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Universidade Federal de Ouro Preto Departamento de Matema´tica MTM122 - CA´LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Lista de Exerc´ıcios 21 Complementar 1. Derive: (a) y = 3x6 + 9x− 3 (b) y = x− 58 (c) y = 10 7 √ x6 − 4√ 2x (d) y = x4 5 √ x3 + 2 x6 √ x Respostas: (a) 18x5 + 9; (b) −5 8 x− 13 8 ; (c) 60 7 7 √ x + 2 x √ 2x ; (d) 23 5 x3 5 √ x3 − 13 x7 √ x 2. Identifique o seguinte limite com uma derivada e calcule-o, lim h→0 1− cos(h) h . Resposta: 0 3. Calcule lim x→3 x3000 − 33000 x− 3 . Como esse limite se relaciona com uma derivada? Resposta: 3000 · 32999 4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = x 5 2 −√x, no ponto de abscissa x = 64. Resposta: 20479x− 16y − 786496 = 0 5. Determine a equac¸a˜o da reta r tangente ao gra´fico de y = x2+3x+1 e que e´ paralela a` reta de equac¸a˜o y = 4x+7. Resposta: 16x− 4y + 3 = 0 6. Determine as retas tangentes horizontais ao gra´fico de equac¸a˜o y = x3 3 − 5x 2 2 + 6x+ 1. Resposta: y = 17 3 e y = 11 2 7. Determine a equac¸a˜o da reta r que passa pelo ponto (2,−1) e que e´ paralela a` reta tangente ao gra´fico de y = 3x2 − 2x+ 5 no ponto de abcissa x = 7. Resposta: y = 40x− 81 8. Determine a equac¸a˜o da reta perpendicular a` reta tangente ao gra´fico de y = x 5 2 − √x, no ponto de abscissa x = 64. Resposta: 16x+ 20479y = 670893064 9. Calcule a derivada das func¸o˜es, simplificando quando poss´ıvel: (a) f(x) = 3x6 − 2x. (b) g(x) = x+ 2 x2 − 4 . (c) h(x) = (x− 3)6. (d) f(x) = x x+ √ x+ 5 √ x2 . (e) g(x) = ln(xx). (f) f(x) = ex cos(x)− ex sen(x). (g) h(x) = ln(x) x . (h) g(x) = 2 sen(x) cos(x). Respostas: (a) 18x5−2; (b) − 1 (x− 2)2 ; (c) 6(x−3) 5; (d) 5 10 √ x+ 6 10( 5 √ x3 + 10 √ x+ 1)2 5 √ x2 ; (e) ln(x)+1; (f) −2ex sen(x); (g) 1− ln(x) x2 ; (h) 2 cos(2x) 10. Usando as regras do produto, do quociente e as identidades trigonome´tricas verifique as igualdades a seguir: 1Esta lista foi elaborada em parceria com a professora Monique Rafaella Anunciac¸a˜o de Oliveira - DEMAT/UFOP (a) [tg(x)] ′ = sec2(x). (b) [cotg(x)] ′ = − cossec2(x). (c) [sec(x)] ′ = sec(x) tg(x). (d) [cossec(x)] ′ = − cossec(x) cotg(x). 11. Calcule as derivadas a seguir usando a regra da cadeia: (a) g(x) = ( 2x− 1 x2 − x+ 1 )4 . (b) f(x) = tg2(x4). (c) h(x) = 2 sen2 ( cos(x3) ) . (d) f(x) = cos(3x) sen2(x)− 1 . (e) h(x) = x4 3 √ 2x4 + 1 . (f) g(x) = √ x+ x tg (√ 1/x ) . Respostas: (a) 4(2x− 1)3(2x2 − 2x− 1) (x2 − x+ 1)5 ; (b) 8x 3 tg(x4) sec2(x4); (c) −12x2 sen(cos(x3)) cos(cos(x3)) sen(x3); (d) 3 sen(3x) cos(x)− 2 cos(3x) sen(x) cos3(x) ; (e) 4x3(4x4 + 3) 3(2x4 + 1)4/3 ; (f) tg( √ 1/x)− 12 √ 1/x sec2( √ 1/x) + 1 2 √ x+ x tg( √ 1/x) 12. Usando a igualdade ab = eb ln(a) e a regra da cadeia calcule a derivada das func¸o˜es: (a) 3x. (b) −10x. (c) xx. (d) x √ x. (e) [cos(x)]x. (f) xcos(x). (g) [cos(x)] sen(x) . (h) xx x . Respostas: (a) 3x ln(3); (b) −10x ln(10); (c) xx[ln(x) + 1]; (d) x √ x−1/2[ln(x) + 2] 2 ; (e) [cos(x)]x[ln(cos(x))−x tg(x)]; (f) xcos(x)−1[cos(x)−x ln(x) sen(x)]; (g) [cos(x)]sen(x)[cos(x) ln(cos(x))−sen(x) tg(x)]; (h) xx x+x−1[x ln2(x) + x ln(x) + 1] 13. Ache a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x3 + y3 = 19 no ponto (−2, 3). Resposta: 4x+ 9y − 19 = 0 14. Calcule as derivadas: (a) y = arctg [sen(x)]. (b) y = arccos [ cos2(x) ] . (c) y = earcsen(2x). Respostas: (a) cos(x) sen2(x) + 1 ; (b) sen(2x)√ 1− cos4(x) ; (c) 2earcsen(2x)√ 1− 4x2 15. Ache dy dx por