espacos vetoriais

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Anotac¸o˜es sobre espac¸os vetoriais
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Espac¸os vetoriais 3
1.1 Espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Espac¸o Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.2 Espac¸o vetorial das sequeˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.3 Espac¸o vetorial das matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.1.4 Espac¸o das func¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.5 Propriedades alge´bricas ba´sicas do espac¸o vetorial. . . . . . . . . 16
1.2 Subespac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2.1 Exemplos de subespac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.2.2 Espac¸o das func¸o˜es contı´nuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Func¸o˜es limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.2.4 Equac¸a˜o cartesiana de espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.5 Reta que passa pela origem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.6 Conjuntos Convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.7 O vazio e´ um conjunto convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.8 A intersec¸a˜o arbitra´ria de convexos e´ um convexo. . . . . . . . . 31
1.2.9 Se F e´ convexo, enta˜o F e´ convexo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.10 Um conjunto unita´rio e´ convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.11 Convexo e combinac¸a˜o convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.12 Produto cartesiano de espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.13 Intersecc¸a˜o de subespac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.2.14 Unia˜o de espac¸os vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3 Combinac¸a˜o linear: espac¸os gerados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2
Capı´tulo 1
Espac¸os vetoriais
1.1 Espac¸os vetoriais
m Definic¸a˜o 1 (Espac¸o vetorial). Um espac¸o vetoriala e´ uma estrutura (V, F,+,×)
formada pelos seguintes elementos listados:
• Um conjunto V , cujos elementos sa˜o chamados vetores.
• Um corpo F, chamado corpo de escalares (cujos elementos sa˜o chamados de
escalares).
• Temos tambe´m duas operac¸o˜es: Uma adic¸a˜o + e uma multiplicac¸a˜o × que
satisfazem certas propriedades que listaremos a seguir.
Nesse texto iremos considerar a princı´pio que o corpo F seja o corpo dos nu´meros
reais R, caso contra´rio deixaremos claro no decorrer do texto. Sejam u , v e
w ∈ V e a e b ∈ R , enta˜o para que V seja um espac¸o vetorial a adic¸a˜o deve
satisfazer as seguintes propriedades
aEspac¸o vetorial tambe´m e´ chamado de espac¸o linear por alguns autores.
• S1 A adic¸a˜o e´ fechada u+ v ∈ V. A soma de dois elementos de V ainda e´ um
elemento de V .
3
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 4
• S2 Associatividade
(u+ v) +w = u+ (v+w).
• S3 Vetor nulo. Existe um vetor 0v ∈ V , chamado vetor nulo, tal que
0v + v = v+ 0v,
para todo e qualquer v ∈ V . Usaremos a notac¸a˜o 0v para simbolizar o vetor
nulo, para que na˜o haja confusa˜o com o nu´mero real 0, ou elemento nulo do
corpo dos escalares.
• S4 Inverso aditivo. Para cada vetor v ∈ V existe −v ∈ V tal que
v+ (−v) = 0v
• S5 Comutatividade
u+ v = v+ u.
Com isso temos que a adic¸a˜o no espac¸o vetorial forma um grupo abeliano
(comutativo) (V,+). E´ definido tambe´m um produto de um vetor v por um
escalar a sendo o resultado um vetor av = u, que teˆm as seguintes propriedades
(considere a, b, c escalares arbitra´rios em K , v e u vetores em V)
• P1 O produto e´ fechado
cv ∈ V.
• P2 Distributividade escalar
(a+ b)v = av+ bv.
• P3 Distributividade vetorial
a(v+ u) = av+ au.
• P4 Identidade escalar
1.v = v.
• P5 Associatividade do produto por escalar
(c.a)(v) = c(a.v),
onde c e´ um escalar
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 5
Usaremos a notac¸a˜o simplificada V ao inve´s de (V, F,+,×) para simbolizar o
espac¸o vetorial, quando estiver subentendida o corpo de escalares usado.
Para memorizar as propriedades notamos que sa˜o 10 as propriedades de espac¸o
vetorial, 5 para adic¸a˜o de vetores (grupo abeliano ) e 5 para produto por escalar.
Se o corpo de escalares e´ K, chamamos V de K-espac¸o vetorial ou espac¸o vetorial
sobre K, em especial, sobre C temos um espac¸o vetorial complexo, sobre R temos um
espac¸o vetorial real.
m Definic¸a˜o 2. Dado um vetor v e o inverso aditivo de u, −u, denotamos
v+ (−u) por v− u.
b Propriedade 1. A propriedade comutatividade da adic¸a˜o de vetores e´ des-
necessa´ria como axioma de espac¸o vetorial, pois pode ser deduzida dos outros
axiomas, isto e´, {P1, · · ·P5, S1, · · ·S4}⇒ {P1, · · ·P5, S1, · · ·S5}.
ê Demonstrac¸a˜o. A propriedade vale se temos uma unidade 1.a = a, distri-
butividade a` esquerda e a` direita (1 + 1)a = 1.a + 1.a = a + a e lei do corte ( que
pode provir da associatividade, existeˆncia de neutro e inverso aditivo).
• Distributividade a` direita implica,
2(u+ v) = 2u+ 2v = (u+ u) + (v+ v).
• Distributividade a` esquerda e propriedade da unidade, temos
2(u+ v) = (1+ 1)(u+ v) = 1.(u+ v) + 1.(u+ v) = (u+ v) + (u+ v).
• Segue, dos itens anteriores e associatividade da adic¸a˜o, que
2(u+ v) = (u+ u) + (v+ v) = (u+ v) + (u+ v) =
= u+ (u+ v) + v = u+ (v+ u) + v,
por lei do corte, temos finalmente
u+ v = v+ u.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 6
Z Exemplo 1. Seja uma operac¸a˜o ∗ definida em V , da seguinte maneira ,
dados u, v ∈ V e t 6= t2 real, definimos
u ∗ v = tu+ tv.
Vale que
(u ∗ v) ∗w = u ∗ (v ∗w)⇔ u = w.
Temos u ∗ v = tu+ tv, daı´
(u∗v)∗w = t2u+t2v+tw = u∗(v∗w) = tu+t2v+t2w⇔ t2u+tw = t2w+tu⇔ (t2−t)w = (t2−t)u
como t2 6= t podemos dividir por t2 − t e daı´ a expressa˜o equivale a` w = u.
m Definic¸a˜o 3. Dado um espac¸o vetorial V , definimos a soma de um nu´mero
finito de seus elementos recursivamente. Sendo B um conjunto finito de vetores
de V , se temos uma partic¸a˜o B = A ∪ C com A e C disjuntos
∑
k∈B
k =
∑
k∈A
k+
∑
k∈C
k
caso um deles seja vazio, digamos A, enta˜o C = B e por isso definimos a soma
sobre um conjunto vazio de vetores, como o elemento neutro da adic¸a˜o de vetores
∑
k∈∅
k = 0v.
b Propriedade 2. Um corpo K e´ espac¸o vetorial sobre si mesmo.
ê Demonstrac¸a˜o.
• A adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o sa˜o fechadas por estarmos em um corpo.
• (K,+) e´ um grupo abeliano, pois (K,+,×) e´ corpo.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 7
• Vale 1.v = v, c1(c2v) = (c1c2)v pois o produto e´ associativo em corpo. O produto
tambe´m e´ distributivo em relac¸a˜o a soma
(c1 + c2)v = c1v+ c2v
c1(v1 + v2) = c1v1 + c2v2
por propriedade de corpo.
• O vetor nulo e´ o elemento neutro da adic¸a˜o no corpo 0.
• O inverso aditivo de um vetor v e´ seu sime´trico no corpo −v.
b Propriedade 3. Seja L um subcorpo de K, se V e´ espac¸o vetorial sobre K,
enta˜o V tambe´m e´ espac¸o vetorial sobre L.
ê Demonstrac¸a˜o. A soma e produto por escalar sa˜o fechados e satisfazem as
propriedades alge´bricas listadas na definic¸a˜o.
Z Exemplo 2. Como Q, R ,C e Zp sa˜o corpos enta˜o sa˜o espac¸os vetoriais. Q
na˜o e´ espac¸o vetorial sobre R pois o produto na˜o e´ fechado, assim como R na˜o e´
espac¸o vetorial sobre C. Pore´m C e´ espac¸o vetorial sobre Q e R.
1.1.1 Espac¸o Rn
m Definic¸a˜o 4 (Espac¸o Rn.). Para todo nu´mero natural n, o sı´mbolo Rn
representa o espac¸o vetorial euclidiano n-dimensional. Os elementos de Rn sa˜o
as n-uplas de nu´meros reais (ak)n1 = (a1, . . . , an) onde cada ak ∈ R e´ chamado de
coordenada. Dizemos tambe´m que o termo ak esta´ na k-e´sima coordenada.
O espac¸o Rn e´ o produto cartesiano de n fatores R, Rn =
n∏
k=1,c
R, o sı´mbolo c
no ı´ndice do produto´rio para lembrar que estamos tratandodo produto cartesiano.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 8
Z Exemplo 3. Caso n = 1, R1 = R o conjunto dos nu´meros reais.
m Definic¸a˜o 5 (Igualdade). Se temos u = (ak)n1 e v = (bk)n1 a igualdade u = v
significa que ak = bk ∀ k ∈ In.
m Definic¸a˜o 6 (Adic¸a˜o). A adic¸a˜o de dois vetores u e v e´ definida como
u+ v = (ak)
n
1 + (bk)
n
1 = (ck)
n
1
onde ck e´ dado por ck = ak + bk, assim escrevemos
u+ v := (ak)
n
1 + (bk)
n
1 = (ak + bk)
n
1
m Definic¸a˜o 7 (Produto por escalar). O produto por um nu´mero real c e´
definido como
c.w := (dk)
n
1
onde dk = c.ak, assim escrevemos
c.w := (c.ak)
n
1
m Definic¸a˜o 8 (Vetor Nulo). O vetor zero e´ por definic¸a˜o
0v = (ck)n1
onde ck = 0 ∀ k ∈ In. Tal elemento tambe´m e´ chamado de origem de Rn. Usamos
o sı´mbolos v em 0v para na˜o confundir o elemento nulo de Rn com o elemento
real, caso esteja claro no contexto podemos simbolizar 0v apenas por 0.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 9
b Propriedade 4. Rn e´ um espac¸o vetorial.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Comutatividade
u+ v = (ak)
n
1 + (bk)
n
1 = (ak + bk)
n
1 = v+ u =
= (bk)
n
1 + (ak)
n
1 = (bk + ak)
n
1
temos que bk + ak = ak + bk pela comutatividade da adic¸a˜o de nu´meros reais.
• Associatividade Sendo w = (ck)n1 temos
(u+ v) +w = ((ak)
n
k=1 + (bk)
n
1 ) + (ck)
n
1 = (ak + bk)
n
1 + (ck)
n
1 = (ak + bk) + ck)
n
1 =
pela associatividade da adic¸a˜o de nu´meros reais
= (ak + (bk + ck))
n
1 = u+ (v+w)
• Elemento neutro
w+ 0v = (ck)n1 + (ek)n1 = (ck + ek)n1 = (ck)n1
pois ek e´ o elemento neutro da adic¸a˜o de nu´meros reais.
• Existeˆncia de inverso aditivo w = (ck)n1 tomamos w ′ = (−ck)n1
(ck)
n
1 + (−ck)
n
1 = (ck − ck)
n
1 = (ek)
n
1 = 0
• Associatividade escalar
(αβ)(ck)
n
1 = (αβck)
n
1 = α(βck)
n
1 = α(β(ck)
n
1 ).
• Identidade escalar
1(ck)n1 = (1.ck)n1 = (ck)n1
• Distributividade vetorial
α((ck)
n
1 +(bk)
n
1 ) = α((ck+bk)
n
1 ) = (αck+αbk)
n
1 = (αck)
n
1 +(αbk)
n
1 = α(ck)
n
1 +α(bk)
n
1 .
• Distributividade escalar
(α+ β)(ck)
n
1 = ((α+ β)ck)
n
1 = (αck + βck)
n
1 = α(ck)
n
1 + β(ck)
n
1 .
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 10
1.1.2 Espac¸o vetorial das sequeˆncias
m Definic¸a˜o 9 (Sequeˆncia). Uma sequeˆncia com elementos em um corpo K e´
uma func¸a˜o X : N→ K. xn e´ chamado n-e´simo termo da sequeˆncia e escrevemos
os termos da sequeˆncia como upla
(x1, . . . , xn, . . . ) = (xn)n∈N = (xn) = {xn}.
m Definic¸a˜o 10 (Igualdade de sequeˆncias). Duas sequeˆncias (ak) e (bk) sa˜o
iguais, quando ak = bk para todo k ∈ N
(ak) = (bk)
, isto e´ duas sequeˆncias sa˜o iguais quando seus termos de ı´ndices iguais, sa˜o
iguais.
m Definic¸a˜o 11 (Adic¸a˜o de sequeˆncias). Sejam sequeˆncias (an) e (bn), defini-
mos a adic¸a˜o como uma outra sequeˆncia (cn)
(an) + (bn) = (cn)
onde o termo cn e´ dado pela adic¸a˜o de an e bn, cn = an + bn.
