Aula 19: Aplicações das integrais duplas

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Aplicações das integrais duplas
Já sabemos que as integrais duplas podem nos auxiliar no cálculo de volumes do espaço e no
cálculo de áreas do plano. Vamos aprender outras aplicações importantes das integrais duplas.
Massa e densidade
Suponha que você tem uma lâmina com um certo formato que não tenha necessariamente
densidade constante ao longo de sua extensão. Podemos representar a lâmina como sendo uma
região D do plano xy. Se a densidade da lâmina no ponto (x, y) ∈ D for dada por uma função
contínua
ρ(x, y)
(medida em unidades de massa por unidades de área), então a massa total m da lâmina é
m =
∫∫
D
ρ(x, y) dA
Observe que, no caso particular em que a densidade da lâmina é constante ρ(x, y) = ρ,
então
m =
∫∫
D
ρ dA = ρ
∫∫
D
1 dA = ρA(D)
Exemplo 1. Calcule a massa total de uma lâmina circular de raio 2 representada no plano pela
região D = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 4} cuja densidade seja dada pela função ρ(x, y) = x2 + y2
medida em quilos por metro quadrado.
Em coordenadas polares temos que
ρ(r cos θ, r sen θ) = (r cos θ)2 + (r sen θ)2 = r2
Além disso, a região D pode ser descrita em coordenadas polares por
D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2pi}
Logo, a massa total m da lâmina é dada por
m =
∫∫
D
ρ(x, y) dA =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
r2 r dr dθ =
∫ 2pi
0
∫ 2
0
r3 dr dθ
Como ∫ 2
0
r3 dr =
[
r4
4
]r=2
r=0
= 4
então
m =
∫ 2pi
0
4 dθ = [4θ]θ=2piθ=0 = 8pi
Ou seja, a massa total da lâmina é de 8pi kg.
De forma completamente análoga, podemos calcular a carga elétrica total de uma região
D qualquer do plano cuja densidade de carga seja uma função contínua σ(x, y) medida em
unidades de carga por unidade de área. Nesse caso, a carga total Q é dada por
Q =
∫∫
D
σ(x, y) dA
1
Observe que, no caso particular em que a densidade de carga é constante σ(x, y) = σ, então
Q =
∫∫
D
σ dA = σ
∫∫
D
1 dA = σA(D)
Exemplo 2. Uma carga está distribuída sobre a região D representada no plano pelo triân-
gulo de vértices (0, 1), (1, 1) e (1, 0) de modo que a densidade de carga é dada pela função
σ(x, y) = xy medida em coulombs por metro quadrado. Calcule a carga total.
Observe que o triângulo de vértices (0, 1), (1, 1) e (1, 0) pode ser visto como a região do plano
limitada pelas retas y = 1, x = 1 e y = 1− x.
Logo, a região D pode ser descrita em coordenadas cartesianas por
D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 1− x ≤ y ≤ 1}
e a carga total Q é dada por
Q =
∫∫
D
σ(x, y) dA =
∫ 1
0
∫ 1
1−x
xy dy dx
Como∫ 1
1−x
xy dy =
[
xy2
2
]y=1
y=1−x
=
x
2
− x(1− x)
2
2
=
x− x(1− 2x+ x2)
2
=
2x2 − x3
2
= x2 − x
3
2
então
Q =
∫ 1
0
x2 − x
3
2
dx =
[
x3
3
− x
4
8
]x=1
x=0
=
1
3
− 1
8
=
5
24
Ou seja, a carga total é de
5
24
C.
Momentos e centro de massa
Suponha que você tem uma lâmina representada por uma região D do plano xy cuja densi-
dade no ponto (x, y) ∈ D é dada pela uma função contínua ρ(x, y). O momento da lâmina em
torno do eixo x é dado por
Mx =
∫∫
D
yρ(x, y) dA
2
e o momento da lâmina em torno do eixo y é dado por
My =
∫∫
D
xρ(x, y) dA
Nesse caso, as coordenadas (x, y) do centro de massa são
x =
My
m
, y =
Mx
m
onde m é a massa total da lâmina dada por
m =
∫∫
D
ρ(x, y) dA
Exemplo 3. Determine a massa e o centro de massa de uma lâmina triangular represen-
tada no plano xy pelo triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2) se a função densidade é
ρ(x, y) = 1 + 3x+ y.
Observe que o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2) pode ser visto como a região do plano
limitada pelas retas y = 0, x = 0 e y = 2− 2x.