derivac¸ao impl´ıcita: (a) sec2(x) + tg2(y) = 4. (b) y cos(x) + x sen(y) = 1. (c) cossec ( x2 − y2)+ sec (x2 + y2) = xy. (d) y = arcsen(x) arccos(x) . (e) y = arctg[2x cos(x)]. (f) y = arctg( √ x+ √ 2x). Respostas: (a) y′ = − sec 2(x) tg(x) tg(y) sec2(y) ; (b) y′ = y sen(x)− sen(y) cos(x) + x cos(y) ; (c) y′ = y + 2x cossec(x2 − y2) cotg(x2 − y2)− 2x sec(x2 + y2) tg(x2 + y2) 2y cossec(x2 − y2) cotg(x2 − y2) + 2y sec(x2 + y2) tg(x2 + y2)− x ; (d) arcsen(x) + arccos(x)√ 1− x2 arccos2(x) ; (e) 2[cos(x)− x sen(x)] 4x2 cos2(x) + 1 ; (f) 1 + √ 2x 2 √ 2x(x+ √ 2x)(x+ √ 2x+ 1) 16. Considere a curva ln ∣∣∣x+√x2 − 25∣∣∣+ y − ln(5) = 0. (a) Verifique que o ponto (−13, ln(5)) pertence a esta curva. (b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a curva neste ponto. Resposta: (b) x+ 12y − 12 ln(5) + 13 = 0 17. Considere a curva y cos (pixy)− ln (xy)2 + xy = 0. (a) Verifique que o ponto (1, 1) pertence a esta curva. (b) Encontre a equac¸a˜o da reta tangente a curva neste ponto. Resposta: (b) x+ 3y − 4 = 0 18. Verifique: (a) {ln [sec(x) + tg(x)]}′ = sec(x). (b) {ln [cossec(x) + cotg(x)]}′ = cossec(x). (c) [log10(x)] ′ = log10(e) x . (d) [loga(x)] ′ = loga(e) x , para qualquer valor de a > 0 fixo. 19. Derive: (a) y = log10(x) x . (b) y = log4 ( x+ 1 x− 1 ) . (c) y = log16 [log4 (2x+ 1)]. (d) y = [ln(x)] ln(x) − [log2e(x)]log2e(x). (e) 2xy − ex sen(x)+cos(x) + 2 = 0. Respostas: (a) 1− ln(x) x2 ln(10) ; (b) 2 (1− x2) ln(4) ; (c) 2 (2x+ 1) ln(16) ln(2x+ 1) ; (d) [ln(x)]ln(x)[ln(ln(x)) + 1] x − [log2e(x)] log2e(x)[ln(log2e(x)) + 1] x[ln(2) + 1] ; (e) [x2 cos(x)− 1]ex sen(x)+cos(x) + 2 2x2 20. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de y = 4 arccos(2x) no ponto de abscissa x = 1/4. Resposta: 48x+ √ 3y − 4pi √ 3− 12 = 0 21. Determine a equac¸a˜o da reta paralela a` reta tangente ao gra´fico de yx = log4(x) no ponto de abscissa x = 1/4 e passando pela origem. Resposta: y = 16[1 + ln(4)] ln(4) x 22. Determine os valores de b para que a reta tangente a` curva √ xy + x+ y + b [ cos (pixy 2 )] + x+ 1 = 0 no ponto (1, 1) tenha inclinac¸a˜o zero. Resposta: 4− 3pi pi ;−4 + 3pi pi 23. Calcule a derivada indicada: (a) y = −15x12 + 5x10 − 9x6 − x5 + x4 − 289x3 − 102x2 + 2x− 167, d 49y dx49 . (b) y = sen(x), d133y dx133 . (c) y = sen(x), dny dxn com n = 4k, k ∈ Z. (d) y = sen(x), dny dxn com n = 4k + 1, k ∈ Z (e) y = sen(x), dny dxn com n = 4k + 2, k ∈ Z (f) y = sen(x), dny dxn com n = 4k + 3, k ∈ Z (g) y = cos(x), dny dxn com n = 4k, k ∈ Z. (h) y = cos(x), dny dxn com n = 4k + 1, k ∈ Z (i) y = cos(x), dny dxn com n = 4k + 2, k ∈ Z (j) y = cos(x), dny dxn com n = 4k + 3, k ∈ Z (k) y = 1 x , dny dxn . Respostas: (a) 0; (b) cos(x); (c) sen(x); (d) cos(x); (e) − sen(x); (f) − cos(x); (g) cos(x); (h) − sen(x); (i) − cos(x); (j) sen(x); (k) (−1) nn! xn+1 24. Calcule a n-e´sima derivada de ln(x). Existe alguma semelhanc¸a com o item (23k) do exerc´ıcio anterior? Resposta: (−1)n−1(n− 1)! xn 25. Encontre d2y dx2 : (a) y = arctg(arcsen(x)). (b) y = ln(sec(x) + tg(x)). (c) y = xx. (d) y = xx x . (e) y = arcsen( √ 1− x2). (f) y = arcsen(e2x − 1). Respostas: (a) x[1 + arcsen2(x)]− 2√1− x2 arcsen(x) [1 + arcsen2(x) √ 1− x2]2√1− x2 ; (b) sec(x) tg(x); (c) x x { [ln(x) + 1]2 + 1 x } ; (d) xx x xx { xx[ln(x)(ln(x) + 1)]2 + ln(x+ 1)[ln(x)(ln(x) + 1) + 1 x ] + 1 x [2 ln(x) + 1− 1 x ] } ; (e) − √ x2 (1− x2)3/2 ; (f) 4 √−e2x(e2x − 2) (e2x − 2)2
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