Propriedades da adic¸a˜o
Sejam (an), (bn), (cn) sequeˆncias quaisquer no corpo K, a adic¸a˜o e o produto de
sequeˆncias gozam das seguintes propriedades
b Propriedade 5 (Elemento neutro). O elemento neutro da adic¸a˜o de sequeˆncias
e´ a sequeˆncia onde todos termos sa˜o nulos
(cn) = (0)
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 11
onde cn = 0 ∀ n ∈ N1. E temos a propriedade, sendo (an) uma sequeˆncia qualquer,
temos a propriedade
(an) + (0) = (an + 0) = (an).
Pois o corpo k possui elemento neutro da adic¸a˜o. Temos um elemento neutro
do produto que e´ (1) a sequeˆncia constante formada pelo nu´mero 1, e temos a
propriedade
(an)(1) = (an.1) = (an).
Pois 1 e´ o elemento neutro do produto no corpo K
b Propriedade 6 (Comutatividade). Temos as propriedades
(cn) + (bn) = (cn + bn) = (bn + cn) = (bn) + (cn)
(cn)(bn) = (cn.bn) = (bn.cn) = (bn)(cn)
pela propriedade da adic¸a˜o e o produto serem comutativos no corpo k.
b Propriedade 7 (Associatividade).
[(cn) + (bn)] + (an) = (cn + bn) + (an) = (cn + bn + an) = (cn) + [(bn + an)]
[(cn).(bn)].(an) = (cn.bn).(an) = (cn.bn.an) = (cn).[(bn.an)]
pela associatividade no corpo K.
b Propriedade 8 (Existeˆncia de inverso). Para a sequeˆncia (an) existe a
sequeˆncia (−an), tal que
(an) + (−an) = (an − an) = (0)
a soma das sequeˆncias e´ a sequeˆncia nula. Se an 6= 0 para todo n, existe a−1n e
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 12
temos a sequeˆncia dos inversos (a−1n ) onde temos a propriedade
(an).(a
−1
n ) = (an.a
−1
n ) = (1).
b Propriedade 9 (Existeˆncia de divisores de zero). Dadas duas sequeˆncias na˜o
nulas (xn) e (yn) seu produto pode ser uma sequeˆncia nula.
ê Demonstrac¸a˜o. Considere (xn) dada por xn = 0 se n par e xn = 1 se n ı´mpar,
(yn) tal que yn = 0 se n ı´mpar yn = 1 se n par, enta˜o (xn)(yn) = (0) e nenhuma
delas e´ a sequeˆncia nula.
$ Corola´rio 1. Com isso concluı´mos que o conjunto das sequeˆncias munido
da adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o que definimos , na˜o e´ um corpo, pois em corpos na˜o
existem divisores de zero.
b Propriedade 10 (Distributividade).
(an)[(cn)+(bn)] = (an)(cn+bn) = (ancn+anbn) = (ancn)+(anbn) = (an)(cn)+(an)(bn)
pela distributividade no corpo K.
m Definic¸a˜o 12 (Produto por elemento de um corpo). Sejam uma sequeˆncia
(an) e um elemento r do corpo K, definimos o produto da sequeˆncia por r como
uma outra sequeˆncia (cn)
r(an) = (cn)
onde o termo cn e´ dado pelo produto do termo an e r, cn = an.r.
b Propriedade 11 (Distributividade). Sendo r e p ∈ k, temos
(r+ p)(an) = (ran + pan) = (ran) + (pan) = r(an) + p(an).
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 13
r[(an) + (bn)] = r(an + bn) = (ran + rbn) = r(an) + r(bn).
b Propriedade 12 (Multiplicac¸a˜o por 1).
1.(an) = (1.an) = (an).
b Propriedade 13. c e d no corpo K temos
c[d.(an)] = c(d.an) = (c.d.an) = (c.d).(an)
Com as propriedades de adic¸a˜o e produto por escalar (que no caso sa˜o elementos
do corpo K), as sequeˆncias em um corpo k, formam um espac¸o vetorial. Este espac¸o
vetorial de sequeˆncias sera´ simbolizado por K∞, em especial se o corpo for o corpo
dos nu´meros reais R, teremos o espac¸o vetorial R∞ que sa˜o sequeˆncias de nu´meros
reais.
1.1.3 Espac¸o vetorial das matrizes
m Definic¸a˜o 13 (Matriz m por n.). Uma matriz A, m por n com coeficientes
reais e´ uma tabela com m linhas e n colunas compostas de m linhas de n-
uplas (a(i,j))nj=1 de nu´meros reais onde i simboliza o ı´ndice da linha, poderı´amos
tambe´m ter n-uplas de nu´meros complexos ou outros elementos. Denotamos a
matriz definida acima como A = (a(i,j)) e o conjunto de todas as matrizes com
coeficientes reais com m linhas e n colunas por Mm×n(R). Os elementos a(i,j) sa˜o
chamados de coeficientes ou entradas da matriz A. Se a matriz tivesse coeficientes
complexos denotarı´amos como Mm×n(C).
Podemos denotar a matriz A como
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 14

a1 1 a1 2 · · · a1 n
a2 1 a2 2 · · · a2 n
... ... ... ...
am 1 am 2 · · · am n

A k-e´sima linha da matriz A e´ a n-upla (akj)nj=1 (fixe a linha k e deixe j variar)
a p-e´sima coluna da matriz A e´ (aip)mi=1 (fixe a coluna p e deixe i variar).
m Definic¸a˜o 14 (Igualdade de matrizes). Dadas duas matrizes A = (aij) ∈
Mm×n(R) e B = (bij) ∈ Nr×s(R). Dizemos que A e B sa˜o iguais quando m = r,
n = s e aij = bij para todo i ∈ Im e j ∈ In sendo satisfeitas m.n igualdades.
m Definic¸a˜o 15. Definimos M(m×n) como o conjunto de todas matrizes m×n
com entradas em R.
Para as pro´ximas definic¸o˜es iremos considerar matrizes em M(m× n).
m Definic¸a˜o 16 (Adic¸a˜o de matrizes). Dadas A = (ai,j), B = (bi,j) matrizes
arbitra´rias, definimos a soma das matrizes A e B como uma matriz C = (ci,j) em
M(m× n) tal que
ci,jai,j + bi,j.
m Definic¸a˜o 17 (Produto por escalar). Definimos o produto de uma matriz A
arbitra´ria porum nu´mero real c qualquer, como a matriz B = (bi,j) em M(m×n)
tal que
bi,j = c.ai,j
e denotamos B = cA.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 15
b Propriedade 14. O conjunto M(m × n) munido do produto por escalar e
adic¸a˜o definidas acima e´ um espac¸o vetorial.
ê Demonstrac¸a˜o.
• A adic¸a˜o e´ comutativa A+ B = B+A pois (ai,j + bi,j) = (bi,j + ai,j).
• A adic¸a˜o e´ associativa (A + B) + C = A + (B + C) pois ((ai,j + bi,j) + ci,j) =
((ai,j + (bi,j) + ci,j)).
• Existe elemento neutro para adic¸a˜o que e´ a matriz nula 0 = (ai,j) onde ai,j = 0
independente dos ı´ndices.
B+ 0 = (ai,j + bi,j) = (0+ bi,j) = (bi,j) = B.
• Dada A = (ai,j) existe um elemento sime´trico −A = (−ai,j), cuja soma resulta
na matriz nula
A+ (−A) = (ai,j − ai,j) = (0).
• Agora vejamos as propriedades da multiplicac¸a˜o . Vale que 1A = A pois
1A = (1.ai,j) = (ai,j) = A.
• Distributividade do produto por escalar
c(A+ B) = (cai,j + cbi,j) = (cai,j) + (cbi,j) = cA+ cB.
•
(c+ t)A = (cai,j + tai,j) = (cai,j) + (tai,j) = cA+ tA
• Associatividade
(c.t)(A) = (c(tai,j)) = c(tA).
Portanto M(m× n) e´ espac¸o vetorial.
1.1.4 Espac¸o das func¸o˜es
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 16
m Definic¸a˜o 18 (Espac¸o das func¸o˜es ). Seja X um conjunto na˜o vazio e A um
anel com unidade. Definimos f(X,A) como o conjunto de todas func¸o˜es f : X→ A.
Consideramos tambe´m o caso de ter no lugar de A, E um espac¸o vetorial .
m Definic¸a˜o 19 (Soma e produto). Definimos a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por
escalar de duas func¸o˜es quaisquer f, g em f(X,A) por
(f+ g)(x) = f(x) + g(x)
(cf)(x) = cf(x)
onde c ∈ A, ficando assim definidas uma operac¸a˜o de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o.
O mesmo com E, um espac¸o vetorial no lugar de A.
b Propriedade 15. f(X,A) e´ espac¸o vetorial, quando A e´ corpo.
ê Demonstrac¸a˜o.
• Vale a associatividade da adic¸a˜o
(f(x) + g(x)) + h(x) = f(x) + (g(x) + h(x))
• Existe elemento neutro da adic¸a˜o 0 ∈ A e a func¸a˜o constante f(x) = 0 ∀ x ∈ A,
daı´
g(x) + 0 = g(x).
• Existe o sime´trico para todo f(x), −f(x), definindo g(x) = −f(x) ∀ x tem-se
f(x) + g(x) = f(x) − f(x) = 0
• Existe a identidade escalar 1 ∈ A (ou 1 ∈ K o corpo associado ao espac¸o vetorial
E) e vale 1f(x) = f(x).
• Vale a associatividade da multiplicac¸a˜o por escalar
(c.t)f(x) = c.(tf(x)
por propriedade do anel (espac¸o vetorial).
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 17
• Vale a distributividade
(c+ t)f(x) = cf(x) + tf(x)
•
c(f(x) + g(x)) = cf(x) + cg(x).
Z Exemplo 4. Exemplos de F(X, E).
• Caso X = In temos En =
n∏
k=1
E.
• Caso X = N temos E∞ =
∞∏
k=1
E.
• Caso X = In× Im temos o espac¸o das matrizes de n linhas e m colunas com
elementos em E.
1.1.5 Propriedades alge´bricas ba´sicas do espac¸o vetorial.
b Propriedade 16 (Lei do corte para adic¸a˜o de vetores). Se w + u = w + v
enta˜o u = v.
ê Demonstrac¸a˜o.
u = u+ 0 = u+ (w−w) = (w+ u) −w = (w+ v) −w = v
logo u = v.
b Propriedade 17. Para qualquer vetor u vale 0.u = 0v.
ê Demonstrac¸a˜o.
0.u = (0+ 0)u = 0.u+ 0.u = 0.u+ 0v
pela lei do corte segue que 0.u = 0v.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 18
b Propriedade 18. Para qualquer c real , vale c.0v = 0v.
ê Demonstrac¸a˜o.
c.0v + c.0v = c(0v + 0v) = c(0v) = c(0v) + 0v
pela lei do corte segue que c.0v = 0v.
b Propriedade 19. Se au = 0v enta˜o a = 0 ou u = 0v.
ê Demonstrac¸a˜o. Usamos a contrapositiva a 6= 0 e u 6= 0v enta˜o a.u 6= 0v. Seja
a.u = t , como a 6= 0 existe a−1, daı´
a−1(au) = (a−1a)u = 1.u = u = a−1t
se t fosse nulo u tambe´m seria, o que contraria a hipo´tese.
b Propriedade 20 (Unicidade do vetor Nulo). Existe apenas um vetor nulo 0v
em um espac¸o vetorial.
ê Demonstrac¸a˜o. Supondo a existeˆncia de pelo menos dois, 0v e ov segue que
0v + ov = ov
0v + ov = 0v
logo ov = 0v.
b Propriedade 21 (Unicidade do vetor sime´trico). Dado v em um espac¸o
vetorial enta˜o existe apenas um sime´trico −v, tal que −v+ v = 0v.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha a existeˆncia de pelo menos dois sime´tricos −v e
−v ′, daı´
−v ′ + v = 0 = −v+ v
por lei do corte segue que −v ′ = −v
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 19
b Propriedade 22. Seja n natural, vale que
nv =
n∑
k=1
v.
ê Demonstrac¸a˜o.
nv = (
n∑
k=1
1)v = (
n∑
k=1
1v) = (
n∑
k=1
v).
b Propriedade 23. Sejam v e u na˜o nulos em V . u e´ mu´ltiplo de v ⇔ v e´
mu´ltiplo de u .
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que u seja mu´ltiplo de v enta˜o existe t 6= 0 tal que
u = tv daı´ multiplicando por 1
t
em ambos lados tem-se
1
t
u = v
e portanto v e´ mu´ltiplo de u .
b Propriedade 24. No Rn (xk) = t(yk) ⇔ xkyj = xjyk ∀ k, j.
ê Demonstrac¸a˜o. Se um dos vetores e´ nulo o outro tambe´m e´ daı´ o resultado
segue de maneira trivial. Supomos enta˜o que nenhum dos vetores e´ nulo .⇒). xk = tyk , yj = 1
t
xj daı´ xkyj = tyk
1
t
xj = ykxj.⇐ .) Existe yj 6= 0, multiplicamos (xk) por yj resultando em
yj(xk) = (yjxk) = (xjyk)xj(yk)⇒ (xk) = xj
yj
(yk)
como querı´amos demonstrar.
b Propriedade 25. Vale que (−1)v = −v, para qualquer vetor v ∈ V , espac¸o
vetorial , isto e´, o escalar −1 multiplicado por v e´ o vetor sime´trico de v.
