Exercícios resolvidos Eletromagnetismo Equação de Poisson e de Laplace

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
CAPÍTULO 06 
 
EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 
 
 
6.1) Seja o potencial no espaço livre (vácuo) expresso por yzx8V 2= volts. 
a) Determinar o campo elétrico ( PE
� ) em P (2, -1, 3); 
b) Determinar a densidade volumétrica de carga (ρv) em P; 
c) Determinar a equação da superfície equipotencial que passa por P; 
d) Verificar se a função V acima satisfaz a Equação de Laplace. 
 
Resolução: 
 
a) Sabe -se que V∇−=E
�
 (01) 
 
� Cálculo do Gradiente (coordenadas cartesianas): 
 
 z
2
y
2
xzyx yx8zx8xyz16V
z
V
y
V
x
VV aaaaaa ������ ++=∇⇒
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
z
2
y
2
x yx8zx8xyz16 aaaE
���
�
−−−=
 (03) 
 Substituindo as coordenadas de P em (03), temos o campo elétrico PE
�
: 
 
 
[ ]
[ ]
m
V
 32 9696
 128 32831216
zyxP
z
2
y
2
xP
aaaE
aaaE
���
�
���
�
+−=
−⋅⋅−+⋅⋅−+⋅−⋅⋅−= )]([][)(
 
 
 
b) ( ) ( ) VV 2ovooov ∇−=⇒∇−•∇=•∇=•∇=•∇= ερεεερ EED (01) 
 
� Cálculo do Laplaciano (coordenadas cartesianas): 
 
 
( ) ( ) ( ) 00yz16Vxy16
z
xz16
y
xyz16
x
V
z
V
zy
V
yx
V
x
V
z
V
y
V
x
V
V
22
2
2
2
2
2
2
22
++=∇⇒
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇






∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
∂
∂
=∇⇒
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
 
 
 Substituindo as coordenadas de P em (02), temos: 
 
 48V3116V 2
2
−=∇⇒⋅−⋅=∇ )( (03) 
 (02) 
 (02) 
 
 
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Substituindo (03) em (01), temos: 
 
 



=⇒−⋅×−= − 3v
12
v
m
pC
 425 48108548 ρρ )(, 
 
c) O potencial em P(2;-1;3),é dado por: [ ]V 96V3128V P2P −=⇒⋅−⋅⋅= )( 
 
 Logo, a equação da superfície equipotencial que passa por P é: 
 
 012yzx yzx896VV 22P =+⇒=−⇒= 
 
d) A equação não satisfaz a Equação de Laplace, pois 0v ≠ρ (item b), indicando que a região 
contém cargas livres. Portanto, 0V
2
≠∇ . 
 
6.2) Planos condutores em φ = 10o e φ = 0o, em coordenadas cilíndricas, possuem tensões de 
75 volts e zero, respectivamente. Obtenha D na região entre os planos que contém um 
material para o qual εR = 1,65. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 As superfícies equipotenciais para φ constante são planos radiais conforme mostrado na figura 
anterior. 
 Equação de Laplace: 0 ; 0V1V0V 2
2
2
22 ≠==∇⇒=∇ ρ
∂φ
∂
ρ
�
, pois )(φfV = . 
 
 0V 0V1V 2
2
2
2
2
2
=⇒==∇
∂φ
∂
∂φ
∂
ρ
�
 
 
 Integrando pela 1a vez: 
 
 AV =∂φ
∂
 
 
 
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 Integrando pela 2a vez: 
 
 BAV += φ (01) 
 Condições de Contorno: 







=⇒⋅==⇒°=
=⇒=⇒=
 
1350A 
18
A75V10 Em
0B 0V0 Em
pi
piφ
φ
 
 
 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [ ]V 1350V φ
pi
= (04) 
 
� Cálculo de E : 
 
 
[ ]mV 1350
13501V1V
φ
φφ
piρ
φ
piφρφρ
aE
aEaEE
−
=






∂
∂
−=⇒
∂
∂
−=⇒∇−=
 
 
� Cálculo de D : 
 
 



−
=






−⋅⋅×=⇒=⇒= −
2
12
Ro
m
C
 
286
 
135065,110854,8
η
ρ
piρ
εεε
φ
φ
aD
aDEDED
�
�
�����
,
 
 
 
6.3) Sendo o potencial V função somente da coordenada cilíndrica ρ (como num cabo 
coaxial), determinar: 
a) a expressão matemática de, sendo V =V0 em ρ = a e V = 0 em ρ = b (b > a); 
b) a expressão da capacitância C, com as mesmas condições do item (a); 
c) o valor de VP em P(2,1,3) se V = 50 V em a = 2 m e V = 20 V em b = 3 m. 
 
