Lista de exercicios da Unidade 4

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Lista de exercícios da Unidade 4 
 
Seção III.1 
 
1) Nos exercícios de (a) a (d), identifique, por meio de derivada, os intervalos abertos nos quais a 
função é crescente ou decrescente. 
(a) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)2 (b) 𝑓(𝑥) =
𝑥3
4
− 3𝑥 
 
 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2 𝑥2 (d) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
𝑥+1
 
 
 
2) Nos exercícios a seguir, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função 
é crescente e decrescente. Use um programa de plotagem para traçar a curva da função. 
(a) 𝑔(𝑥) = −(𝑥 − 1)2 (b) 𝑦 = 𝑥2 − 5𝑥 (c) 𝑦 = 𝑥3 − 6 𝑥2 
 
(d) 𝑓(𝑥) = −(𝑥 + 1)3 (e) 𝑓(𝑥) = √4 − 𝑥2 (f) 𝑓(𝑥) = 𝑥 √𝑥 + 1 
 
3) Nos exercícios a seguir, determine os números críticos e os intervalos abertos nos quais a função 
é crescente e decrescente. (Verifique a existência de descontinuidades). Use um programa de 
plotagem para traçar a curva da função. 
(a) 𝑓(𝑥) =
2 𝑥
16 − 𝑥2
 (b) 𝑦 = {
4 − 𝑥2 , 𝑥 ≤ 0
−2 𝑥 , 𝑥 > 0
 (c) 𝑦 = {
2𝑥 + 1 , 𝑥 ≤ −1
𝑥2 − 2 , 𝑥 > −1
 
 
(d) 𝑦 = {
3 𝑥 + 1 , 𝑥 ≤ 1
5 − 𝑥2 , 𝑥 > 1
 (e) 𝑦 = {
−𝑥3 + 1 , 𝑥 ≤ 0
−𝑥2 + 2 𝑥 , 𝑥 > 0
 
 
4) O custo C de processamento e transporte de um revendedor de automóveis (em centenas de reais) 
é dado por 𝐶 = 10 (
1
𝑥
+ 
𝑥
𝑥+3
) , 1 ≤ 𝑥 , onde x é o número de automóveis encomendados. 
(a) Determine os intervalos nos quais C é crescente e decrescente. 
(b) Use um programa de plotagem para traçar a curva da função custo. 
 
5) Nos exercícios a seguir, a função posição fornece a altura s (em metros) de uma bola; o tempo t 
é medido em segundos. Determine o intervalo de tempo no qual a bola está subindo e o intervalo 
no qual ela está descendo. 
(a) 𝑠 = 96 𝑡 − 16 𝑡2 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 6 (b) 𝑠 = −16 𝑡2 + 64 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 4 
 
6) O lucro L de um cinema com a venda de x sacos de pipoca pode ser modelado pela função 𝐿 =
2,36 𝑥 −
𝑥2
25.000
− 3.500 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 50.000 . 
 
(a) Determine os intervalos nos quais L é crescente e decrescente. 
(b) Se você fosse o dono do cinema, que preço cobraria pelo saco de pipoca para maximizar o lucro? 
Justifique a resposta. 
 
Seção III.2 
 
1) Use uma tabela para determinar todos os extremos relativos das funções abaixo. 
(a) 𝑓(𝑥) = −2 𝑥2 + 4 𝑥 + 3 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6 𝑥 
 
2) Determine todos os extremos relativos da função. 
(a) 𝑔(𝑥) = 6 𝑥3 − 15 𝑥2 + 12 𝑥 (b) ℎ(𝑥) = −(𝑥 + 4)3 
 
(c) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 6 𝑥2 + 15 (d) 𝑓(𝑥) = 𝑥4 − 2 𝑥3 
 
3) Determine os extremos absolutos da função no intervalo dado. 
(a) 𝑓(𝑥) = 2 (3 − 𝑥) [-1 , 2] (b) 𝑓(𝑥) = 5 − 2 𝑥2 [0 , 3] 
(b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 3 𝑥2 [-1 , 3] (d) ℎ(𝑠) =
1
3−𝑠
 [0 , 2] 
 
4) Um revendedor determinou que o custo C para encomendar e armazenar x unidades de um 
produto seja dado por 𝐶 = 3 𝑥 +
20.000
𝑥
 , 0 < 𝑥 ≤ 200 . O caminhão de entregas é capaz de 
transportar, no máximo, 200 unidades do produto de cada vez. Determine o tamanho da encomenda 
que minimiza o custo. Use um programa de plotagem para confirmar o resultado. 
 
 
5) Entre 1960 e 1998, o número r de homens para cada 100 mulheres nos Estados Unidos pode ser 
modelado pela função 𝑟 = −0,00018 𝑡3 + 0,0154 𝑡2 − 0,366 𝑡 + 97,1 , onde t = 0 corresponde 
a 1960. 
(a) Determine o ano no qual o número r passou por um mínimo. 
(b) No ano do item (a) havia mais mulheres ou mais homens nos Estados Unidos? Justifique. 
 
Seção III.3 
 
1) Nos exercícios abaixo, determine todos os extremos relativos da função. Use o Teste da Derivada 
Segunda sempre que possível. 
(a) 𝑓(𝑥) = 6 𝑥 − 𝑥2 (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 5 𝑥2 + 7 𝑥 (c) 𝑓(𝑥) = 𝑥
2
3⁄ − 3 
(d) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 + 1 (e) 𝑓(𝑥) = 
𝑥
𝑥−1
 
 
2) Nos exercícios abaixo, determine os pontos de inflexão da curva. 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 9 𝑥2 + 24 𝑥 − 18 (b) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 (𝑥 − 5) 
(c) 𝑔(𝑥) = 2 𝑥4 − 8 𝑥3 + 12 𝑥2 + 12 𝑥 
 
Seção III.4 
 
1) Um fazendeiro tem 200 metros de cerca para 
construir dois currais retangulares adjacentes (veja 
figura). Que dimensões devem ser usadas para que 
a área cercada seja máxima? 
 