ê Demonstrac¸a˜o. Prova tal identidade e´ equivalente a provar que (−1)v+v = 0,
pore´m 1.v = v e daı´ usando propriedades de multiplicac¸a˜o por escalar temos
(−1)v+ 1.v = (−1+ 1).v = 0.v = 0
isso implica o desejado.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 20
Z Exemplo 5. Seja V = Rn, com soma usual definida e o produto por escalar
real c, definido como
c(xk)
n
1 = (yk)
n
1
onde yk = cxk para um nu´mero finito (menor que n) de valores k e yk = tkxk (onde
tk 6= 0) caso contra´rio, enta˜o V na˜o e´ espac¸o vetorial pois deveria valer 0.v = 0v,
pore´m tomando v com todas coordenadas na˜o nulas o vetor resultante na˜o e´ nulo,
deveria ser por implicac¸a˜o de propriedades alge´bricas de espac¸o vetorial.
1.2 Subespac¸os vetoriais
m Definic¸a˜o 20 (Subespac¸os vetoriais). Dado um espac¸o vetorial V , um sub-
conjunto F de V , sera´ um subespac¸o vetorial de V se:
1. 0 ∈ F. F e´ na˜o vazio.
2. Se u e v ∈ F temos u+ v ∈ F. A adic¸a˜o e´ fechada.
3. Se v ∈ F e c ∈ R enta˜o cv ∈ F. O produto por escalar e´ fechado.
Podemos denotar que F e´ subespac¸o de V usando a notac¸a˜o F < V( V > F)
ou F ≤ V (V ≥ F), se quisermos deixar claro que F 6= V , podemos denotar F � V
(V 	 F), nesse caso F e´ dito ser espac¸o pro´prio.
A condic¸a˜o 0 ∈ F pode ser trocada por F e´ na˜o vazio, pois se 0 ∈ F, F e´ na˜o vazio,
se F e´ na˜o vazio existe a ∈ F, daı´ −a ∈ F e pela soma a− a = 0 ∈ F, outra maneira e´
que 0.a = 0 ∈ F.
b Propriedade 26. A = {0v} e´ um subespac¸o vetorial de V .
ê Demonstrac¸a˜o. Temos 0v ∈ A, se u e v sa˜o elementos de A enta˜o u = v = 0v
logo u+v = 0v . Se v ∈ A enta˜o v = 0v logo tomando c ∈ R segue c.v = c.0v = 0v ∈ A.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 21
b Propriedade 27. V e´ subespac¸o vetorial de V .
ê Demonstrac¸a˜o. 0v ∈ V , a soma e´ sempre fechada e o produto por escalar
tambe´m, por definic¸a˜o das operac¸o˜es.
m Definic¸a˜o 21 (Subespac¸os triviais). Dado um espac¸o vetorial V , os subespac¸os
{0} e V sa˜o chamados de subespac¸os triviais de V . Em especial {0} e´ chamado de
subespac¸o nulo de V .
b Propriedade 28. Um subconjunto A de V na˜o vazio e´ subespac¸o vetorial de
V ⇔ vale
c1w+ c2v ∈ A, ∀ w, v ∈ A, c1, c2 ∈ K.
O mesmo para c1w+ v.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇒) Se A e´ subespac¸o vetorial enta˜o vale tal propriedade, pois
soma e produto por constante sa˜o operac¸o˜es fechadas.⇐).
0 ∈ A, pois e´ na˜o vazio e vale 0w + 0v = 0 ∈ A, a soma de dois vetores tambe´m
pertence a A, basta tomar c1 = c2 = 1 e daı´ c + w ∈ A, o produto de um vetor por
escalar tambe´m pertence ao conjunto pois tomando c2 = 0 temos c1w ∈ A.
De maneira similar para expressa˜o do tipo c1w+ v. A na˜o vazio, existey ∈ A, daı´
(−1)y + y = 0v ∈ A, a soma e´ fechada, basta tomar c1 = 0, o produto por escalar e´
fechado, basta tomar y = 0.
1.2.1 Exemplos de subespac¸os vetoriais
m Definic¸a˜o 22 (Matriz sime´trica ). Uma matriz An×n e´ dita sime´trica se
a(i,j) = a(j,i) ∀ i, j, isto e´, vale A = AT .
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 22
Z Exemplo 6 (Matrizes sime´tricas). O conjunto das matrizes sime´tricas e´
subespac¸o vetorial do espac¸o das matrizes, pois a matriz nula e´ sime´trica, vale
ainda que se A e B sa˜o sime´trica enta˜o
C = c1(A) + c2B = {c1a(i,j) + c2b(i,j)︸ ︷︷ ︸
c(i,j)
} = {c1a(j,i) + c2b(j,i)︸ ︷︷ ︸
c(j,i)
}
logo temos que o conjunto das matrizes sime´tricas e´ um subespac¸o.
m Definic¸a˜o 23 (Matriz hermitiana). Uma matriz An×n com entradas em C e´
hermitiana ( tambe´m chamada de auto-adjunta) se vale
(a(i,j)) = (a(j,i)).
Z Exemplo 7. O conjunto das matrizes hermitianas n×n na˜o e´ um subespac¸o
do espac¸o de todas as matrizes n × n sobre C, pois a diagonal de uma matriz
hermitiana e´ formada por elementos reais e iA tem elemento complexo na diago-
nal, se a diagonal tiver algum elemento na˜o nulo. Pore´m o conjunto das matrizes
hermitianas e´ subespac¸o das matrizes n× n sobre R, pois
W = c1(A) + c2B = {c1a(i,j) + c2b(i,j)︸ ︷︷ ︸
c(i,j)
} = {c1a(j,i) + c2b(j,i)︸ ︷︷ ︸
c(j,i)
}
pois c1 e c2 sa˜o reais daı´ c1a(j,i)+c2b(j,i) = c1a(j,i) + c2b(j,i) = c(i,j). E o conjunto das
matrizes hermitianas na˜o e´ vazio pois a matriz nula e´ hermitiana.
m Definic¸a˜o 24 (Matriz triangular inferior). Uma matriz A = (ai,j) ∈ M(n×n)
tais que a(i,j) = 0 quando i < j e´ chamada de triangular inferior, ela tem todos
elementos "acima"da diagonal nulos.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 23

a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
 =

a1,1 0 0
a2,1 a2,2 0
a3,1 a3,2 a3,3

m Definic¸a˜o 25 (Matriz triangular superior). Uma matriz A = (ai,j) ∈M(n×n)
tais que a(i,j) = 0 quando i > j e´ chamada de triangular inferior, ela tem todos
elementos "abaixo"da diagonal nulos.

a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3
a3,1 a3,2 a3,3
 =

a1,1 a1,2 a1,3
0 a2,2 a2,3
0 0 a3,3

Z Exemplo 8. O subconjunto das matrizes triangulares superiores e inferiores
e´ um subespac¸o das matrizes n × n, pois a matriz nula e´ inferior e superior e
dadas duas matrizes superiores (superiores) A e B e uma constante c, temos que
cA+ B e´ triangular inferior ( superior), pois
cA+ B = C = {cai,j + bi,j} = {ci,j}
que continua tendo entradas nulas para i < j pois soma de elementos nulos sa˜o
nulos e produto por constante tambe´m (mesmo para i > j. )
Toda matriz n×n pode ser escrita como soma de uma matriz triangular inferior
com uma matriz triangular superior. Dada uma matriz A = {ai,j} podemos escrever
A = B+ C = {bi,j + ci,j}
definindo bi,j = 0 se i > j elementos de uma matriz triangular superior e bi,j = ai,j
se i ≤ j, agora os elementos da matriz triangular inferior, ci,j = 0 se i ≤ j e
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 24
ci,j = ai,j caso i > j, resumindo
• i ≤ j , bi,j = ai,j, ci,j = 0.
• i > j, bi,j = 0 e ci,j = ai,j.
A soma desses espac¸os na˜o e´ direta, pois toda matriz com elementos na˜o nulos
na diagonal e´ triangular superior e inferior, isto e´, A = {ai,j} com ai,j = 0 se
i 6= j e ai,j = 1 se i = j, isto e´, ai,j = δi,j Logo na˜o vale Mn×n = TS ⊕ TI, onde
Ts e´ o conjunto das matrizes triangulares superiores e TI o conjunto das matrizes
triangulares inferiores, pore´m vale Mn×n = TS + TI, TS ∩ Ts 6= {0}, TS ∩ Ts = {{δi,j}}.
Uma base para tal espac¸o pode ser tomada como o conjunto das matrizes
triangulares que possuem 1 em apenas uma entrada da matriz e sua quantidade e´
n(n+ 1)
2
logo o espac¸o possui essa dimensa˜o.
Z Exemplo 9. (Espac¸o das func¸o˜es polinoˆmiais) Considerando polinoˆmio como
func¸a˜o (junto com o elemento neutro da adic¸a˜o 0), temos o conjunto dos po-
linoˆmios F = K[x] (coeficientes em um corpo K), como um subespac¸o vetorial do
espac¸o das func¸o˜es, pois a func¸a˜o nula 0 ∈ F. A soma de dois polinoˆmios e´ um
polinoˆmio e o produto de um polinoˆmio por um escalar tambe´m e´ um polinoˆmio.
Z Exemplo 10. (Espac¸o das func¸o˜es polinoˆmiais de grau ate´ n.) Considerando
polinoˆmio como func¸a˜o (junto com o elemento neutro da adic¸a˜o 0), temos o
conjunto dos polinoˆmios de grau ate´ n, F = K[x]n com coeficientes em um corpo
K, como um subespac¸o vetorial do espac¸o das func¸o˜es, pois a func¸a˜o nula 0 ∈ F.
A soma de dois polinoˆmios e´ um polinoˆmio cujo grau na˜o ultrapassa n o produto
de um polinoˆmio por um nu´mero real tambe´m e´ um polinoˆmio de grau ate´ n ( ou
o elemento nulo).
Se toma´ssemos o conjunto F dos polinoˆmios de grau exatamente n, na˜o
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 25
terı´amos subespac¸o vetorial, pois a adic¸a˜o na˜o e´ fechada, como por exemplo
xn + (−xn + 1) = 1
o resultado na˜o e´ um polinoˆmio de grau n.
Z Exemplo 11. Seja V o conjunto das func¸o˜es f : R→ C tal que f(−t) = f(t),
enta˜o V e´ subespac¸o das func¸o˜es de de R em C, sobre o corpo R.
A func¸a˜o nula satisfaz O(−t) = 0(t), agora seja h(t) = c1f(t) + c2g(t) enta˜o
h(−t) = c1f(−t) + c2g(−t) = c1f(t) + c2g(t) = c1f(t) + c2g(t) = h(t).
Como exemplo, podemos dar a func¸a˜o f com f(t) = a + ti. onde a ∈ R, pois
f(−t) = a− ti = a+ ti = f(t).
Z Exemplo 12. Seja P∞K o conjunto das sequeˆncias de K∞ que possuem um
nu´mero finito de elementos na˜o nulos, enta˜o P∞K e´ subespac¸o de K∞, pois a soma
de duas sequeˆncias com nu´mero finito de elementos na˜o nulos e´ uma sequeˆncia
com nu´mero finito de elementos na˜o nulos, a sequeˆncia nula possui um nu´mero
finito de elementos na˜o nulos ( zero elementos na˜o nulos), e o produto de um
escalar por uma sequeˆncia de elementos na˜o nulos gera uma sequeˆncia do mesmo
tipo. Podemos pensar na inclusa˜o
Kn P∞K K∞ ∀ n ∈ N
se consideramos a identificac¸a˜o
(x1, · · · xn) := (x1, · · · xn,0, · · · ,0, · · · )
com todos elementos nulos com ı´ndices k, tal que k > n.
Usamos a notac¸a˜o P∞K , pois podemos associar elementos de tal conjunto a
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 26
polinoˆmios com coeficientes em K (daı´ a letra P), da seguinte maneira
(x1, · · · xn+1,0, · · · ,0, · · · ) =:
n∑
k=0
xk+1X
k
onde X e´ uma indeterminada.
As sequeˆncias que possuem um u´nico termo na˜o nulo constituem um conjunto
de geradores para P∞K , pois uma sequeˆncia do conjunto e´ da forma (x1, · · · xn+1,0, · · · ,0, · · · )
para algum n, daı´ podemos ver que escrevemos um elemento qualquer como
combinac¸a˜o linear das sequeˆncias com apenas um termo na˜o nulo, logo tal con-
junto gera o espac¸o das sequeˆncias P∞K .
1.2.2 Espac¸o das func¸o˜es contı´nuas
Z Exemplo 13 (Espac¸o das func¸o˜es contı´nuas). O conjunto das func¸o˜es
contı´nuas de C em C ( ou de R em R), e´ um subespac¸o vetorial do conjunto
das func¸o˜es de C em C, pois a func¸a˜o nula e´ contı´nua, a soma de duas func¸o˜es
contı´nuas e´ contı´nua e o produto de duas func¸o˜es contı´nuas tambe´m e´ contı´nua.
O mesmo vale se trocamos contı´nua por integra´vel ou deriva´vel.
Z Exemplo 14. O conjunto de todas func¸o˜es de perı´odo s e´ subespac¸o do
espac¸o das func¸o˜es, pois a func¸a˜o nula pode ser considerada como de perı´odo s,
se temos duas func¸o˜es f, g de perı´odo s enta˜o c1f+ c2g tambe´m possui perı´odo s.