Resolução: 
a) Segundo a Equação de Laplace: 0V1V0V 22 =





=∇⇒=∇ ∂ρ
ρ∂
∂ρ
∂
ρ
�
, pois )(ρfV = . 
 BAVAV0V +=⇒=⇒=




 ρ∂ρ
ρ∂
∂ρ
ρ∂
∂ρ
∂
ln (01) 
 Condições de Contorno:
















⋅−
=






=
⇒




+=
+=
b
a
b
B
b
a
Bb
Ba
ln
ln
ln
ln
ln
o
o
o
V
V
A
A0
AV
 (02) 
 (02) 
 (03) 
 
 
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 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 












⋅=
a
b
b
ln
ln
ρ
oVV 
 
b) Sabe-se que 
oV
QC = (01) 
 Porém, SSQ ρ⋅= , onde a)== ρρ (DNS (02) 
 
� Cálculo de E : 
 ρρρ ρ
ρ
ρ
∂ρ
∂
aEaEaEE






⋅=⇒
−
⋅






−
=⇒−=⇒∇−=
a
bb
b
a
b
2
lnln
1VVVV oo 
� Cálculo de a)=ρ(DN : 
 






==∴
==
=
===
a
b
a
a
a)
a)a)a)
ln
D
D
(
(((
o
NS
N
V 
 para de módulo o é E onde ,E 
ερ
ρε
ρ
ρρρ E
 
 
 Substituindo (03) em (02), temos: 
 
 






=⇒⋅






=
a
b
a
a
b
a lnln
oo VL 2QL 2V Q εpipiε (04) 
 
 Substituindo (04) em (01), temos: 
 
 






=
a
b
ln
L 2C εpi 
 
c) 












⋅=
a
b
b
ln
ln
ρ
oVV , onde a = 2 m e b = 3 m. (01) 
 
� Cálculo de VO: 
 
 [ ]V 30V2050V oo =⇒−= (02) 
 
� Cálculo de ρ: 
 
 512yx 2222 =⇒+=⇒+= ρρρ (03) 
 (03) 
 
 
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 Substituindo (02) e (03) em (01), temos: 
 
 [ ]V 7421V
2
3
5
3
30V ,
ln
ln
=⇒












⋅= (Para V = 0 em ρ = a) 
 
 VP = 20 + 21,74 ⇒ VP = 41,74 [V] (Para V = 20 V em ρ = a) 
 
6.4) Dado o potencial 2r
50V θsen= , r≠0 [V], no espaço livre. 
a) Verifique se V satisfaz a equação de Laplace; 
b) Encontrar a carga total armazenada dentro da casca esférica (1 < r < 2). 
 
Resolução: 
 
a) Cálculo do Laplaciano (coordenadas esféricas): 
 
 
0
r
50V
r
50V2
r
50V
22
r
50V2
r
50
r
100V
2
r
50
r
1
r
1100
r
1V
0
r
1
r
50
r
12
r
50
r
rr
1V
V
r
1V
r
1
r
V
r
rr
1V
4
2
2
4
222
4
2
4
2
44
2
2222
2
22223
2
2
2
2
2
222
2
2
2
≠=∇








