Equações de Planos e Retas em R³

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Lista 7 – Planos 
1) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos: 
a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor vr = (2,–3,1); 
b) possui o ponto A(1,−2,1) e é paralelo aos vetores kjia rrrr −+= e k2jib rrrr −+= ; 
c) passa pelos pontos A(–2,1,0), B(–1,4,2) e C(0,–2,2); 
d) passa pelos pontos P(−2,1,0), Q(−1,4,2) e R(0,−2,3); 
e) passa pelos pontos A(2,1,5), B(−3,−1,3) e C(4,2,3); 
f) passa pelo ponto E (1,2,2) e contém os vetores vr =(2,–1,1) e wr = ( –3,1,−2); 
g) possui o ponto P(2,−1,3) e é paralelo ao plano XOZ; 
h) contém as retas 
2
1z
2
2y
3
7x
:r
−
−
=
−
=
−
 e 
4
5z
3
2y
2
1x
:s
−
=
−
+
=
−
; 
i) contém as retas 3z1y
2
x
:r +=+= e 
2
z
2
2y
4
1x
:s =
−
=
+
; 
j) que contém as retas 0z,
2
2y
2
2x
:s e 
4z
ty
t3x
:r =
−
−
=
+





=
−=
+−=
; 
k) contém as retas 
412
1-x
:s e 
13
32
:
zy
xz
xy
r =
−
=



−=
+=
; 
l) passa pela reta 1z
2
y
2
1x
−==
−
 e é paralelo à reta 
4
4z
1
2y
2
3x −
=
−
−
=
−
 
RESP: a) pi: 2x−3y+z−7=0 b) pi: x−y−3=0 c) pi: 12x +2y−9z+22=0 
d) pi:15x+y−9z−16=0 e) pi: 6x−14y−z+7=0 f) pi: x + y−z−1=0 
g) pi: y+1=0 h) pi: 2x−16y−13z+31= 0 i) pi: y−z−2=0 
j) pi: 4x+4y+3z=0 k) pi: 11x+2y−5z−11=0 l) pi: 3x−2y−2z−1=0 
2) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos: 
a) 



=++
=−−+
01yx
01zy2x
 b) 



=+++
=−+−
04z2y3x
03zyx3
 c)



=++
=−−−
013y3x2
08zy2x
 d)



=−−+
=−−−
07zy2x
01zy2x3
 
RESP: a) r:P = (−3,2,0) + m (−1,1,1) b)
2
12
−
−
=+=
zyx c)
7
z
2
7
29y
3
7
2
x
:r =
−
+
=
+
 d)
4
4
2
3
2
+
=−=
zyx 
3) Forme a equação do plano que possui um ponto M(−2,1,3) e que é perpendicular à reta
z
3
1y
2
x
:r −=
−
= . RESP: pi: 2x + 3y − z +4 = 0 
4) Dado o ponto P(5,2,3) e o plano pi:2x+y+z−3=0, determinar: 
a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a pi; 
b) a projeção ortogonal de P sobre pi; 
c) o ponto P’ simétrico de P em relação a pi; 
d) a distância de P ao plano pi. 
RESP: a) 
3
2
25





+=
+=
+=
tz
ty
tx
r
 b) I(1,0,1) c)P’(−3, −2, −1) d) 62d = 
5) Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,−3) e B(3,2,5) 
RESP: pi:x+4z−6=0 
6) Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,−2,2) e B (−3,1,−2) e é perpendicular 
ao plano pi: 2x+y−z+8-0. RESP: pi:x−12y−10z−5=0 
7) Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é paralela a cada 
um dos planos: 
��: 2� − � − � + 1 = 0								�								��	: � + 3� + � − 5 = 0.													����:	 �� = −1 + 2�� = −3�� = 7�
�				 
8) Determine o ângulo formado pela reta r e pelo π. 
 
�:	 � � = −2�� = 2� + 1� 															�									�: � − � + 5 = 0				����: 45°.	 
 
9) Determine a equação do plano que contém o ponto A(4,1,0) e é perpendicular aos planos: 
 ��: 2� − � − 4� − 6 = 0								�								��	: � + � + 2� − 3 = 0.																����: 2� − 8� + 3� = 0. 
 
10) Determine a equação do plano que contém o par de retas: 
 
�: � = �; � = −3			�			":	 � � = −�� = 1� = 2 − �� 																																����: 2� + � − 2� + 3 = 0.