: 
 1. O gráfico do diagrama do momento fletor já está 
representado com o eixo das ordenadas apontando para 
baixo; 
 2. Os resultados obtidos nessa análise são exatamente os 
mesmos da análise anterior. 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
Exercício Resolvido 01: 
Considerando o modelo estrutural com suas cargas ativas e 
reativas, determinar: 
a)Os esforços internos(cortante e momento fletor); 
b)Traçar os diagramas dos esforços internos. 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
Resolução: 
ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 1 ( 0;5) 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Q1 N1
M1
DCL - SEGMENTO ESQUERDO
x
S1
zero
q= 1,8 KN/m
3.375 kn
+
Sistema de Referência (SR)
+ -
+
-
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N1 + 0 =0 N1=0 (ESFORÇO NORMAL) 
 𝐅𝐲 = 𝟎 3,375 – 1,800.X – Q1 = 0 Q1= -1,800.X + 3,375(esforço 
cortante) 
 𝐌𝐒𝟏 = 𝟎 - M1 - (1,8.x.x/2) + (3,375.X) = 0 
 M1= -0,9 X² + 3,375.X M1= -0,9 X² + 3,375.X (momento 
fletor) 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
ESFORÇOS INTERNOS ATUANTES NO TRECHO 2 ( 5;7,5), em função da 
descontinuidade da viga a partir do ponto 5m as equações são diferentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N2 + 0 =0 N2=0 (ESFORÇO NORMAL) 
 𝐅𝐲 = 𝟎 - 1,800.x + Q2 = 0 Q2= -1,800.X (esforço cortante) 
 𝐌𝐒𝟐 = 𝟎 +(1,800.x.x/2) + M2 = 0 
 M2= -900 X² M2= -0,9 X² (momento fletor) 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
Traçar o diagrama de esforços internos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: é possível observar que os valores, em determinado momento, 
passam de positivos a negativos. Isso indica que existe um ponto da 
viga em que o esforço cortante é nulo e que o momento fletor é 
máximo. Para saber qual é esse ponto, é necessário igualar a equação 
que determina o esforço cortante a zero. 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais P/ Trecho 1 que possuem equações definidas para intervalo: (0;5) Δx – 0 a 5 
 X=0 substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q=3,375 e na 
equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=0 
 X=5 substituindo na equação(Q1= -1,800.X + 3,375), Q= -5,625 e 
na equação M1= -0,9 X² + 3,375.X e M1=-5,625. 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Logo: igualando Q1= -1800.X + 3,375 a zero temos: 
-1,800.X + 3,375=0 
-1,800.X= - 3,375 
X=3,375/1,800 
X= 1,875m 
Logo na posição X=1,875m o esforço cortante é zero e o momento fletor é 
máximo. 
E o valor do Mf em 1,875 m é: 
 M1= -0,9 X² + 3,375.X 
M= -0,9.1,875² + 3,375.1,875 
= - 3,164+ 6.328 
Mf = 3,164 KNm 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
E o valor do Mf no ponto 5,00 é: 
M1= -0,9 X² + 3,375.X 
M = -0,9.5² + 3,375.5 
Mf= - 22,5 + 16,87 
Mf=-5,63 KNm é momento fletor máximo da viga. 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
E Para saber em que ponto o momento fletor é zero para o trecho 1, é 
necessário igualar a equação que determina o momento fletor a zero. 
Logo: igualando M1= -0,9 X² + 3,375.X a zero temos: 
-0,9 X² + 3,375.X =0 
-0,9 X² + 3,375X=0 
X(-0,9X + 3,375)=0 
X= 0 
- 0,9X=-3,375 
X= 3,75 m 
Logo na posição X=3,75m o momento fletor é zero. 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas EstruturaisP/ Trecho 2 que possuem equações definidas para intervalo: (5;7,5) Δx – 0 
a 2,5 
 X=0 substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=0 e na equação M2= 
-0,9 X² e M1=0 
 X=2,5 substituindo na equação(Q2= -1,800.X), Q=4,5 e na equação 
M2= -0,9 X² e M1=- 5,625 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
Assim fazendo o diagrama temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
Assim fazendo o diagrama temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Exercício resolvido: 
Considerando o modelo estrutural, determinar: 
a) Os esforços internos(cortante, normal e momento fletor) para as 
seções transversais S1, S2 e S3. 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
6.2.3 Determinação dos esforços internos em vigas 
isostáticas. 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
Resolução: 
 