+⋅=∇⇒








−+⋅=∇





 +⋅=∇⇒⋅+⋅=∇
⋅+




 −
⋅⋅−=∇
⋅+





+





−⋅=∇
+




+





=∇
θ
θ
θθ
θ
θ
θ
θθ
θ
θθ
θ
θθ
θ
θ
θ
θ
θθ∂θ
∂
θ
θ
∂
∂
∂φ
∂
θ∂θ
∂θ∂θ
∂
θ∂
∂
∂
∂
sen
sen
cos
sen
sen
sen
sen
cos
sen
sen
cos
sen
sen
cos
sen
cos
sen
sen
sen
cossen
sen
)(
sen
sen
sen
sen
 
 
b) 1o modo: 
 Equação de Poisson: 
o
v2V
ε
ρ
−=∇ 
 ∫=
vol
vdvQ ρ , onde: 







=


−
=
φθθ
θ
ερ
d drd rdv
Poisson) de Equacão a (Segundo 
m
C
 
r
50
2
34
o
v
sen
sen
 
 
 ∫∫∫∫
===
⋅⋅⋅−=⇒⋅
−
=
pi
φ
pi
θ
φθεφθθ
θ
ε 2
00
2
1r
2o
vol
2
4
o dd
r
dr50Qd drd r
r
50Q sen
sen
 
⇒ V não satisfaz a Equação de Laplace 
 
 
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[ ]C 50Q1
2
1100Q2
r
150Q o2o2
2
1r
o εpiεpipipiε −=⇒





−⋅=⇒⋅⋅




−
⋅−=
=
 
 
 2o modo: [ ]V 
r
50V 2
θsen
= 
� Cálculo de E : 
 
 
[ ]
m
V
 
r
50
r
100
V
r
1V
r
1
r
VV
3r3
r
θ
φθ
θθ
φθθ
aaE
aaaE
cossen
sen
−=
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−=∇−=
 
 
� Cálculo de D : 
 
 




−== 23
o
r3
o
o
m
C
 
r
50
r
100
θ
θεθε
ε aaED
cossen
 (02) 
 
� Cálculo de vρ : 
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
( )



−
=⇒




 +⋅
−
=
⋅−
−
=
−⋅
−
+




 −
⋅⋅=
+
∂
∂





 −
⋅+





⋅
∂
∂
⋅=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇=
34
o
v4
o
v
4
o
4
o
v
22
4
o
22
o
v
3
o
3
2
o2v
r
2
2v
m
C
 
r
5022
r
50
2
r
50
r
100
r
50
r
1
r
100
0
r
50
r
1
r
1
r
r
100
r
1
r
1
r
1
r
rr
1
θ
ερ
θ
θθερ
θ
θ
εθερ
θθ
θ
εθερ
θθ
θ
ε
θ
θερ
φθθθθρ φθ
sensen
cos
sen
cos
sen
sen
sencos
sen
sen
sencos
sen
sen
D
sen
senD
sen
DD
 
 
� Cálculo de Q: 
 ∫=
vol
vdvQ ρ , onde: 







=
−
=
φθθ
θ
ερ
d drd rdv
 
r
50
2
4
o
v
sen
sen
 
 
[ ] [ ]C 374Qou C 50Q
1
2
1100Q2
r
150Q
dd
r
dr50Qd drd r
r
50Q
o
2
o
2
2
1r
o
2
00
2
1r
2o
vol
2
4
o
ηεpi
εpipipiε
φθεφθθ
θ
ε pi
φ
pi
θ
,
sen
sen
−=−=∴




−⋅=⇒⋅⋅


−
⋅−=
⋅⋅⋅−=⇒⋅
−
=
=
===
∫∫∫∫
 
 (03) 
 
 
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 3o modo: 
 
 ∫ •=
S
Q dSD , onde:







−=
=
θ
θεθε
φθθ
aaD
adS
3
o
r3
o
r
2
r
50
r
100
 d d r
cossen
sen
 
 
 
r
100Q002
4
1
2r
200Q
2
4
1
2r
200Q d 2
2
1
2
12
r
100Q
 d 2
r
100Qd d r
r
100Q
o
2
o
0
o
0
o
0
2o
2
0 0
2
3
o
εpi
pi
pipiε
θθpiεθθpiε
θθpiεφθθθε
pi
θ
pi
θ
pi
θ
pi
φ
pi
θ
=⇒