Z Exemplo 15. Os subconjuntos de elementos de Kn, K∞ ou P∞K que possuem
pelo menos um certo conjunto de coordenadas nulas sa˜o subespac¸os vetoriais,
pois o elemento neutro da adic¸a˜o pertence a tais conjuntos e dados elementos w
e v neles temos que
c1w+ c2v
continua dentro do conjunto, pois o produto por constante e soma , coordenada
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 27
a coordenada, na˜o transforma uma entrada nula em na˜o nula.
Da mesma maneirao subconjunto de Kn que possui um nu´mero s de coorde-
nadas fixas iguais e´ um subespac¸o de Kn, pois o elemento nulo esta´ no espac¸o a
multiplicac¸a˜o por constante e adic¸a˜o na˜o alteram essa propriedade. Pore´m veto-
res de Kn que possuem exatamente s coordenadas iguais na˜o e´ subespac¸o, pois a
adic¸a˜o na˜o e´ fechada, considere por exemplo (1, 2, 1, 2) e (3,0,0,4) ambos possuem
dois elementos iguais, pore´m sua soma e´
(4, 2, 1, 6).
Z Exemplo 16 (Espac¸o de sequeˆncias recorrentes). O conjunto das sequeˆncias
(xn) tais que
p∑
k=1
ckxn+k = 0 ∀ n ∈ N
e´ subespac¸o do espac¸o das sequeˆncias, pois a sequeˆncia nula satisfaz e dadas (xn)
e (yn) nesse espac¸o, temos que (cxn+yn) tambe´m esta´ no espac¸o pois, substituindo
na relac¸a˜o do lado esquerdo acima temos
c
p∑
k=1
ckxn+k +
p∑
k=1
ckyn+k = 0 ∀ n ∈ N.
Z Exemplo 17 (Espac¸o de equac¸o˜es diferenciais). o conjunto das func¸o˜es C∞
tais que
p∑
k=1
ckD
kf(x) = 0 ∀ x ∈ R
e´ subespac¸o das func¸o˜es, pois a func¸a˜o nula pertence a tal conjunto e se temos
f e g no conjunto enta˜o tambe´m pertence ao conjunto a func¸a˜o cf + g, pois
substituindo na relac¸a˜o do lado esquerdo acima temos
c
p∑
k=1
ckD
kf(x) +
p∑
k=1
ckD
kg(x) = 0 ∀ x ∈ R.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 28
Z Exemplo 18. O conjunto dos polino´mios de grau par ∪{0} na˜o e´ subespac¸o
vetorial do espac¸o dos polinoˆmio, pois x2 + x e´ de grau par e tambe´m −x2, pore´m
a soma resulta em x, que e´ de grau ı´mpar.
Pore´m o conjunto dos polinoˆmios em que todos os monoˆmios tomados sepa-
radamente possuem grau par ou ı´mpar ∪{0} e´ subespac¸o vetorial dos polinoˆmios,
pois a soma
c1P(x) + c2G(x)
continua tendo mesma propriedade.
Z Exemplo 19. Sejam X, Y ⊂ R
F = {f : R→ R | f(x) = 0∀ x ∈ X}
G = {g : R→ R | g(x) = 0∀ x ∈ Y}.
F e G sa˜o subespac¸os vetoriais de V = F(R,R), basta mostrar que um desses
conjuntos e´ subespac¸o. A func¸a˜o nula se anula em X, logo pertence a F. Dadas
duas func¸o˜es f e g de F, enta˜o h = cf+ g ∈ F pois dado x ∈ X arbitra´rio temos
h(x) = cf(x) + g(x) = 0.
1. Vale que V = F+G⇔ X ∩ Y = ∅.
2. F ∩G = {0}⇔ X ∪ X = R.
3.
E = F⊕G⇔ Y = R \ X⇔ .
1. ⇒).
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 29
Suponha por absurdo que V = F + G e existe a ∈ X ∩ Y, e´ claro que existe
uma func¸a˜o h tal que h(a) = 1, pore´m h = f + g e daı´ h(a) = 0 o que e´
absurdo.
⇐).
Se X ∩ Y = ∅, seja h : R→ R, definimos B = R \ (X ∪ y), ∃F ∈ F com
f(x) =

h(x), x ∈ Y
h(x)
2
, x ∈ B
0, x ∈ X
Da mesma maneira existe g ∈ G com
g(x) =

h(x), x ∈ X
h(x)
2
, x ∈ B
0, x ∈ Y
Vale h(x) = f(x) + g(x)∀ x ∈ R. Se B e´ vazio ignoramos a definic¸a˜o nesse
conjunto.
2. ⇐). Provamos a contrapositiva. Suponha f 6= 0 ∈ F∩G, logo existe x ∈ R tal
que f(x) 6= 0, como f ∈ F ∩G, logo x /∈ X, Y e daı´ X /∈ Y 6= R.
→). Provamos novamente a contrapositiva. Tomamos a ∈ R \ (X ∪ Y) daı´
a /∈ X, Y, existem f ∈ F e g ∈ G tal que f(a) 6= 0 e g(a) 6= 0, definimos
h(x) = f(x).g(x), vale h(0) = 0 se x ∈ X ou Y logo h ∈ F ∩ G e ale´m disso
h(a) 6= 0 logo F ∩G 6= {0}.
3.
E = F⊕G⇔ Y = R \ X⇔
pelo uso dos itens anteriores
E = F⊕G⇔ Y = E = F+G e F∩G = {0}⇔ X∩ Y = ∅ e X∪ Y = R⇔ R \X⇔
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 30
Z Exemplo 20. O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenadas formam
progressa˜o aritme´tica formam um subespac¸o de Rn, pois, dados dois elementos
(xk)
n
1 e (yk)n1 temos que a sequeˆncia nula e´ P.A e
(cxk + yk)
n
1 = (zk)
n
1
tem termos em progressa˜o aritme´tica pois zn+1 = cxn+1+yn+1 = cxn+yn+ crx + ry︸ ︷︷ ︸
r
com isso chegamos a conclusa˜o que o conjunto dos vetores de Rn cujas coorde-
nadas formam progressa˜o aritme´tica de raza˜o fixada na˜o e´ subespac¸o de Rn, pois
se na˜o toda P.A teria que ter a raza˜o nula como do vetor zero.
O conjunto dos vetores de Rn cujas coordenada formam progressa˜o aritme´tica,
em geral na˜o formam subespac¸o de Rn, pois
(1, 1, 1) + (2,4, 8) = (3, 5, 9)
que na˜o e´ uma PG, pois 5
3
6= 9
5
, se consideramos o conjunto de vetores que
formam PG de raza˜o fixada tambe´m na˜o temos subespac¸o vetorial por causa do
vetor nulo.
Z Exemplo 21. O conjunto A das func¸o˜es pares e o conjunto B das func¸o˜es
ı´mpares sa˜o subespac¸os vetoriais de F(V, E) e
F(V, E) = A⊕ B.
Onde V e E sa˜o espac¸os vetoriais, f(−x) = f(x) ∀ x ∈ V se f e´ par, se f e´ ı´mpar
f(−x) = −f(x).
A func¸a˜o nula O(x) = 0∀ x e par e ı´mpar. Sendo f, g pares enta˜o h com
h(x) = cf(x) + g(x), c ∈ K corpo de escalares e´ par pois
h(−x) = cf(−x) + g(−x) = cf(x) + g(x).
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 31
Se f e g sa˜o ı´mpares enta˜o cf+ g tambe´m e´ ı´mpar pois
h(−x) = cf(−x) + g(−x) = −cf(x) − g(x) = −h(x).
A intersec¸a˜o de A e B possui apenas a func¸a˜o nula, pois f(−x) = −f(x) = f(x),
por f ser par e ı´mpar, logo 2f(x) = 0, f(x) = 0, ∀ x ∈ V. Ale´m disso toda func¸a˜o
se escreve como soma de uma func¸a˜o ı´mpar e uma func¸a˜o par, pois dada uma
func¸a˜o g, definimos
I(x) =
g(x) − g(−x)
2
que e´ ı´mpar, pois I(−x) = g(−x) − g(x)
2
= −
g(x) − g(−x)
2
e definindo
P(x) =
g(x) + g(−x)
2
= P(−x)
logo P e´ par, ale´m disso a soma das duas e´ g.
Um polinoˆmio e´ uma func¸a˜o par ⇔ e´ da forma n∑
k=1
a2kx
2k, para ı´mpar valendo
algo similar
n∑
k=1
a2k+1x
2k+1.
Vamos mostrar que os ı´ndices ı´mpar de um polinoˆmio func¸a˜o par sa˜o nulos
P(x) =
m∑
k=0
akx
k = P(−x) =
m∑
k=0
ak(−1)kxk
os coeficientes devem ser iguais enta˜o ak = −ak com k ı´mpar e daı´ ak = 0.
Similarmente para ı´mpares
P(x) =
m∑
k=0
akx
k = P(−x) =
m∑
k=0
ak(−1)k+1xk
logo para ı´ndices pares
ak = −ak
portanto se anulam.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 32
Z Exemplo 22. Para n fixado, seja Qn o conjunto dos polinoˆmios que sa˜o
divisı´veis por xn. Qn e´ um subespac¸o vetorial do espac¸o dos polinoˆmios P. Temos
que Q e´ na˜o vazio, sendo f, g ∈ Qn, c ∈ R enta˜o f(x) = xnh(x), g(x) = xnL(x),
onde h(x) e L(x) sa˜o polinoˆmios, por divisa˜o euclidiana, logo
cf(x) + g(x) = xn(ch(x) + L(x)) ∈ Qn
pois ch(x) + L(x) e´ polinoˆmio.
Dado p(x) ∈ P qualquer enta˜o p(x) = xnq(x) + r(x) onde ∂r(x) < n, por isso
P = F⊕Qn, onde F e´ o espac¸o dos polinoˆmios de grau ate´ n− 1.
Z Exemplo 23. O conjunto das func¸o˜es K vezes deriva´veis e´ subespac¸o das
func¸o˜es de R em R. Pois 0 = 0x e´ k- vezes deriva´vel, se f e g sa˜o deriva´veis e
c ∈ R enta˜o cf + g tambe´m e´ k-vezes deriva´vel. O mesmo para as func¸o˜es Ck e
C∞.
Z Exemplo 24. Seja E = F(R,R), fixada g : R → R, o conjunto F de todas as
func¸o˜es f : R→ R tais que f(g(x)) = f(x) e´ um subespac¸o vetorial de E.
Pois O(g(x)) = 0. Sejam f, h ∈ F e c ∈ R enta˜o
cf+ h(g(x)) = cf(g(x)) + h(g(x)) = cf(x) + h(x)
enta˜o cf+ h ∈ F.
Se tomamos g(x) = x+ a, F e´ o conjunto das func¸o˜es perio´dicas de perı´odo a.
Se tive´ssemos g(f(x)) = f(x), seria necessa´rio que g(0) = 0 e g(cf(x) +h(x)) =
cf(x) + h(x), logo g(x) = x. Se F = {0} enta˜o g(x) = ax. Para que f(g(x)) = g(x),
tais f formassem subespac¸o seria necessa´rio que 0(g(x)) = g(x) logo g e´ nula e
daı´ temos que ter tambe´m f(0) = 0.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 33
1.2.3 Func¸o˜es limitadas
Z Exemplo 25. O conjunto L as func¸o˜es limitadas de F(A,R) e´ um subespac¸o
vetorial de F(A,R), no lugar de R podemos considerar um corpo qualquer K. Tal
conjunto de func¸o˜es limitadas tambe´m e´ denotado por B(A). A func¸a˜o nula e´
limitada. Se f e g sa˜o limitadas e c ∈ R enta˜o cf+ g e´ limitada, pois |f(x)| ≤M1,
|g(x)| ≤M2 ∀ x ∈ A logo
|cf(x) + g(x)| ≤ |c||f(x)|+ |g(x)| ≤ |c|M1 +M2.
Tal espac¸o e´ gerado pelas func¸o˜es limitadas positivas. Seja f ∈ L, existe t tal
que f(x) + t > 0 ∀ x ∈ A pois f e´ limitada, t > 0 logo
f(x) = (f(x) + t) − t
e´ combinac¸a˜o linearde duas func¸o˜es positivas e limitadas h(x) = f(x) + t e
v(v) = t.
1.2.4 Equac¸a˜o cartesiana de espac¸os vetoriais
Z Exemplo 26. Ache a equac¸a˜o cartesiana do espac¸o gerado por (0, 1,−2) e
(1, 1, 1) em R2.
Temos que o espac¸o gerado e´ combinac¸a˜o linear desses vetores
(x, y, z) = c1(0, 1,−2) + c2(1, 1, 1)
logo
x = c2, y = c1 + c2, z = −2c1 + c2
logo y−x = c1 substituindo em z temos z = −2(y−x)+x = −2y+2x+x = 3x−2y
−3x+ z+ 2y = 0
e´ a equac¸a˜o cartesiana do espac¸o.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 34
1.2.5 Reta que passa pela origem
m Definic¸a˜o 26 (Reta que passa pela origem). Dado um vetor u 6= 0v, o
conjunto
Ru = {αu | α ∈ R}
e´ chamado de reta que passa pela origem e conte´m u.
b Propriedade 29. A reta que passa pela origem e conte´m u e´ um subespac¸o
vetorial de V .