 
 
Escolhemos a parte esquerda da viga, devido ao menor número de forças 
externas aplicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Seção S1 
Q1
N1
M1
12,5 kN
DCL - SEGMENTO ESQUERDO
1,0 m
A
S1
 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N1=0 
 𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – Q1 = 0 Q1= 12,5 kN 
 𝐌𝐬𝟏 = 𝟎 (N1 x 0) + (12,5x 0) - M1 + Q1.x1= 0 
 - M1 + Q1=0 
 M1=Q1 
 M1=12,5 kN.m 
Os sinais positivos de N1 e M1 indicam que os esforços solicitantes 
são positivos, como supostos inicialmente. 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
Seção S2 
Escolheremos, de novo, a parte esquerda devido ao menor número de forças 
externas aplicadas. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N2=0 
 𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – 5 – Q2 = 0 Q2= 7,5 kN 
 𝐌𝐚 = 𝟎 (N2 x 0) + (12,5x 0) - M2 + Q2 x 3 + 1,5x5= 0 
 0 + 0 - M2 + 3Q2 + 7,5=0 
 - M2 + 3x7,5 + 7,5=0 
 M2=30 kN.m 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
Seção S3 
Neste caso será mais cômodo trabalhar com a parte direita da viga: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N3=0 
 𝐅𝐲 = 𝟎 Q3 – 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kN 
 𝐌𝐛 = 𝟎 (N3 x 0) + (17,5x 0) + M3 - Q3x2,5 +15x2= 0 
 0 + 0 - M3 -(-2,5.Q3) + 30=0 
 - M3 + 2,5.Q3 + 30=0 
 - M3 + 2,5x2,5+ 30=0 - M3 + 6,25+30=0 
 - M3= - 36,25 kN.m M3= 36,25 kN.m 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
Exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Determinar as expressões de força cortante(Q) e momento fletor(M), e 
construir os respectivos diagramas na viga com cargas concentradas abaixo. 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
Exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N1=0 
 𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – Q1 = 0 Q1= 12,5 kN 
 𝐌𝐬𝟏 = 𝟎 - M1 + Q1.x= 0 
 - M1 + Q1X=0 
 M1=Q1X M1=12,5X 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
Exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N2=0 
 𝐅𝐲 = 𝟎 12,5 – 5 – Q2 = 0 Q2= 7,5 kN 
 𝐌𝐚 = 𝟎 - M2 + Q2 X + 1,5x5= 0 
 - M2 + Q2X + 7,5=0 
 - M2 + 7,5X + 7,5=0 
 M2= 7,5X + 7,5 
 
6. Momento Fletor e Esforço Cortante 
Exercício: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Centro de Ensino Superior do Amapá-CEAP 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
Disciplina: Sistemas Estruturais 
Equações de Equilíbrio (EE) 
 𝐅𝐱 = 𝟎 𝐅𝐲 = 𝟎 𝐌 = 𝟎 
 𝐅𝐱 = 𝟎 N3=0 
 𝐅𝐲 = 𝟎 Q3 – 15+17,5 = 0 Q3= - 2,5 kN 
 𝐌𝐛 = 𝟎 + M3 - Q3X +15x2= 0 
 - M3 -(-X.Q3) + 30=0 
 - M3 + Q3X + 30=0 
 - M3 + 2,5X+ 30=0 - M3 + 2,5X+30=0 
 M3= 2,5X + 30