−−−⋅=




−⋅=⇒





−⋅⋅=
⋅⋅=⇒⋅=
=
=
== =
∫
∫∫ ∫
sen
sencos
sensen
sen
 
 
 Em [ ]C 100Q1r o2εpi=⇒= 
 Em [ ]C 50Q2r o2εpi=⇒= 
 Para [ ] [ ]C -4,37Qou C 50Q 10050Q2r1 o2o2o2 ηεpiεpiεpi =−=⇒−=⇒<< 
 
6.5) Dois cilindros condutores coaxiais de raios a = 2 cm e b = 6 cm apresentam potenciais de 
100 V e de 0 V, respectivamente. A região entre os cilindros é preenchida com um 
dielétrico perfeito, porém, não homogêneo, no qual ),/(, 04030R += ρε . Determinar 
para esta região: 
a) o potencial elétrico V( )ρ ; 
b) o campo elétrico )(ρE� ; 
c) a densidade de fluxo elétrico )(ρD� ; 
d) a capacitância C por metro de comprimento. 
 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ⇒= )(ρε fR As Equações de Laplace e de Poisson não podem ser usadas diretamente; 
 
� Deve-se calcular uma relação a partir da forma puntual de Lei de Gauss, da definição de D e 
da relação do Gradiente. Portanto: 
 
 
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( ) v
v
V 
.Gradiente) do (Relacão V
 de (Definicão 
Gauss); de Lei da Puntual (Forma 
ρεε
ρ
−=∇⋅•∇⇒







∇−=
=
=•∇
E
DED
D
); (01) 
 
 No dielétrico perfeito, ρv = 0 e ε = εoεR (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
( ) 0V R =∇⋅•∇ ε (03) 
 
 Desenvolvendo (03), temos: 
 
 
0V
040
300V
040
301
0a
d
dV
040
300a
d
dV
R
=





∂
∂
⋅
+∂
∂
⇒=





∂
∂
⋅
+
⋅
∂
∂
=













⋅





+
•∇⇒=












⋅•∇
ρρ
ρ
ρρρ
ρ
ρρ
ρ
ρρ
ρ
ρ
ε
,
,
,
,
,
, ����
 
 
 Integrando pela 1a vez: 
 
 
( ) ( ) ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρρρ
ρ ∂+=∂⇒+=
∂
∂
⇒=
∂
∂
⋅
+ 30
040AV
30
040AVAV
040
30
,
,
,
,
,
,
 
 
 Integrando pela 2a vez: 
 
 
( ) [ ] B040
30
AVd
30
040AV ++=⇒+= ∫ ρρρρ
ρ
ln,
,,
,
 (04) 
 
 Condições de Contorno: 
[ ]
[ ]




++==⇒=
++==⇒=
 B06,004,006,0
30
A0Vcm 6 Em
 B02,004,002,0
30
A100Vcm 2 Em
ln
,
ln
,
ρ
ρ
 
 
 Fazendo (05) – (06), temos: 
 
 4357A
060
02,004,004,0
30
A100 ,
,
ln
,
−=⇒





+−= (07) 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 [ ] 662B 06004,006,0
30
4357B ,,ln
,
,
−=⇒+
−
= (08) 
 
 Substituindo (07) e (08) em (04), temos: 
 
 [ ] [ ]V 6626547 341191V 662040
30
4357V ,ln,,,ln,
,
,
−−−=⇒−+
−
= ρρρρ 
 (05) 
 (06) 
 
 
– Página 6.9 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
b) Cálculo do Campo Elétrico )(ρE� : 
 
[ ]mV 0401341191
647341191VV
ρ
ρρ
ρ
ρρ
aE
aEaEE












+=






+=⇒
∂
∂
−=⇒∇−=
,
,
,
,
 
 
c) Cálculo da Densidade de Fluxo Elétrico )(ρD : 
 
 ∫∫ ==•
S
Sint
S
dSQ ρdSD 
 ρρ
ρ
piρρpi aD L 2L 2 SS
a
a
⋅
=⇒⋅⋅=⋅⋅D (01) 
 
 Mas 0,02m para de módulo o é E onde ,E 020020020NS === === ρερ ρρρ E))) ,(,(,(D 
 
 




