aritmetica basica

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Aritme´tica ba´sica.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
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Suma´rio
1 Aritme´tica Ba´sica 3
1.0.1 Prioridade das operac¸o˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1 Ordem das operac¸o˜es PEMDAS, quanto da´ 48÷ 2× (9+ 3)? . . . . . . 4
1.2 Definic¸a˜o dos sı´mbolos na adic¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Problemas aritme´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
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Capı´tulo 1
Aritme´tica Ba´sica
1.0.1 Prioridade das operac¸o˜es
m Definic¸a˜o 1 (Prioridade de operac¸o˜es). Tomamos como convenc¸a˜o de que sa˜o
dadas prioridades para operac¸o˜es multiplicac¸a˜o e divisa˜o em relac¸a˜o a adic¸a˜o e
subtrac¸a˜o . Para se aplicar as operac¸o˜es de adic¸a˜o ou subtrac¸a˜o como prioridade,
separamos das outras operac¸o˜es com pareˆnteses ou outra forma de demarcac¸a˜o .
Z Exemplo 1. Por exemplo, temos que
2+ 3.4 = 2+ 12 = 14
e na˜o
2+ 3.4 = 5.4 = 20
pois a prioridade da operac¸a˜o e´ para a multiplicac¸a˜o .
Por convenc¸a˜o a maneira de se escrever a segunda corretamente seria
(2+ 3)4 = 5.4 = 20.
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CAPI´TULO 1. ARITME´TICA BA´SICA 4
Z Exemplo 2. Calcule
6− 1.0+ 2÷ 2.
A prioridade e´ para operac¸o˜es de divisa˜o e multiplicac¸a˜o, 1.0 = 0, 2 ÷ 2 = 1,
logo temos
6− 1.0+ 2÷ 2 = 6− 0+ 1 = 7.
1.1 Ordem das operac¸o˜es PEMDAS, quanto da´ 48 ÷
2× (9+ 3)?
Existe pelo menos uma ordem com as quais se pode convencionar as operac¸o˜es
aritme´ticas, uma de tais ordens e´ chamada de PEMDAS. Outra ordem de operac¸o˜es
poderia ser escolhida, a PEMDAS na˜o e´ uniformemente usada ou conhecida. Pore´m
vamos adotar esse tipo de ordenac¸a˜o.
Apresentamos na lista a seguir o significado de cada uma das letras em PEMDAS,
a ordem de apresentac¸a˜o tambe´m fornece a ordem convencionada para as operac¸o˜es.
• P-Pareˆnteses .
• E-Expoentes.
• Multiplicac¸a˜o e divisa˜o (com mesma importaˆncia). Na ordem da esquerda para
direita.
• Adic¸a˜o e subtrac¸a˜o (com mesmo importaˆncia). Na ordem da esquerda para
direita.
As letras MD e AS sa˜o apenas para ajudar a memorizar a ordem das operac¸o˜es e na˜o
indicam que uma possua maior prioridade do que outra (adic¸a˜o e subtrac¸a˜o possuem
mesma prioridade, assim como multiplicac¸a˜o e divisa˜o possuem mesma prioridade,
considerando apenas a ordenac¸a˜o de fazer as operac¸o˜es da esquerda para a direita
conforme elas aparecem).
CAPI´TULO 1. ARITME´TICA BA´SICA 5
Z Exemplo 3. Calcule
48÷ 2× (9+ 3).
Usamos a regra PEMDAS .
Primeiro efetuamos a conta dentro dos pareˆnteses, por "P"em PEMDAS. Logo
ficamos com
48÷ 2× (12) =
Agora seguimos da esquerda para a direita e por isso fazemos a divisa˜o, ficando
com
= 24× 12 = 288.
Se fosse usado outro sistema de prioridades em operac¸o˜es o resultado poderia
ser diferente. O esquema de PEMDAS na˜o e´ ta˜o amplamente conhecido, de modo
a evitar ambiguidades e´ aconselha´vel o uso pareˆnteses.