ê Demonstrac¸a˜o. 0v ∈ Ru pois tomamos α = 0 e vale α.v = 0v ∈ Ru. Dados
dois vetores w e v ∈ Ru, implica que existem constantes reais α e β tais que α.u = w
e β.u = v , logo
w+ v = α.u+ β.u = (α+ β)︸ ︷︷ ︸
=t∈R
u = t.u ∈ Ru
logo a soma e´ fechada.
A multiplicac¸a˜o por escalar tambe´m e´ fechado pois dado w ∈ Ru, existe α ∈ R tal
que α.u = w, tomando um escalar qualquer c, tem-se c.w = c(αu) = (c.α)︸ ︷︷ ︸
=t
u = t.u ∈
Ru, logo a multiplicac¸a˜o por escalar e´ fechada, enta˜o o conjunto e´ um subespac¸o
vetorial de V .
m Definic¸a˜o 27 (Segmento de reta). Sejam u, v ∈ E. o segmento de reta de
extremos u e v e´ o conjunto
[u, v] = {(1− t)u+ tv, t ∈ [0, 1]}.
1.2.6 Conjuntos Convexos
m Definic¸a˜o 28 (Conjunto convexo). Um conjunto C ⊂ E e´ dito convexo,
quando ∀ u, v ∈ C temos [u, v] ⊂ C. Em um conjunto convexo, o segmento de
reta que liga quaisquer dois pontos de C esta´ contido em C.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 35
1.2.7 O vazio e´ um conjunto convexo.
b Propriedade 30. O vazio e´ um conjunto convexo.
ê Demonstrac¸a˜o. Caso contra´rio haveriam x, y ∈ ∅ tal que para algum t ∈ [0, 1]
terı´amos tx+ (1− t)y /∈ ∅, pore´m na˜o temos elementos em x, y ∈ ∅.
1.2.8 A intersec¸a˜o arbitra´ria de convexos e´ um convexo.
b Propriedade 31. A intersec¸a˜o arbitra´ria de convexos e´ um convexo.
ê Demonstrac¸a˜o. Se a intersec¸a˜o e´ vazia enta˜o ela e´ convexa. Caso contra´rio,
existem x, y elementos da intersec¸a˜o dos conjuntos convexos (Ck)k∈I. Daı´ x, y ∈
Ck ∀ k ∈ I. Logo tx + (1 − t)x ∈ Ck ∀ k ∈ I e portanto sa˜o elementos da intersec¸a˜o
dos conjuntos e a intersec¸a˜o desses conjuntos e´ um conjunto convexo.
1.2.9 Se F e´ convexo, enta˜o F e´ convexo.
b Propriedade 32. Se F e´ convexo, enta˜o F e´ convexo.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y ∈ F. Vamos mostrar que z = xt+(1−t)y ∈ F, ∀ t ∈
[0, 1]. Como x, y ∈ F, existem sequeˆncias (xn), (yn) ∈ F, tais que xn → x, yn → y
. zn = xn + t + (1 − t)yn e´ uma sequeˆncia em F, pois F e´ convexo, e tal sequeˆncia
converge para xt + (1 − t)y, logo z e´ limite de uma sequeˆncia de elementos de F, e
daı´ z ∈ F, portanto F e´ convexo.
1.2.10 Um conjunto Unita´rio e´ Convexo
b Propriedade 33. Um conjunto unita´rio, {x0} ∈ V , e´ convexo.
ê Demonstrac¸a˜o. Dados x, y ∈ {x0}, x = y = x0, o elemento x0t + (1 − t)x0 =
x0 ∈ {x0} ∀ t, logo o conjunto e´ convexo.
b Propriedade 34. Sejam A e B subconjuntos convexos de um espac¸o vetorial
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 36
V , enta˜o C = A− B := {a− b | a ∈ A, b ∈ B}, e´ convexo.
ê Demonstrac¸a˜o. C e´ convexo, pois sejam x1 e x2 em C, queremos mostrar que
m = x1t+ (1− t)x2 ∈ C, t ∈ [0, 1].
Temos que x1 = a1 − b1, x2 = a2 − b2, a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B, A e B convexos. Temos
que
m = ta1 − tb1 + (1− t)(a2 − b2) =
= ta1 + (1− t)a2︸ ︷︷ ︸
∈A
− [tb1 + (1− t)b2]︸ ︷︷ ︸
∈B
= a3 − b3,
onde usamos que A e B sa˜o convexos, portanto C tambe´m e´ convexo.
b Propriedade 35. Sejam A e B subconjuntos convexos de um espac¸o vetorial
V , enta˜o C = A+ B := {a+ b | a ∈ A, b ∈ B}, e´ convexo.
ê Demonstrac¸a˜o. C e´ convexo, pois sejam x1 e x2 em C, queremos mostrar que
m = x1t+ (1− t)x2 ∈ C, t ∈ [0, 1].
Temos que x1 = a1 + b1, x2 = a2 + b2, a1, a2 ∈ A, b1, b2 ∈ B, A e B convexos. Temos
que
m = ta1 + tb1 + (1− t)(a2 + b2) =
= ta1 + (1− t)a2︸ ︷︷ ︸
∈A
+ [tb1 + (1− t)b2]︸ ︷︷ ︸
∈B
= a3 + b3,
onde usamos que A e B sa˜o convexos, portanto C tambe´m e´ convexo.
b Propriedade 36. Uma bola em um espac¸o me´trico normado e´ um conjunto
convexo. Uma bola B(x0, r) e´ o conjunto
B(x0, r) := {x ∈ V | ||x− x0|| ≤ r}.
ê Demonstrac¸a˜o. Dados x1, x2 ∈ B(x0, r), queremos mostrar que x1t+x2(1−t) ∈
B(x0, r) para t ∈ [0, 1]. Temos que
||x1t+ x2(1− t) − x0|| ≤ t||x1 − x0||+ ||x2 − x0||(1− t) ≤ tr+ (1− t)r = r,
logo x1t+ x2(1− t) ∈ B(x0, r) e provamos a convexidade.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 37
b Propriedade 37. Seja cada xk ⊂ E e´ convexo, com k ∈ A uma famı´lia
qualquer de ı´ndices enta˜o Y =
⋂
k∈A
xk e´ convexo, pois dados u, v ∈ Y implica que
u, v ∈ xk, ∀ k e como cada xk e´ convexo segue que [u, v] ∈ xk que por sua vez
implica [u, v] ∈ Y.
m Definic¸a˜o 29 (Hiperplano). Um Hiperplano e´ o conjunto dos pontos (xk)n1
que satisfaz
n∑
k=1
akxk = b
onde pelo menos um dos ak e´ na˜o nulo .
b Propriedade 38. Qualquer Hiperplano separa Rn em dois subconjuntos
disjuntos convexos I e II, chamados semi-espac¸os, tais que se A ∈ I e B ∈ II o
segmento AB intercepta o hiperplano em um ponto.
ê Demonstrac¸a˜o.
Seja o hiperplano com equac¸a˜o
n∑
k=1
akxk = b, ele separa o espac¸o em dois semi-
espac¸os I, dos pontos tais que
n∑
k=1
akxk > b e II dos pontos tais que
n∑
k=1
akxk < b.
Sejam dois pontos A e B em I, o segmento que os une tem equac¸a˜o A+t(B−A) com
t ∈ [0, 1], vamos mostrar que todos esses pontos pertencem a` I . A = (xk)n1 , B = (yk)n1 ,
logo os pontos desse segmento sa˜o da forma (xk + t(yk − xk))n1 = (xk(1 − t) + tyk)n1
aplicando a soma tem-se
(1− t)
n∑
k=1
akxk + t
n∑
k=1
akyk > (1− t)b+ tb = b
como querı´amos demonstrar, o caso de pontos em II e´ ana´logo .
Sejam agora A em I e B em II, o segmento que une os pontos tem equac¸a˜o
A+ t(B−A), aplicando a soma
f(t) = (1− t)
n∑
k=1
akxk + t
n∑
k=1
akyk
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 38
f(0) =
n∑
k=1
akxk > b , f(1) =
n∑
k=1
akyk < b, logo por continuidade existe um u´nico t
entre 0 e 1 tal que f(t) = b, tal valor e´ u´nico, por unicidade de soluc¸a˜o de equac¸a˜o
linear .
b Propriedade 39. Os conjuntos dos pontos do Y = {(xk)n1 ∈ Rn |
n∑
k=1
akxk ≥ b}
e X = {(xk)n1 ∈ Rn |
n∑
k=1
akxk ≤ b} sa˜o convexos.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam dois pontos A e B em Y, o segmento que os une
tem equac¸a˜o A + t(B − A) com t ∈ [0, 1], vamos mostrar que todos esses pontos
pertencem a` Y . A = (xk)n1 , B = (yk)n1 , logo os pontos desse segmento sa˜o da forma
(xk + t(yk − xk))
n
1 = (xk(1− t) + tyk)n1 aplicando a soma tem-se
(1− t)
n∑
k=1
akxk + t
n∑
k=1
akyk ≥ (1− t)b+ tb = b.
m Definic¸a˜o 30 (Combinac¸a˜o convexa). Dados (vk)n1 vetores e nu´meros reais
(tk)
n
1 na˜o-negativos com
n∑
k=1
tk = 1 enta˜o
n∑
k=1
tkvk
e´ dita ser uma combinac¸a˜o convexa dos vetores (vk)n1
1.2.11 Convexo e combinac¸a˜o convexa
b Propriedade 40. Se X ⊂ E e´ convexo enta˜o toda combinac¸a˜o convexa de
vetores (vk)n1 em X ainda pertence a X.
ê Demonstrac¸a˜o.
Primeiro vamos fazer o caso n = 3 a partir do caso n = 2, para deixar mais claro
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 39
o argumento geral. Considere t1 + t2 + t3 = 1, logo t1 + t2 = 1− t3, podemos escrever
t1v1 + t2v2 + t3v3 = (1− t3)
w︷ ︸︸ ︷
(t1v1 + t2v2)
t1 + t2
+t3v3,
temos que w ∈ X, pois X e´ convexo e (1 − t3)w + t3v3 ∈ X tambe´m por convexidade,
o que demonstra o resultado. Agora provamos o caso geral.
Provamos por induc¸a˜o sobre o nu´mero de vetores n. Se n = 1 o resultado vale
pois v1 ∈ X, suponha validade para n, vamos provar que vale para n+ 1. Sejam enta˜o
(tk)
n+11 com
n+1∑
k=1
tk = 1 enta˜o
n∑
k=1
tk = 1− tn+1 e escrevemos
n+1∑
k=1
tkvk =
n∑
k=1
tkvk + tn+1vn+1 = (1− tn+1)
n∑
k=1
tkvk
n∑
s=1
ts
+ tn+1vn+1
por hipo´tese de induc¸a˜o
n∑
k=1
tkvk
n∑
s=1
ts
= Y pertence a` X enta˜o a soma acima tambe´m
pertence por definic¸a˜o de conjunto convexo.
b Propriedade 41. O conjunto dos pontos (zk)n1 do Rn tais que
n∑
k=1
x2k ≤ r e´
convexo.
ê Demonstrac¸a˜o. Tomamos dois pontos nesse conjunto (xk) e (yk), daı´ (txk +
(1− t)yk) deve pertencer ao conjunto e isso vale pois
n∑
k=1
t2x2k+
n∑
k=1
(1−t)2y2k+
n∑
k=1
2t(1−t)xkyk ≤ rt2+r2(1−t)t+r(1−t)2 = r(t+[1−t])2 = r
onde usamos a desigualdade de Cauchy-Schwarz
n∑
k=1
xkyk ≤
√√√√ n∑
k=1
x2k
n∑
k=1
y2k ≤
√
r.r
m Definic¸a˜o 31 (Cone). Um subconjunto C de V e´ chamado cone quando
∀ v ∈ C e ∀ t > 0 tem-se tv ∈ C, isto e´, o mu´ltiplo de qualquer elemento de C
por qualquer constante real positiva ainda pertence a C, ou o produto por escalar
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 40
positivo e´ fechado.
Z Exemplo 27. • C = {0} e´ um cone pois t0 = 0.
• O conjunto dos vetores de Rn que possuem exatamente t coordendas positi-
vas e´ um cone. pois seja o vetor (vk)n1 enta˜o (tvk)n1 ainda possui t coorde-
nadas positivas.
• O conjunto das func¸o˜es f : X → R que assume valor negativo em todos os
pontos de Y ⊂ X e´ um cone em f(X,R) pois dado x ∈ Y, f(x) < 0 tem-se
tf(x) < 0. O mesmo para func¸o˜es que assumem valores positivos.
b Propriedade 42. Um cone C e´ convexo ⇔ u, v ∈ C⇒ u+ v ∈ C.
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Suponha o cone convexo, u ′, v ′ ∈ C enta˜o tu ′ + (1 − t)v ′ ∈ C com 0 < t < 1.
Podemos tomar u ′ = t−1u e v ′ = (1− t)−1v daı´ u+ v ∈ C.⇐). Suponha que u ′, v ′ ∈ C ⇒ u ′ + v ′ ∈ C, vamos mostrar que C e´ convexo.