 
2) Um recinto cercado de tela para praticar golfe é aberto de um lado (veja 
figura). O volume do recinto é de 250 / 3 m3. Determine as dimensões que 
exijam a menor quantidade possível de tela. 
 
 
3) Um retângulo é limitado pelo eixo x e possui dois vértices sobre 
o semicírculo 𝑦 = √25 − 𝑥2 (veja figura). Que comprimento e 
largura deve ter o retângulo para que sua área seja máxima? 
 
 
 
4) Um engenheiro está projetando uma lata de refrigerante com a forma de um cilindro circular reto. 
Esse recipiente deve conter 330 ml. Determine as dimensões para as quais a quantidade de material 
usada seja a menor possível. 
 
5) Determine o ponto da curva da função que está mais próximo do ponto dado. 
(a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 ; (0 , 4) (b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 ; (2 ,
1
2
) 
 
6) A soma do comprimento com a cintura de um pacote a ser 
enviado pelo correio pode ser, no máximo, de 108 cm. 
Determine as dimensões do pacote para que o volume seja 
máximo. Suponha que as dimensões do pacote sejam x por x 
por y (veja a figura). 
 
 
7) Você está em um barco a 2 Km do ponto mais próximo da costa e deseja ir até o ponto Q, 3 Km 
costa abaixo e 1 Km terra adentro (veja figura). Pode remar a uma velocidade de 2 Km/h ou andar 
a uma velocidade de 4 Km/h. Em direção a que ponto da costa você deve remar para chegar ao 
ponto Q no menor tempo possível? 
 
 
8) Uma sala de ginástica tem a forma de um retângulo com um semicírculo em cada extremidade. 
O perímetro da sala deve ser uma pista de corrida de 200m. Determine as dimensões para as quais 
a área da região retangular é a maior possível. 
 
9) Uma viga de madeira tem uma seção reta de altura h e largura 
w (veja figura). A resistência S da viga é diretamente proporcional 
à largura e ao quadrado da altura. Quais são as dimensões da viga 
mais resistente que pode ser fabricada a partir de um tronco 
circular com 60 cm de diâmetro? 
 
 
 
10) Os pontos A e B são opostos um ao outro nas margens de um rio reto que mede 3 Km de largura. 
O ponto C está na mesma margem que B, mas a 6 Km, rio abaixo, de B. Uma companhia telefônica 
deseja estender um cabo de A a C. Se o custo por Km do cabo é 25 % mais caro sob a água do que 
em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia? 
 
11) Resolva o exercício 10 se o ponto C estiver somente a 3 Km, rio abaixo, do ponto B. 
 
12) Um fabricante pode ter um lucro de R$ 20,00 em cada unidade se forem produzidas no máximo 
800 unidades. O lucro decresce 20 centavos por unidade que ultrapasse a 800. Quantas unidades 
devem ser fabricadas por semana para se obter o lucro máximo? 
 
13) Corta-se um pedaço de arame de 2 m de comprimento em duas partes. Uma parte será dobrada 
em forma de círculo e a outra em uma forma quadrada. Como deverá ser cortado o arame para que 
(a) a soma das áreas das duas figuras seja tão pequena quanto possível e (b) a soma das áreas das 
duas figuras seja tão grande quanto possível. 
 
14) Encontre as dimensões do cilindro circular reto de maior superfície lateral que pode ser inscrito 
numa esfera de raio igual a 6 cm. 
 
Seção III.5 
 
1) Nos exercícios abaixo, calcule o limite, se existir. 
(a) lim
𝑥→0
𝑥
𝑡𝑔 𝑥
 (b) lim
𝑥→+∞
𝑠𝑒𝑛 
2
𝑥
1
𝑥
 (c) lim
𝑥→0+
𝑒−
1
𝑥⁄
𝑥
 
(d) lim
𝑥→
𝜋
2
 
ln(𝑠𝑒𝑛 𝑥)
(𝜋−2𝑥)2
 (e) lim
𝑡→0
𝑠𝑒𝑛2 𝑡
𝑠𝑒𝑛 𝑡2(f) lim
𝑥→0
cos 𝑥−cosh 𝑥
𝑥2
 
 
2) Um circuito elétrico tem uma resistência de R ohms, uma indutância de L henrys, e uma força 
eletromotriz de E volts, onde R, L e E são positivos. Se I ampères é a corrente no circuito t segundos 
após este ter sido ligado, então: 
𝐼 = 
𝐸
𝑅
 (1 − 𝑒− 
𝑅 𝑡
𝐿⁄ ) 
Para valores de t, E e L, encontre lim
𝑅→0+
𝐼 . 
 
3) Nos exercícios abaixo, calcule o limite, se existir. 
(a) lim
𝑥→+∞
𝑥2
𝑒𝑥
 (b) lim
𝑥→
1
2
−
ln(1−2 𝑥)
𝑡𝑔 𝜋 𝑥
 (c) lim
𝑥→0
𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 𝑥 
(d) lim
𝑥→+∞
𝑥
1
𝑥⁄ (e) lim
𝑥→0+
𝑥𝑠𝑒𝑛 𝑥 (f) lim
𝑥→+∞
(𝑥2 − √𝑥4 − 𝑥2 + 2)