=∴












+⋅





+
⋅=⇒=
=
=
2S
oS020020
RoS
m
C
 22158
020
0401341191
040020
30E 
ηρ
ερεερ ρρ
,
,
,
,
,,
,
,(
),(
)
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 



=⇒
⋅
= 2m
C
 
163
 
02022158
 
η
ρρ ρρ
aDaD ,,, 
 
d) Cálculo da capacitância C por metro de comprimento: 
 
 



=⇒
⋅⋅⋅
=⇒
⋅
=⇒= m
pF
 8198
L
C
100
L020222158C
V
S
C
V
QC
0
S
0
,
,, piρ
 
 
6.6) Uma região entre dois cilindros condutores concêntricos com raios a = 2 cm e b = 5 cm 
contém uma densidade volumétrica de carga uniforme 8V 10−−=ρ C/m3. Se o campo 
elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro interno, determinar: 
a) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Equação de Poisson; 
b) A expressão matemática do potencial V na região, partindo da Lei de Gauss; 
c) O valor do potencial V no cilindro externo. 
Assumir a permissividade do meio como sendo a do vácuo. 
 
Resolução: 
 
a) Equação de Poisson: 
o
v2 V1V
ε
ρ
ρ
ρ
ρρ−=





∂
∂
∂
∂
⋅=∇ 
 Integrando pela 1a vez: 
 
 
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
ρ A
2
V
 A
2
V
o
v
2
o
v +⋅−=
∂
∂
⇒+⋅−=
∂
∂
 (01) 
(Lei de Gauss para uma Superfície Gaussiana Cilíndrica 
de raio 2<ρ<6 cm) 
 (02) 
 
 
– Página 6.10 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
� Porém, sabe-se que: EE −=
∂
∂
⇒
∂
∂
−==⇒
∂
∂
−=⇒∇−=
ρρρ ρ
V
 
V
 
VV EaEE (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
A
2
V
 
o
v +⋅−=−=
∂
∂
E (03) 
 
 1a Condição de Contorno: 0 =E para ρ = a. (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 
2
o
v
o
v
2
A A
2
0 a
a
a ⋅=⇒+⋅−=
ε
ρ
ε
ρ
 (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 
ρε
ρρ
ε
ρ
ρ
2
o
v
o
v
22
V
 
a
⋅+⋅−=
∂
∂
 (06) 
 
 Integrando pela 2a vez: 
 
 B
222
V 2
o
v
2
o
v +⋅+⋅−= ρ
ε
ρρ
ε
ρ
lna (07) 
 
 2a Condição de Contorno: 0V = para ρ = a. (08) 
 
 Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 aaaaa
a
lnln 2
o
v2
o
v2
o
v
2
o
v
24
B B
222
0 ⋅−⋅=⇒+⋅+⋅−=
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
 (09) 
 
 Substituindo (09) em (07), temos: 
 
 
[ ]V 
24
V
2424
V
2
o
v22
o
v
2
o
v2
o
v2
o
v2
o
v






⋅+−⋅=
⋅−⋅+⋅+⋅−=
a
aa
aaaa
ρ
ε
ρρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρρ
ε
ρρ
ε
ρ
ln)(
lnln
 
 
 
 
 
 
 
 
– Página 6.11 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Lei de Gauss: ∫∫ ==•
S
Sint
S
dSQ ρdSD 
 












−⋅=∴








−⋅=⇒⋅−⋅=⋅⋅
2
2
v
2
v22
v
m
C
 
2
 
2
 L L 2
ρρ
ρρ
ρ
ρρpipiρρρpi
aD a
a
a D)(D
 
 
� Cálculo do Campo Elétrico E : 
 
 [ ]mV 2
2
o
v
o
ρρ
ρ
ε
ρ
ε
aEDE








−⋅=⇒=
a
 
 
� Cálculo de V: 
 
[ ]V 
24
V
222
V
22
V
 d 
2
VV
o
2
v22
o
v
2
2
2
2
o
v2
2
o
v
2
o
v
A
B
AB
a
a
a
aa
a
aa
a
a
a
ρ
ε
ρρ
ε
ρ
ρρ
ε
ρρρ
ε
ρ
ρ
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ln)(
lnlnln
⋅+−⋅=
















−−








−⋅−=⇒








−⋅−=
•








−⋅−=⇒•−=
=
=
∫∫ aadLE
 
 
c) No cilindro externo, ρ = b = 0,05 m . 
 
