Integrais Múltiplas - Lista 2

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Seja D ⊂ R2 a chapa no primeiro quadrante limitada pelas hipe´rboles x y = 1, x y = 9 e
pelas retas y = x, y = 4 x. Suponha que x e y sejam medidos em metros e que a chapa tenha
densidade δ(x, y) =
√
y/x kg/m2. Definindo as varia´veis u > 0 e v > 0 tais que x = u/v e
y = u v, obte´m-se uma mudanc¸a de varia´veis g : D̂ → D, onde g(u, v) = (u/v, u v) e D̂ e´ tal
que g(D̂) = D. Se necessa´rio, use a aproximac¸a˜o ln(2) = 7/10.
C E a) No plano Ou v, D̂ e´ um retaˆngulo.
C E b) A a´rea de D̂ e´ igual a
∫
2
1
(∫
3
1
du
)
dv.
C E c) A a´rea de D e´ menor do que a a´rea de D̂.
C E d) A massa de D e´ superior a 10 kg.
C E e) A densidade me´dia de D e´ inferior a 1 kg/m2.
O x
y
y =
x
y
=
4
x
xy
=
1
xy
=
9
2) Considere o cilindro reto C de altura H e raio da base R. Considere ainda o cone C
inscrito no cilindro, conforme a figura abaixo. Nesse caso, a superf´ıcie lateral do cone e´ o
gra´fico de uma func¸a˜o f : D → R, com domı´nio D ⊂ R2.
R
H
a) Determine a func¸a˜o f usando o fato de que a superf´ıcie lateral
do cone pode ser obtida por meio da rotac¸a˜o, em torno do eixo
Oz, da reta de equac¸a˜o z = (H/R) y com y ∈ [0, R].
Resposta: f(x, y) = (H/R)
√
x2 + y2.
b) Descreva o domı´nio D em coordenadas polares.
Resposta: D = {(r, θ); 0 < θ < 2pi e 0 < r < R}.
c) Use coordenadas polares para calcular o volume VC do cilindro.
Resposta: VC = piR
2H.
d) Use coordenadas polares para calcular o volume Vf do so´lido abaixo do gra´fico de f .
Resposta: Vf = (2/3)VC .
e) Verifique agora que o volume VC do cone e´ igual a um terc¸o do volume VC.
Resposta: VC = VC − Vf = (1/3)VC .
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3) Suponha que uma chapa D ⊂ R2 seja limitada pela circunfereˆncia x2 + y2 = 4y e tenha
densidade δ(x, y) diretamente proporcional a` distaˆncia do ponto (x, y) a origem O = (0, 0),
e indique por K a constante de proporcionalidade.
O x
y
4
a) Esboce a circunfereˆncia x2 + y2 = 4y no espac¸o ao lado,
indicando os pontos onde ela cruza os eixos coordenados.
b) Obtenha a descric¸a˜o de D em coordenadas polares.
Resposta: D̂ = {(r, θ); 0 ≤ θ ≤ pi e 0 ≤ r ≤ 4 sen(θ)}.
c) Calcule a massa M da chapa usando o item anterior e a
substituic¸a˜o u = cos(θ).
Resposta: M = 28K/32.
d) Calcule o momento de massa da chapa em relac¸a˜o ao eixo Ox.
Resposta:
∫∫
D
yδ(x, y) dxdy = 210K/15.
e) Calcule a coordenada y do centro de massa, e justifique fisicamente que y > 2.
Resposta: y = 12/5 > 2, pois a densidade e´ maior nos pontos mais afastados da origem.
4) Um modelo simplificado para estimar o volume de um lago e´ assumir que a sua superf´ıcie
seja limitada pela elipse x
2
a2
+ y
2
b2
= 1 e que a profundidade em cada ponto (x, y) da superf´ıcie
seja dada pela func¸a˜o p(x, y) = H cos
(
pi
2
√
x2
a2
+ y
2
b2
)
, em que H e´ a profundidade ma´xima.
Uma vez estimado o volume, a profundidade me´dia e´ a raza˜o entre o volume e a a´rea da
superf´ıcie do lago.
a) Expresse o volume do lago por meio de uma
integral dupla.
Resposta: volume =
∫∫
D
p(x, y) dx dy, onde D e´ a regia˜o
limitada pela elipse.
a b
b) Use uma mudanc¸a de varia´veis para transformar a integral do item anterior em uma
integral sobre um disco de raio um.
Resposta: volume =
∫∫
D̂
H cos
(
pi
2
√
u2 + v2
)
ab du dv, onde D̂ e´ o disco de raio 1.
c) Calcule o volume do lago usando o item b).
Resposta: volume = 4abH(1 − 2/pi).
d) Calcule a a´rea da superf´ıcie do lago.
Resposta: a´rea = piab.
e) Verifique que a altura me´dia do lago e´ independente das constantes a e b.
Resposta: altura me´dia = (4H/pi)(1 − 2/pi).
Ca´lculo III Mo´dulo 2 – Gabaritos – Lista 2 2.o/2013 – 2/2