Podemos tomar u ′ = tu e v ′ = (1 − t)v que pertence ao cone por definic¸a˜o enta˜o
(1− t)v+ tu ∈ C, o cone e´ convexo.
b Propriedade 43. Seja C um cone convexo enta˜o S(C) e´ o conjunto das
diferenc¸as u− v onde u, v ∈ C.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja w ∈ S(C) enta˜o w =
n∑
k=1
ckvk, separamos a soma em
duas partes, A com ı´ndices dos termos de coeficientes na˜o negativos e B com ı´ndices
dos termos de coeficientes negativos (que podem ser eventualmente vazios).
w =
∑
k∈A
ckvk +
∑
k∈B
ckvk =
∑
k∈A
ckvk︸ ︷︷ ︸
u∈C
−
∑
k∈B
(−ck)vk︸ ︷︷ ︸
v∈C
= u− v
u e v (caso na˜o nulos)sa˜o elementos de C pois C e´ convexo soma de termos com
coeficientes positivos esta´ em C. Caso u e v sejam nulos, escrevemos w = u ′ − u ′,
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 41
onde u ′ ∈ C. Caso u seja nulo e v na˜o, escrevemos w = v−v−v = v−2v e finalmente
caso v seja nulo e u na˜o nulo
w = u+ u− u = 2u− u
com isso terminamos.
m Definic¸a˜o 32 (Parte positiva). Seja f(x) : A → R definimos a parte positiva
da func¸a˜o como
f+(x) =
 f(x) se f(x) ≥ 00 se f(x) < 0.
A parte positiva assume sempre valores na˜o-negativos.
m Definic¸a˜o 33 (Parte negativa). Seja f(x) : A→ R definimos a parte negativa
da func¸a˜o como
f−(x) =
 0 se f(x) > 0−f(x) se f(x) ≤ 0.
A parte negativa assume sempre valores na˜o-negativos.
b Propriedade 44.
f(x) = f+(x) − f−(x).
ê Demonstrac¸a˜o. Se existe x tal que f(x) = 0, enta˜o f+(x) = 0 = f−(x) e vale
f(x) = 0 = 0− 0.
Se existe x tal que f(x) = a > 0, enta˜o f+(x) = a e f−(x) = 0 daı´
f(x) = a = f+(x) − f−(x) = a− 0 = a.
E por u´ltimo, se existe x tal que f(x) = b < 0, enta˜o f+(x) = 0 e f−(x) = −b daı´
f(x) = b = f+(x) − f−(x) = 0− (−b) = b.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 42
$ Corola´rio 2. O conjunto das func¸o˜es que so´ assume valores positivos e´ um
conjunto de geradores de F(X,R) qualquer func¸a˜o f pode ser escrita como
f(x) = f+(x) − f−(x) = f(x) = [f+(x) + 1] − [f−(x) + 1]
onde as func¸o˜es marcadas sa˜o positivas .
m Definic¸a˜o 34 (Conjunto sime´trico). X ⊂ V e´ sime´trico se v ∈ X⇒ −v ∈ X.
b Propriedade 45. Se C 6= ∅ e´ cone convexo sime´trico enta˜o C < V. V espac¸o
vetorial real.
ê Demonstrac¸a˜o. Sendo v ∈ C, vale que tv ∈ C, t > 0 por simetria −tv ∈ C,
tv − tv = 0 ∈ V por conexidade, logo tv ∈ C para todo t real, por conexidade dados
u, v ∈ C temos u+ v ∈ C, logo C < V
Z Exemplo 28. C = {t(1, 1), t > 0} e´ um cone na˜o sime´trico. C = {t(1, 1), t 6= 0}
e´ sime´trico na˜o convexo, na˜o sendo convexo pois na˜o possui o ponto (0,0).
b Propriedade 46. A intersec¸a˜o e unia˜o de uma famı´lia qualquer de cones e´
um cone.
ê Demonstrac¸a˜o.
• A =
⋃
k∈B
Ck e´ cone, pois dado v ∈ A enta˜o v ∈ Ck para algum k logo temos
tv ∈ Ck e daı´ tv ∈ A.
• G =
⋂
k∈B
Ck e´ cone, pois seja v ∈ G enta˜o v ∈ Ck ∀ k e daı´ tv ∈ Ck que implica
tv ∈ G.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 43
m Definic¸a˜o 35 (Envolto´ria convexa). Envolto´ria convexa de um conjunto
X ⊂ V e´ o conjunto C(x) das combinac¸o˜es convexas
n∑
k=1
tkvk de X ⊂ V .
b Propriedade 47. Valem as propriedades
1. C(x) e´ convexo.
2. X ⊂ C(x)
3. Se C ′ e´ convexo com X ⊂ C ′ enta˜o C(x) ⊂ C ′, isto e´, C(x) e´ o menor
subconjunto convexo que conte´m X.
ê Demonstrac¸a˜o.
1. Sejam u, v ∈ C(x) enta˜o u =
n∑
k=1
tkvk, v =
m∑
k=1
t ′kv
′
k, temos
tu+ (1− t)v =
n∑
k=1
ttkvk +
m∑
k=1
(1− t)t ′kv ′k =
m+n∑
k=1
t ′′kv
′′
k
onde a soma dos coeficientes e´
m+n∑
k=1
t ′′k = t
n∑
k=1
tk + (1− t)
m∑
k=1
t ′k = t+ 1− t = 1.
2. X ⊂ C(x), pois dado V ∈ X temos que 1.x e´ uma combinac¸a˜o convexa logo
x ∈ C(X).
3. Se C ′ e´ convexo com X ⊂ C ′ enta˜o toda combinac¸a˜o convexa de elementos de
X esta´ contida em C ′ , o que ja´ mostramos.
m Definic¸a˜o 36. Seja V um espac¸o vetorial, E 6= ∅ um subconjunto de V .
Definimos co(E) como a intersec¸a˜o de todos os conjuntos convexos de V que
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 44
conte´m E, em sı´mbolos
co(E) :=
⋂
Ae´ convexo, A⊂V, A⊂V, E⊂V
A.
b Propriedade 48. co(E) e´ o menor convexo de V que conte´m E.
ê Demonstrac¸a˜o. Se a intersec¸a˜o e´ vazia o resultado termina, E e´ vazio nesse
caso, pois E e´ subconjunto da intersec¸a˜o. Considere agora a intersec¸a˜o na˜o vazia.
A intersec¸a˜o de convexos e´ um convexo. co(E) e´ o menor convexo no sentido
que, se C1 e´ um convexo de V tal que E ⊂ C1, enta˜o co(E) ⊂ C1. Isso vale pois todo
elemento de co(E) e´ elemento de C1, pois co(E) e´ a intersec¸a˜o de todos convexos de
V que conte´m E, isso inclui C1.
$ Corola´rio 3. Concluı´mos que Co(E) = C(E) pois ambas definic¸o˜es geram o
menor conjunto convexo que conte´m E.
1.2.12 Produto cartesiano de espac¸os vetoriais
m Definic¸a˜o 37 (Produto cartesiano de espac¸os vetoriais). Dados (Vk)n1 espac¸os
vetoriais sobre o mesmo corpo K, podemos tomar o produto cartesiano de espac¸os
vetoriais
n∏
k=1
Vk, onde definimos as operac¸o˜es de adic¸a˜o e produto por escalar, da
seguinte maneira
(ak)
n
1 + (bk)
n
1 = (ak +k bk)
n
1
α(ak)
n
1 = (α×k ak)n1 .
Podemos definir o produto cartesiano de uma quantidade infinita enumera´vel de
espac¸os vetoriais (Vk) da mesma maneira,
∞∏
k=1
Vk, com as definic¸o˜es
(ak) + (bk) = (ak +k bk)
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 45
α(ak) = (α×k ak)
onde +k e ×k sa˜o a adic¸a˜o e produto por escalar em Vk.
b Propriedade 49. O produto cartesiano de espac¸os vetoriais e´ um espac¸o
vetorial.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar enta˜o que temos um grupo abeliano para a
adic¸a˜o.
• Comutatividade
u+ v = (ak)
n
1 + (bk)
n
1 = (ak +k bk)
n
1 = v+ u =
= (bk)
n
1 + (ak)
n
1 = (bk +k ak)
n
1
temos que bk +k ak = ak +k bk pela comutatividade da adic¸a˜o em espac¸os veto-
riais.
• Associatividade Sendo w = (ck)n1 temos
(u+v)+w = ((ak)
n
k=1+(bk)
n
1 )+(ck)
n
1 = (ak+kbk)
n
1 +(ck)
n
1 = ((ak+kbk)+k ck)
n
1 =
pela associatividade da adic¸a˜o em espac¸os vetoriais
= (ak +k (bk +k ck))n
1 = u+ (v+w).
• Elemento neutro
w+ 0v = (ck)n1 + (ek)n1 = (ck +k ek)n1 = (ck)n1
pois 0k e´ o elemento neutro da adic¸a˜o do k-e´simo espac¸o vetorial.
• Existeˆncia de inverso aditivo w = (ck)n1 tomamos w ′ = (−ck)n1
(ck)
n
1 + (−ck)
n
1 = (ck −k ck)
n
1 = (ek)
n
1 = 0
• Associatividade escalar
(αβ)(ck)
n
1 = (αβ×k ck)n1 = α(β×k ck)n1 = α(β(ck)n1 ).
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 46
• Identidade escalar
1(ck)n1 = (1×k ck)n1 = (ck)n1
• Distributividade vetorial
α((ck)
n
1 +(bk)
n
1 ) = α((ck+kbk)
n
1 ) = (α×kck+kα×kbk)n1 = (α×kck)n1 +(α×kbk)n1 = α(ck)n1 +α(bk)n1 .
• Distributividade escalar
(α+ β)(ck)
n
1 = ((α+ β)×k ck)n1 = (α×k ck +k βck)n1 = α(ck)n1 + β(ck)n1 .
O mesmo vale para o produto cartesiano infinito.
$ Corola´rio 4. Se V e´ um espac¸o vetorial sobre K enta˜o n∏
k=1
V := Vn e´ um espac¸o
vetorial sobre K.
Z Exemplo 29. R e´ um espac¸o vetorial, pois R e´ corpo, enta˜o (R,+) e´ grupo
abeliano, existe a unidade 1 tal que 1.c = c, vale a distributividade (α + β)c =
α.c + β.c, a(c + v) = ac + av e o produto e´ associativo a(b.c) = (ab)c, logo R e´
um espac¸o vetorial
$ Corola´rio 5. Como R e´ espac¸o vetorial enta˜o Rn e´ espac¸o vetorial.
Z Exemplo 30. Sendo A um anel com unidade, enta˜o A e´ espac¸o vetorial,
pois (A,+) e´ grupo abeliano e vale a associatividade , existe unidade e vale a
distributividade.
m Definic¸a˜o 38 (Hiperplano que passa pela origem). Sejam (ak)n1 nu´meros
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 47
reais. Definimos o hiperplano de Rn que passa pela origem como o conjunto
H = {v = (xk)
n
1 ∈ Rn |
n∑
k=1
akxk = 0}.
$ Corola´rio 6. Se ak = 0 enta˜o n∑
k=1
0.xk = 0 para qualquer xk, nesse caso
H = Rn.
b Propriedade 50. H e´ um subespac¸o vetorial de Rn.
ê Demonstrac¸a˜o. O vetor 0v = (0)n1 pertence ao conjunto H, pois
n∑
k=1
ak = 0.
Seja um vetor v = (xk)n1 ∈ H, enta˜o vale
n∑
k=1
akxk = 0, e outro vetor u = (xk)n1 ∈ H,
logo
n∑
k=1
akyk = 0, u+ v = (xk + yk)n1 e tem-se
n∑
k=1
ak(xk + yk) =
n∑
k=1
akxk +
n∑
k=1
akyk = 0+ 0
logo u+ v ∈ H, o conjunto e´ fechado pela adic¸a˜o de vetores.
Sendo v = (xk)n1 ∈ H enta˜o
n∑
k=1
akxk = 0, multiplicando por uma constante c,
tem-se cv = (cxk)n1 e
n∑
k=1
akcxk = c
n∑
k=1
akxk = c.0 = 0
logo cv ∈ H, o que prova que H e´ subgrupo de Rn.
Z Exemplo 31.
H = {v = (xk)
n
1 ∈ Rn |
n∑
k=1
akxk = d 6= 0}
na˜o e´ subespac¸o vetorial pois o vetor nulo na˜o esta´ no conjunto.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 48
Z Exemplo 32. Sendo F < V. Se u, v 6∈ F pode valer que u + v ∈ F. Como
e´ o caso da reta que passa por (1, 1) ser um espac¸o vetorial, (1,0) e (0, 1) na˜o
pertencem ao espac¸o pore´m sua soma (1, 1) pertence ao espac¸o .
b Propriedade 51. Seja F < V. Se u 6 F e α 6= 0 enta˜o αu /∈ F.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que αu ∈ F enta˜o 1
α
αu = u ∈ F absurdo.
1.2.13 Intersecc¸a˜o de subespac¸os vetoriais
b Propriedade 52. A intersecc¸a˜o de dois subespac¸os de um espac¸o vetorial V
e´ um subespac¸o de V .
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam U e W subespac¸os de V .
• Primeira condic¸a˜o, temos que 0 ∈ U e 0 ∈W logo 0 ∈ U ∩W.