 [ ]V 3860V 20705930V
02,0
050
1085482
02,01005002,0
1085484
10V
12
28
22
12
8
,,,
,
ln
,
)(
),(
,
=⇒−=
⋅
⋅⋅
⋅−
+−⋅
⋅⋅
−
=∴
−
−
−
−
 
 
 
– Página 6.12 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
6.7) Dois cilindros condutores, circulares retos, coaxiais, acham-se em ρ = a = 10 mm e 
ρ = b = 30 mm, com tensões de 10 volts no cilindro interno e Vo no cilindro externo. Se [ ]
m
KV
 10 ρaE
�
�
−= em ρ = 20 mm, determinar: 
a) A expressão do potencial V em função de ρ por Laplace; 
b) O valor de Vo; 
c)A densidade de cargas do condutor externo. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Equação de Laplace: 0V1V0V 22 =





=∇⇒=∇ ∂ρ
ρ∂
∂ρ
∂
ρ
�
, pois )(ρfV = . 
 BAV AV0V +=⇒=⇒=




 ρ∂ρ
ρ∂
∂ρ
ρ∂
∂ρ
∂
ln (01) 
 
 1a Condição de Contorno: V = 10 V em ρ = 10 mm . (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 ( ) B0,01 A10 += ln (03) 
 
 Porém, sabe-se que [ ]
m
KV
 10 ρaE
�
�
−= ρ = 20 mm, oque indica que: 
 
 
ρ
ρ
ρ
ρρ
aE
aEE
200
200A 
020
A10000AAV
−=∴
=⇒−=−⇒−=⇒−=⇒∇−=
,
E
 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 ( ) 931B B0,01 20010 =⇒+= ln (05) 
 
 Substituindo (04) e (05) em (01), temos: 
 
 [ ]V 931200V BAV +=⇒+= ρρ lnln (06) 
 (02) 
 
 
– Página 6.13 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
b) 2a Condição de Contorno: V = Vo em ρ = 30 mm . (01) 
 
 Substituindo a equação (01) do item (b) na equação (06) do item (a), temos: 
 
 ( ) [ ]V 7229V 931030200V931200V oo ,,lnln =⇒+=⇒+= ρ 
 
c) )) 030030NS ,(,( ED == == ρρ ερ , onde )030,(E =ρ é o módulo de E (da Equação (04) do 
item (a)) para ρ = 0,03 m . 
 
 




−=∴





 −
⋅⋅=⇒




 −
⋅=⇒= −
=
2S
12
SoS030oS
m
C
 02759
030
200108548200
ηρ
ρ
ρ
ερερ ρ
,
,
,E ,( )
 
 
6.8) Um cabo coaxial possui seu condutor interno com cargas uniformemente distribuída de 
1ηC/m. Os raios dos condutores interno e externo são a = 1 cm e b = 4 cm, 
respectivamente. Entre o condutor interno e o externo são colocadas duas camadas de 
material dielétrico possuindo, respectivamente, permissividades relativas εR1 = 2 e εR2, e 
espessuras w1 e w2. Determinar εR2, w1 e w2, de modo que a diferença de potencial de cada 
camada seja a mesma e a capacitância total do cabo seja de 75 pF/m. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Cálculo da Capacitância: 
 Equação de Laplace: 0V1V0V 2
2
=





=∇⇒=∇ ∂ρ
ρ∂
∂ρ
∂
ρ
�
, pois )(ρfV = . 
 BAV AV0V +=⇒=⇒=




 ρ∂ρ
ρ∂
∂ρ
ρ∂
∂ρ
∂
ln (01) 
 
 Condições de Contorno: 
 
 Seja 




+=⇒==
+=⇒==
 BAV em VV
BA0 em 0V
oo aa
bb
ln
ln
ρ
ρ
 
 
 Fazendo (03) – (02),temos: 
 ( )