Logo, a região D pode ser descrita em coordenadas cartesianas por
D = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2− 2x}
e a massa total m da lâmina é dada por
m =
∫∫
D
ρ(x, y) dA =
∫ 1
0
∫ 2−2x
0
(1 + 3x+ y) dy dx
Como ∫ 2−2x
0
(1 + 3x+ y) dy =
[
y + 3xy +
y2
2
]y=2−2x
y=0
= 2− 2x+ 3x(2− 2x) + (2− 2x)
2
2
= 2− 2x+ 6x− 6x2 + 4− 8x+ 4x
2
2
= 2− 2x+ 6x− 6x2 + 2− 4x+ 2x2
= 4− 4x2
3
então
m =
∫ 1
0
(4− 4x2) dx =
[
4x− 4x
3
3
]x=1
x=0
= 4− 4
3
=
8
3
O momento em torno do eixo x é
Mx =
∫∫
D
yρ(x, y) dA =
∫ 1
0
∫ 2−2x
0
(y + 3xy + y2) dy dx
Como∫ 2−2x
0
(y + 3xy + y2) dy =
[
y2
2
+
3xy2
2
+
y3
3
]y=2−2x
y=0
=
(2− 2x)2
2
+
3x(2− 2x)2
2
+
(2− 2x)3
3
=
4− 8x+ 4x2
2
+
12x− 24x2 + 12x3
2
+
8− 24x+ 24x2 − 8x3
3
= 2− 4x+ 2x2 + 6x− 12x2 + 6x3 − 8x+ 8x2 + 8
3
− 8x
3
3
=
14
3
− 6x− 2x2 + 10x
3
3
então
Mx =
∫ 1
0
(
14
3
− 6x− 2x2 + 10x
3
3
)
dx =
[
14x
3
− 3x2 − 2x
3
3
+
5x4
6
]x=1
x=0
=
14
3
−3− 2
3
+
5
6
=
11
6
O momento em torno do eixo y é
My =
∫∫
D
xρ(x, y) dA =
∫ 1
0
∫ 2−2x
0
(x+ 3x2 + xy) dy dx
Como ∫ 2−2x
0
(x+ 3x2 + xy) dy =
[
xy + 3x2y +
xy2
2
]y=2−2x
y=0
= x(2− 2x) + 3x2(2− 2x) + x(2− 2x)
2
2
= 2x− 2x2 + 6x2 − 6x3 + 4x− 8x
2 + 4x3
2
= 2x− 2x2 + 6x2 − 6x3 + 2x− 4x2 + 2x3
= 4x− 4x3
então
My =
∫ 1
0
(4x− 4x3) dx = [2x2 − x4]x=1
x=0
= 2− 1 = 1
Logo, as coordenadas (x, y) do centro de massa são
x =
My
m
=
1
8/3
=
3
8
, y =
Mx
m
=
11/6
8/3
=
11
16
4
Exemplo 4. Considere uma lâmina semi-circular de raio a cuja densidade em qualquer ponto
é proporcional à sua distância ao centro do círculo. Determine o centro de massa dessa lâmina.
Vamos representar a lâmina como sendo a região D do plano xy dada pelo semi-círculo su-
perior do círculo x2 + y2 = a2 centrado na origem.
A distância de um ponto (x, y) ∈ D ao centro do semi-círculo é a distância do ponto à origem
e, portanto, é dada por
√
x2 + y2. A função densidade neste caso é
ρ(x, y) = k
√
x2 + y2
onde k é a constante de proporcionalidade. Em coordenadas polares temos que
ρ(r cos θ, r sen θ) = k
√
(r cos θ)2 + (r sen θ)2 = k|r|
Além disso, a região D pode ser descrita em coordenadas polares por
D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ pi}
Observe que como r ≥ 0 em D, então |r| = r e temos ρ(r cos θ, r sen θ) = kr. Logo, a massa
total da lâmina é dada por
m =
∫∫
D
ρ(x, y) dA =
∫ pi
0
∫ a
0
kr r dr dθ =
∫ pi
0
∫ a
0
kr2 dr dθ
Como ∫ a
0
kr2 dr =
[
kr3
3
]r=a
r=0
=
ka3
3
então
m =
∫ pi
0
ka3
3
dθ =
[
ka3θ
3
]θ=pi
θ=0
=
ka3pi
3
O momento em torno do eixo x é
Mx =
∫∫
D
yρ(x, y) dA =
∫ pi
0
∫ a
0
kr3 sen θ dr dθ
Como ∫ a
0
kr3 sen θ dr =
[
kr4 sen θ
4
]r=a
r=0
=
ka4 sen θ
4
então
My =
∫ pi
0
ka4 sen θ
4
dθ =
[
−ka
4 cos θ
4
]θ=pi
θ=0
=
ka4
2
5
O momento em torno do eixo y é
My =
∫∫
D
xρ(x, y) dA =
∫ pi
0
∫ a
0
kr3 cos θ dr dθ
Como ∫ a
0
kr3 cos θ dr =
[
kr4 cos θ
4
]r=a
r=0
=
ka4 cos θ
4
então
My =
∫ pi
0
ka4 cos θ
4
dθ =
[
ka4 sen θ
4
]θ=pi
θ=0
= 0
Logo, as coordenadas (x, y) do centro de massa são
x =
My
m
=
0
ka3pi/3
= 0, y =
Mx
m
=
ka4/2
ka3pi/3
=
3a
2pi
Momento de inércia
Considere uma lâmina representada por uma região D do plano cuja função densidade é
dada por ρ(x, y). O momento de inércia da lâmina em torno do eixo x é
Ix =
∫∫
D
y2ρ(x, y) dA
e o momento de inércia da lâmina em torno do eixo y é dado por
Iy =
∫∫
D
x2ρ(x, y) dA
O momento de inércia da lâmina em torno da origem (também chamado de momento polar de
inércia) é dado por
I0 = Ix + Iy =
∫∫
D
(x2 + y2)ρ(x, y) dA
Exemplo 5. Determine o momento de inércia em tornoda origem do disco homogêneo D de
centro na origem e raio a cuja densidade é ρ(x, y) = ρ.
A região D pode ser descrita em coordenadas polares por
D = {(r, θ) ∈ R2 | 0 ≤ r ≤ a, 0 ≤ θ ≤ 2pi}
Como x2 + y2 = r2, então
I0 =
∫∫
D
(x2 + y2)ρ(x, y) dA =
∫ 2pi
0
∫ a
0
(ρr2)r dr dθ =
∫ 2pi
0
∫ a
0
ρr3 dr dθ
Como ∫ a
0
ρr3 dr =
[
r4
4
ρ
]r=a
r=0
=
a4ρ
4
então
I0 =
∫ 2pi
0
a4ρ
4
dθ =
[
a4ρ
4
θ
]θ=2pi
θ=0
=
2pia4ρ
4
=
pia4ρ
2
6