• Segunda condic¸a˜o, sejam p e s ∈ U ∩W, logo temos p e s ∈ U e p e s ∈ W e
por serem U e W subespac¸os temos p+ s ∈ U e p+ s ∈W, logo p+ s ∈ U ∩W.
• Terceira condic¸a˜o, seja p ∈ U ∩W enta˜o p ∈ U e p ∈ W e c ∈ C implica por
propriedade de subespac¸os que cp ∈ U e cp ∈W logo cp ∈ U ∩W.
b Propriedade 53. A intersecc¸a˜o arbitra´ria de subespac¸os vetoriais e´ um
espac¸o vetorial.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja V o espac¸o vetorial e Ek subespac¸o de V para todo
k ∈ A, enta˜o temos que mostrar que
B =
⋂
k∈A
Ek e subespac¸o de V.
0 ∈ Ek ∀ k ∈ A, logo 0 ∈ B. Sejam u,w ∈ B enta˜o u,w ∈ Ek ∀ k ∈ A como cada Ek e´
subespac¸o de V segue que u+w ∈ Ek ∀ k, daı´ u+w ∈ B.
Dado w ∈ B e c ∈ R, vale que w ∈ Ek∀ k, como cada Ek e´ subespac¸o enta˜o
c.w ∈ Ek∀ k o que implica cw ∈ B.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 49
$ Corola´rio 7. Sendo Hs = {v = (xk)n1 ∈ Rn | n∑
k=1
a(s,k)xk = 0} para n ∈ In enta˜o
t⋂
s=1
Hs e´ subespac¸o vetorial de Rn. Neste caso temos que o conjunto de soluc¸o˜es
de um sistema e´ subespac¸o vetorial.
1.2.14 Unia˜o de espac¸os vetoriais
b Propriedade 54. Sejam A e B subespac¸os vetoriais de V . A∪B e´ subespac¸o
de V ⇔ A ⊂ B ou B ⊂ A.
ê Demonstrac¸a˜o. ⇐). Se A ⊂ B enta˜o A∪B = B daı´ A∪B e´ subespac¸o vetorial
de V .⇒). Suponha por absurdo que A∪B e´ subespac¸o de V com A 6⊂ B e B 6⊂ A enta˜o
existe a ∈ A tal que a /∈ B e b ∈ B tal que b /∈ A daı´ a, b ∈ A∪B e como e´ subespac¸o
a+b ∈ A∪B, supondo sem perda de generalidade que a+b ∈ B, como B e´ subespac¸o
vetorial enta˜o a+ b− b = a ∈ B o que e´ absurdo pois contraria a hipo´tese de a /∈ B.
Z Exemplo 33. Em R2, temos os subespac¸os dos elementos (x,0) e dos ele-
mentos (0, y), a unia˜o de tais subespac¸os na˜o e´ subespac¸o de R2.
b Propriedade 55. A1 ∪ A2 ∪ A3 e´ subespac¸o de V , com (Ak)31 subespac¸os de
V ⇔ um dos conjuntos conte´m os outros dois.
ê Demonstrac¸a˜o. (A1 ∪A2)︸ ︷︷ ︸
B
∪A3 e´ subespac¸o de V ⇔ B ⊂ A3 ou A3 ⊂ B, se
temos o primeiro caso terminamos. Se temos o segundo caso enta˜o
A1 ∪A2 ∪A3 = A1 ∪A2
e´ subespac¸o ⇔ A1 ⊂ A2 ou A2 ⊂ A1, sem perda de generalidade se A2 ⊂ A1 enta˜o
A1 ∪A2 ∪A3 = A1 ∪A2 = A1
e temos A2∪A3 ⊂ A1 o que termina a demonstrac¸a˜o. (pensar sobre essa demonstrac¸a˜o)
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 50
b Propriedade 56. Sejam F1, F2 subespac¸os vetoriais de E. Se existir algum
a ∈ V tal que a+ F1 ⊂ F2 enta˜o F1 ⊂ F2.
ê Demonstrac¸a˜o. Suponha que exista a ∈ U tal que a + F1 ⊂ F2, seja y ∈ F1
arbitra´rio, vamos mostrar que y ∈ F2. Temos que a + y2 ∈ F2 e a −
y
2
∈ F2 logo a
diferenc¸a e´ elemento de F2
a+
y
2
− (a−
y
2
) = y ∈ F2
de onde segue o resultado.
1.3 Combinac¸a˜o linear: espac¸os gerados
m Definic¸a˜o 39 (Combinac¸a˜o linear). Seja V um espac¸o vetorial e sejam vk
(k ∈ In) vetores de V . Dizemos que um vetor de u e´ combinac¸a˜o linear de (vk)n1
se existem nu´meros reais (ak)n1 tais que
u =
n∑
k=1
ak.vk.
De outro modo, seja A um conjunto finito de vetores de V , dizemos que u e´
combinac¸a˜o linear de A se existem constantes reais ck tais que
u =
∑
k∈A
ck.k.
Em especial se A = ∅
0v =
∑
k∈∅
ck.k,
isto e´, 0 e´ combinac¸a˜o linear de um conjunto vazio de vetores.
m Definic¸a˜o 40 (Espac¸o gerado por um conjunto A). Seja A um subconjuntoa
de um espac¸o vetorial V . O subespac¸o gerado por A e´ o conjunto formado por
todas combinac¸o˜es lineares de vetores de A, denotado por S(A). (Pode tambe´m
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 51
ser denotado por [A] ou < A >.) O vazio gera o espac¸o nulo. < ∅ >= {0v}.
aA na˜o precisa ser um subespac¸o de V
b Propriedade 57. S(A) e´ um subespac¸o de V .
ê Demonstrac¸a˜o. 0v =
n∑
k=1
xk0v , logo 0v ∈ S(A). Sendo u ∈ S(A) enta˜o
u =
n∑
k=1
xkuk para uk ∈ A e v ∈ S(A) implica v =
m∑
k=1
ykvk a soma desses vetores pode
ser escrita como uma soma finita logo u + v ∈ S(A). Dado c ∈ R e v ∈ S(A) enta˜o
v =
n∑
k=1
xkuk e cv =
n∑
k=1
cxk︸︷︷︸
yk
uk =
n∑
k=1
ykuk logo e´ combinac¸a˜o linear de vetores de A,
implicando que cv ∈ S(A), enta˜o S(A) e´ um subespac¸o vetorial.
b Propriedade 58. A ⊂ S(A).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja v ∈ A enta˜o v = 1.v e´ uma combinac¸a˜o linear de v logo
pertence ao conjunto S(A).
b Propriedade 59. Se A ⊂ B enta˜o S(A) ⊂ S(B)
ê Demonstrac¸a˜o. Toda combinac¸a˜o linear de elemento de A tambe´m e´ combinac¸a˜o
linear de elementos de B, enta˜o todo elemento de S(A) e´ elemento de S(B), o que
implica S(A) ⊂ S(B).
b Propriedade 60 (Idempoteˆncia). S(A) = S(S(A)).
ê Demonstrac¸a˜o. Sabemos que S(A) ⊂ S(S(A)), falta mostrar que S(S(A)) ⊂
S(A). Seja um elemento x ∈ S(S(A)), enta˜oele e´ da forma x =
n∑
k=1
ckvk onde vk ∈
S(A), por sua vez vk =
m∑
t=1
a(t,k).u(t,k) onde u(t,k) ∈ A, como cada vk ∈ A segue que os
elementos de S(S(A)) sa˜o combinac¸o˜es lineares de elementos de A, logo x ∈ A o que
implica S(S(A)) ⊂ S(A).
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 52
m Definic¸a˜o 41 (Espac¸o finitamente gerado). Dizemos que um espac¸o vetorial
V e´ finitamente gerado, se existe A ⊂ V finito tal que V = S(A).
b Propriedade 61. S(A) e´ o menor subespac¸o que conte´m A, isto e´, para
qualquer subespac¸o W tal que A ⊂W enta˜o S(A) ⊂W.
ê Demonstrac¸a˜o. Se W e´ subespac¸o de A e A ⊂W enta˜o qualquer combinac¸a˜o
linear de vetores de A pertence a` W por W ser subespac¸o, logo S(A) ⊂W.
$ Corola´rio 8. Se A e´ um espac¸o vetorial enta˜o S(A) = A, pois S(A) ⊂ A e
A ⊂ S(A).
m Definic¸a˜o 42 (Conjunto de geradores). Se S(A) = V enta˜o A e´ dito conjunto
de geradores de V , isto e´, qualquer vetor de V pode ser escrito como combinac¸a˜o
linear de vetores de A.
m Definic¸a˜o 43 (Vetores canoˆnicos do Rn). Sa˜o os vetores ek = (δ(j, k))nj=1 onde
δ(j, k) e´ o delta de kroneckera
aVer definic¸a˜o no texto de func¸o˜es especiais e relac¸a˜o com somato´rio no texto de somato´rios
b Propriedade 62. O conjunto A = {ek | k ∈ In} e´ um conjunto de geradores
para o Rn.
ê Demonstrac¸a˜o. Seja v = (aj)nj=1 enta˜o
n∑
k=1
akek =
( n∑
k=1
akδ(j, k)
)n
j=1
= (aj)
n
j=1 = v.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 53
Z Exemplo 34. O conjunto {xk, k ∈ N} forma um conjunto de geradores para
o espac¸o de polinoˆmios, {xk, k ∈ [0, n]N} gera o espac¸o de polinoˆmios de grau ate´
n.
m Definic¸a˜o 44. Dados dois subespac¸os vetoriais de V , F1 e F2 definimos
F1 + F2 = S(F1 ∪ F2)
b Propriedade 63. Vale que
F1 + F2 = {v+w | v ∈ F1, w ∈ F2}.
ê Demonstrac¸a˜o. Vamos mostrar que {v+w | v ∈ F1, w ∈ F2} := A e´ subespac¸o
vetorial de V , sendo o menor deles, logo deve ser igual a S(F1 ∪ F2).
• A e´ na˜o vazio pois o elemento neutro 0v pertence ao conjunto.
• Dados v ∈ F1, w ∈ F2 e c ∈ K temos cv︸︷︷︸
∈F1
+w ∈ A, logo A e´ subespac¸o de V .
Seja W um espac¸o de V que contenha F1 e F2 enta˜o conte´m a soma de qualquer
elemento de F1 com elemento de F2, por isso A ⊂W. Como A ⊂ S(F1∪F2) e S(F1∪F2) ⊂
A enta˜o vale A = S(F1 ∪ F2).
b Propriedade 64. Vale que S(F1 ∪ F2) = S(F1) + S(F2), F1, F2 < V.
ê Demonstrac¸a˜o. Sabemos que
S(F1 ∪ F2) = F1 + F2 = S(F1) + S(F2)
pois como F1 e F2 sa˜o subespac¸os enta˜o S(F1) = F1 e S(F2) = F2.
Z Exemplo 35. Na˜o vale que
S(X ∩ Y) = S(X) ∩ S(Y)
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 54
pois podemos tomar por exemplo X = {(0, 1), (2,0)} e Y = {(1,0)}, a intersec¸a˜o dos
conjunto e´ vazia logo
S(X ∩ Y) = {0}
S(X) = R2 logo S(X) ∩ S(Y) = S(Y) 6= {0}, na˜o vale a identidade.
m Definic¸a˜o 45 (Plano). Um subespac¸o de R3 gerado por dois vetores na˜o
colineares chama-se plano.
Z Exemplo 36. Mostre usando argumentos geome´tricos que se w ∈ R3 na˜o
pertence ao plano gerado por u e v enta˜o u, v,w geram R3. Seja α = S(u, v). Dado
P ∈ R3 qualquer seja r uma reta passando por P e paralela ao vetor w, como w
na˜o esta´ no plano gerado por u e v, r intercepta α em Q, logo q = c1u+ c2v para
algum par c1, c2 ∈ R, como p e q sa˜o paralelos a w, p− q = c3w o que implica
p = q+ c3w = c1u+ c2v+ c3w
como p e´ arbitra´rio em R3, enta˜o o espac¸o e´ gerador por u, v e w.
m Definic¸a˜o 46 (Soma direta). Se F1 ∩ F2 = {0} enta˜o denotamos F1 + F2 como
F1 ⊕ F2.
b Propriedade 65. Sa˜o equivalentes
1. F = F1 ⊕ F2
2. Todo elemento de F pode ser escrito de modo u´nico como v1+ v2 com v1 ∈ F1
e v2 ∈ F2.
ê Demonstrac¸a˜o. (1) ⇒ (2). Suponha que existam duas maneiras distintas
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 55
de representar um vetor W ∈ F, enta˜o w = v1 + v2 e w = w1 + w2 com w1 ∈
F1ew2 ∈ F2, daı´ v1 −w1︸ ︷︷ ︸
∈F1
= v2 −w2︸ ︷︷ ︸
∈F2
6= 0v existiria algum vetor na˜o nulo em F1 ∪ F2
que contradiz a hipo´tese.
(2) ⇒ (1). Temos que F = F1 + F2 falta mostrar que F1 ∩ F2 = {0}, suponha que
exista um elemento na˜o nulo na intersec¸a˜o v, enta˜o
v = f1 + f2
onde pelo menos um deles e´ na˜o nulo , digamos f2 daı´ 0 = f1+(f2−v) = (f1−v)+f2
logo temos duas escritas para 0 o que e´ absurdo.
b Propriedade 66. Se E = F1 ⊕ F2 = G1 ⊕ G2. Se F1 ⊂ G1 e F2 ⊂ G2 enta˜o
F1 = G1 e F2 = G2.