=⇒−=
b
a
ba
ln
lnln oo
V
A AV (04) 
 (02) 
 (03) 
 
 
– Página 6.14 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
 Substituindo (04) em (02), temos: 
 
 






⋅−
=⇒+⋅






=
b
a
b
b
b
a
ln
ln
ln
ln
oo VBB
V
0 (05) 
 
 Substituindo (04) e (05) em (01), temos: 
 
 
( ) [ ]V VV VV
VV
VBAV
oo
oo






⋅






=⇒−⋅






=






⋅
−⋅






=⇒+=
b
b
a
b
b
a
b
a
b
b
a
ρρ
ρρ
ln
ln
lnln
ln
ln
ln
ln
ln
ln
 
 
 
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
m
F
 
2
L
C
ou F L 2C
V
QC
C 
LV 2Q
2
V QdS V QdSQ
m
C
 
V 
0 pois ,0
V 
m
C
 
V 
m
V
 
V
 
1
VVV
o
o
o
Interno Cil.
S 
o
S
2
o
o
N
2
o
oo






=






=⇒=






=
⋅






⋅
=⇒






⋅
=⇒=










⋅
=∴
<





⇒<>






⋅
−
=⇒==






















⋅
−
=⇒=


















⋅−
=⇒












⋅






−
=⇒
∂
∂
−=⇒∇−=
∫∫












=
=
a
b
a
b
a
b
aL
a
b
a
a
b
a
a
b
a
b
aba
b
a
a
b
a
b
a
b
b
b
a
S
S
Sa
a
S
lnln
ln
lnln
ln
ln
ln
D
ln
lnln
piεpiε
piε
pi
εερ
ερ
ερρ
ρ
ε
ε
ρρρ
ρ
ρ
ρ
ρρρ
D
aDED
aEaEaEE
 
 
 (06) 
 
 
– Página 6.15 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
 Dados: 




















=
==
==
=
=−=+
==
m
pF
 75
L
C
QQQ
2
VVV
2
cm3
cm4 , cm1
T
21
o
21
1R ;
;
ε
abww
ba
21
 (07) 
 
 De (06), temos: 
 
 
2
2
1
2Ro2
1
1
1
1Ro1
V
Q
b
2
L
C
e
V
Q2
L
C
=






+
=
=





 +
=
wa
a
wa
ln
ln
εpiε
εpiε
 
 
 De (07), temos: 
 
 CCC
QQQ
2
V
VV
21
21
o
21
==⇒







==
==
 
 
 De acordo com a figura, CT é a capacitância equivalente do arranjo série de C1 e C2. 
 
 Portanto, podemos escrever: 
 
 TT
2
T
21
21
T C2C2
CC
C2
CC
CC
CCC =⇒=⇒=⇒
+
⋅
= (10) 
 
 Substituindo (10) em (08), temos: 
 
 
cm11m010970
01,0
01,0
74070
01,0
01,0
75
85482
01,0
01,0
10752
01,0
01,0
21085482
L
C22
L
C
L
C
11
74070111
12
1
12
T
1
1Ro1
,,
e,ln
,
ln
ln
,
ln
,
≅⇒=∴
=
+
⇒=




 +
⇒
⋅
=




 +
⋅⋅=





 +
⋅⋅⋅
⇒=





 +
==
−
−
ww
www
w
a
wa
pi
piεpiε
 
 (08) 
 (09) 
 (11) 
 
 
– Página 6.16 – 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0066
 
 –– EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE 
 De (07), sabemos que w1 + w2 = 3cm. Portanto, w2 = 1,9 cm (12) 
 
 Substituindo (11) em (09), temos: 
 
 
( ) 7361 
8548
9041 75
10752
011001,0
040
1085482
L
C2
b
2
L
C
L
C
2R2R
122R
12
T
1
2Ro2
,
,
,ln
,
,
ln
,
ln
=⇒
⋅
⋅
=
⋅⋅=






+
⋅⋅⋅
⇒=






+
==
−
−
ε
pi
ε
εpiεpiε
wa