ê Demonstrac¸a˜o. Falta mostrar que G1 ⊂ F1 e G2 ⊂ F2 . Seja g1 ∈ G1 ⊂ E enta˜o
g1 = f1 + f2 ⇒
g1 − f1︸ ︷︷ ︸
∈G1
= f2︸︷︷︸
∈F2⊂G2
= 0
portanto g1 = f1 e segue a inclusa˜o que desejamos. O outro caso e´ ana´logo .
b Propriedade 67. Sejam (Fk)n1 e em V subespac¸os vetoriais enta˜o
1. S(
n⋃
k=1
Fk) =
n∑
k=1
Fk.
2. Cada x ∈
n∑
k=1
Fk se escreve como modo u´nico como soma de elementos
xk ∈ Fk, x =
n∑
k=1
xk ⇔ para cada j tem-se Fj ∩ ( n∑
k=1,k 6=j
Fk) = {0}.
Na condic¸a˜o escrevemos F =
n⊕
k=1
Fk.
ê Demonstrac¸a˜o.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 56
1. Sabemos que S(
n⋃
k=1
Fk) e´ o menor subespac¸o que conte´m a unia˜o, vamos provar
que
n∑
k=1
Fk = B tambe´m e´ o subespac¸o que conte´m todos esses conjuntos. Cada Fk
esta´ contido em B, logo a unia˜o tambe´m esta´, por induc¸a˜o a soma e´ subespac¸o,
ja´ que a soma de dois e´ subespac¸o. Suponha que A seja um espac¸o que conte´m
cada Fk enta˜o ele conte´m a soma de todos elementos de cada Fk e por isso
B ⊂ A, enta˜o B e´ o menor espac¸o e por isso B = S(
n⋃
k=1
Fk).
2. ⇒).
Suponha que para algum j temos v 6= 0, v ∈ Fj ∩ (
n∑
k=1,k6=j
Fk) logo
v =
n∑
k=1
vk = vj +
n∑
k=1,k 6=j
vk
daı´
0 = vj − v+ (
n∑
k=1,k 6=j
vk) = vj + (
n∑
k=1,k 6=j
vk) − v
logo chegamos em duas escritas para 0, o que e´ absurdo contrariando a hipo´tese.
⇐). Suponha um elemento com duas representac¸o˜es distintas, enta˜o
v =
n∑
k=1
vk =
n∑
k=1
wk
portanto existe j tal que vj 6= wj
vj −wj =
n∑
k=1,kn 6=j
(wk − vk) 6= 0
temos um elemento na˜o nulo em Fj e
n∑
k=1,k 6=j
Fk o que contraria hipo´tese.
m Definic¸a˜o 47 (Reta que une dois pontos). Sejam x 6= y ∈ V enta˜o a reta que
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 57
une x, y e´ por definic¸a˜o o conjunto
r := {(1− t)x+ ty | t ∈ R.}
$ Corola´rio 9. Como (1 − t)x + ty = x − tx + ty = x + t(y − x) , se definimos
v = y− x, temos
r = {x+ tv | t ∈ R}.
Observamos que em f(t) = x+ tv f(0) = x, f(1) = x+ y− x = y.
m Definic¸a˜o 48 (Variedade afim). Um subconjunto A de V complexo ou real e´
dito ser uma variedade afim, quando dados quaisquer dois pontos x, y ∈ V a reta
que passa por esse pontos esta´ contida em A.
Perceba que isso difere da definic¸a˜o de conjunto convexo pois em conjuntos
convexos queremos que apenas o segmento que une quaisquer dois pontos esteja
contido no conjunto, em variedade afim queremos que a reta inteira esteja dentro
do conjunto .
$ Corola´rio 10. Variedades afins sa˜o conjuntos convexos pois a reta que passa
por dois pontos esta´ contida no conjunto, enta˜o em especial o segmento que une
tais pontos.
$ Corola´rio 11. Toda combinac¸a˜o convexa de vetores de uma variedade afim
pertence a variedade afim, pois tal propriedade vale para conjuntos convexos e
uma variedade afim e´ convexa.
$ Corola´rio 12. Um espac¸o vetorial real ou complexo e´ uma variedade afim pois
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 58
x, y ∈ V implica (1− t)x, ty ∈ V logo (1− t)x+ ty ∈ V para qualquer t real.
$ Corola´rio 13. O conjunto vazio e´ uma variedade afim , pois se na˜o fosse
haveriam x, y ∈ ∅ e algum t ∈ R tal que xt + (1 − t)y /∈ ∅ o que e´ absurdo pois o
conjunto e´ vazio logo na˜o podemos ter x, y ∈ ∅.
m Definic¸a˜o 49 (Variedade afim gerada por um conjunto). Dado X ⊂ E, a
variedade afim gerada por X denotada por V(X) e´ o conjunto de todas combinac¸o˜es
convexas de vetores de X.
b Propriedade 68. Dado X ⊂ E, V(X) e´ variedadeafim.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y ∈ V(X), temos que mostrar que (1 + t)x + ty ∈
V(X) ∀ t. Temos
x =
n∑
k=1
ckvk, y =
m∑
k=1
c ′kv
′
k
onde
n∑
k=1
ck =
m∑
k=1
c ′k = 1
(1+ t)x+ ty = (1− t)
n∑
k=1
ckvk + t
m∑
k=1
c ′kv
′
k
cuja soma dos coeficientes e´
(1− t)
n∑
k=1
ck + t
m∑
k=1
c ′k = 1− t+ t = 1.
b Propriedade 69. Se Vk ∈ V e´ variedade afim ∀ k ∈ A uma famı´lia de ı´ndices
enta˜o B =
⋂
k∈A
Vk e´ variedade afim .
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x, y ∈ B enta˜o x, y ∈ Vk∀ k logo tx + (1 − t)y ∈
Vk ∀ k ∀ t ∈ R isso implica que tal reta pertence a B, logo B e´ variedade afim .
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 59
b Propriedade 70. O conjunto H dos pontos (xk)n1 tais que
n∑
k=1
xkak = b
onde (ak)n1 e b sa˜o escalares reais ou complexos dados e´ uma variedade afim.
ê Demonstrac¸a˜o. Sejam x = (xk)n1 , y = (yk)n1 ∈ H vamos mostrar que tx + (1 −
t)y =
n∑
k=1
txk + (1− t)yk ∈ H, t ∈ R arbitra´rio
n∑
k=1
ak(txk + (1− t)yk) = t
n∑
k=1
akxk + (1− t)
n∑
k=1
akyk = tb+ (1− t)b = b.
Logo temos uma variedade afim, em especial o conjunto e´ convexo.
Nesse caso os escalares (ak)n1 podem ser todos nulos, se um deles na˜o for nulo
temos um hiperplano.
$ Corola´rio 14. O conjunto de soluc¸o˜es de um sistema linear e´ uma variedade
afim pois e´ intersec¸a˜o de soluc¸o˜es de equac¸o˜es do tipo
n∑
k=1
xkak = b .
b Propriedade 71. Seja V 6= ∅ variedade afim em E espac¸o vetorial, enta˜o
existe um u´nico F < E tal que para x arbitra´rio fixo em V vale
V = x+ F = {x+ v, v ∈ F}.
ê Demonstrac¸a˜o.
Existeˆncia de F. Dado x ∈ V fixo seja F o conjunto dos vetores y︸︷︷︸
∈V
−x onde
y ∈ V . Vamos mostrar que F < E.
• Temos que 0 ∈ F pois x− x ∈ F.
• Seja α ∈ R e V ∈ F enta˜o v = y− x,
αv = α(y− x) = (1− α)x+ αy︸ ︷︷ ︸
∈V
−x ∈ F.
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 60
• Se v = y− x e v ′ = y ′ − x em F enta˜o
v+ v ′ = y+ y ′ − 2x = 2(y
2
+
y ′
2︸ ︷︷ ︸
∈V
−x)⇒
v+ v ′
2
∈ F pela propriedade anterior multiplicando por 2 temos que v+ v ′ ∈ F.
Vale que V = x+F. Dado y ∈ V enta˜o y = x︸︷︷︸
∈V
+(y− x)︸ ︷︷ ︸
∈F
logo y ∈ x+F, V ⊂ x+F.
Agora provamos a outra inclusa˜o. Um elemento de x+F e´ da forma x+(y−x) = y ∈ V
logo x+ F ⊂ V e tambe´m V ⊂ x+ F portanto vale a igualdade.
Agora provamos a unicidade. Se F, F ′ < E tais que x+ F = x+ F ′, x ∈ E fixo enta˜o
tem que valer F = F ′.
Vamos provar que F ⊂ F ′. v ∈ F⇒ x + v ∈ x + F⇒ x + v ∈ F ′ enta˜o existe algum
v ′ ∈ F ′ tal que
x+ v = x+ v ′ ⇒ v = v ′ ⇒ v ∈ F ′ ⇒ F ⊂ F ′
a outra inclusa˜o e´ ana´loga .
$ Corola´rio 15. Para qualquer x0 ∈ X tem-se V(X) = v+F onde F e´ o subespac¸o
vetorial de E gerado pelos vetores v− v0, onde v ∈ X.
b Propriedade 72. Dado X ⊂ V , enta˜o
⋂
U≤V | X⊂U
U = S(X).
ê Demonstrac¸a˜o. Seja
⋂
U≤V | X⊂U
U := A .
Ov pertence a todos subespac¸os vetoriais, logo pertence a intersec¸a˜o. Dados v,w ∈
A e c ∈ K enta˜o cv+w ∈ U para qualquer U na intersec¸a˜o , portanto A e´ subespac¸o
de V . Como S(x) e´ subespac¸o de V que conte´m X enta˜o S(X) ⊂ A e daı´ A = S(X),
pois S(X) e´ o menor subespac¸o de V que conte´m X.
Z Exemplo 37. Se S(X) ⊂ S(Y) na˜o necessariamente vale X ⊂ Y. Como exemplo
podemos tomar X = {(1,0), (0, 1)} e Y = {(2,0), (0, 2)}, vale que S(X) = S(Y) = R2 e
CAPI´TULO 1. ESPAC¸OS VETORIAIS 61
na˜o vale X ⊂ Y.
Z Exemplo 38. Um espac¸o vetorial V complexo ou real e´ um espac¸o afim pois
dados x, y ∈ V vale que tx+ (1− t)y ∈ V.
b Propriedade 73. Um espac¸o afim F e´ um espac¸o vetorial ⇔ 0 ∈ F .
ê Demonstrac¸a˜o.⇒). Se F e´ espac¸o vetorial enta˜o 0 ∈ F .⇐). 0 ∈ V enta˜o existe um u´nico F subespac¸o vetorial tal que
V = 0+ F = F.
Podemos demonstrar diretamente tambe´m, como segue
• 0 ∈ V por hipo´tese .
• Sendo v ∈ C e c ∈ R enta˜o cv ∈ V pois a reta que une 0 e v esta´ toda contida
em V
(1− c)0+ cv = cv ∈ V∀ c ∈ R.
• u, v ∈ V implica u+ v ∈ V. Seja t 6= 0, t 6= 1 enta˜o 1
t
u e 1
1− t
v sa˜o elementos de
V pelo item anterior, portanto por ser variedade afim
t
1
t
u+ (1− t) 1
1− t
v = u+ v ∈ V.
b Propriedade 74. Dado X ⊂ V . Seja Y = (X\ {v})∪ {v+αu}, α ∈ K fixo, onde
u, v ∈ X. Nessas condic¸o˜es X e Y geram o mesmo subespac¸o.
ê Demonstrac¸a˜o. Temos que X \ {v} ⊂ S(X) e v + αu ⊂ S(X) logo Y ⊂ S(X) ⇒
S(Y) ⊂ S(X). X\V ⊂ Y, u ∈ Y (supondo u 6= v) logo −αu ∈ Y, como v+αu ∈ Y tem-se
v + αu − αu = v ∈ Y ⇒ X ⊂ Y e daı´ S(X) ⊂ S(Y). Como temos as duas incluso˜es
S(X) ⊂ S(Y) e S(Y) ⊂ S(X) segue que S(X) = S(Y).
Caso u = v, (α + 1)v ∈ Y logo (α+ 1)v
α+ 1
= v ∈ Y e daı´ segue o mesmo argumento.
Perceba que a propriedade na˜o vale se u = v 6= 0 e α = −1.
	Espaços vetoriais
	Espaços vetoriais
	Espaço Rn
	Espaço vetorial das sequências
	Espaço vetorial das matrizes
	Espaço das funções 
	Propriedades algébricas básicas do espaço vetorial.
	Subespaços vetoriais
	Exemplos de subespaços vetoriais
	Espaço das funções contínuas
	Funções limitadas
	Equação cartesiana de espaços vetoriais
	Reta que passa pela origem
	Conjuntos Convexos
	O vazio é um conjunto convexo.
	A interseção arbitrária de convexos é um convexo.
	Se F é convexo, então F é convexo.
	Um conjunto unitário é convexo
	Convexo e combinação convexa
	Produto cartesiano de espaços vetoriais
	Intersecção de subespaços vetoriais
	União de espaços vetoriais
	Combinação linear: espaços gerados