Z Exemplo 4. Calcule
6÷ 2× (1+ 3).
Pela PEMDAS, primeiro fazemos a conta entre pareˆnteses, resultando em
6÷ 2× (4),
depois seguimos da esquerda para direita, resultando em
3× (4) = 12.
Nesta expressa˜o 6 ÷ 2 × (1 + 3). existem duas possı´veis intepretac¸o˜es diretas, a
primeira delas obtida por meio da regra PEMDAS e´ equivalente a tomar
(6÷ 2)× (1+ 3),
uma outra possı´vel interpretac¸a˜o e´ tomar 6÷[2×(1+3)]. Achamos importante escrever
as expresso˜es de forma que na˜o fiquem du´vidas sobre o seu significado e portanto
consideramos importante usar pareˆnteses para deixar claro que tipo de expressa˜o se
CAPI´TULO 1. ARITME´TICA BA´SICA 6
deseja calcular, o uso da regra PEMDAS, na˜o e´ amplamente conhecida e tambe´m
na˜o necessariamente uniformemente aceita.
1.2 Definic¸a˜o dos sı´mbolos na adic¸a˜o
m Definic¸a˜o 2. Simbolizamos as seguintes adic¸o˜es a esquerda, pelo sı´mbolo a
direita
1+ 1 = 2
2+ 1 = 3
3+ 1 = 4
4+ 1 = 5
5+ 1 = 6
6+ 1 = 7
7+ 1 = 8
8+ 1 = 9.
1.3 Problemas aritme´ticos
Z Exemplo 5. Um dado de 4 faces, em formato de tetraedro possui nu´meros
de 1 ate´ 4 em cada face . Tomando dois dados e colando suas faces, qual o
nu´mero ma´ximo e o nu´mero mı´nimo da soma dos nu´meros das faces que na˜o
foram coladas?
O nu´mero minimo acontece quando colamos faces com nu´meros ma´ximos
4 e 4 enta˜o a soma e´ 2(1 + 2 + 3) = 12 o nu´mero ma´ximo acontece quando
colamos as faces com nu´meros mı´nimos, 1 e 1, portanto a soma das outras face e´
CAPI´TULO 1. ARITME´TICA BA´SICA 7
2(2+ 3+ 4) = 18.
Z Exemplo 6. Suponha que a soma de todos os pares possı´veis formados com
5 nu´meros (x1, x2, x3, x4, x5), sejam s1 < s2 < s3 < s4 < s5 < s6 < s7 < s8 < s9 < s10
quanto vale o valor me´dio ? .
Como temos 10 valores distintos, na˜o pode haver valores ideˆnticos entre os
valores. Pois se por exemplo x1 = x2 enta˜o , terı´amos x1 + x3 = x2 + x3 e na˜o
terı´amos 10 elementos distintos nas somas. Todos sa˜o diferentes, enta˜o os enu-
meramos x1 < x2 < x3 < x4 < x5. a menor soma possı´vel e´ x1 + x2 = s1 a maior
soma possı´vel x5 + x4 = s10.
Somando todos as combinac¸o˜es temos
4x1 + 4x2 + 4x3 + 4x4 + 4x5 =
10∑
k=1
sk ⇒ x1 + x2︸ ︷︷ ︸
s1
+x3 + x4 + x5︸ ︷︷ ︸
s10
=
∑10
k=1 sk
4
⇒
x3 =
∑10
k=1 sk
4
− (s1 + s10).
Z Exemplo 7 (OBM 2012- Nı´vel 3- fase 1 questa˜o 10). As massas de todos os
pares possı´veis formados com 5 estudantes sa˜o 90 kg, 92 kg, 93 kg, 94 kg, 95
kg, 96 kg, 97 kg, 98 kg, 100 kg e 101 kg. Qual e´ a massa do estudante de massa
intermedia´ria?
Recai no exemplo anterior, calculando chegamos em x3 = 48.
As massas de todos os pares possı´veis formados com 5 estudantes sa˜o 90 kg,92
kg, 93 kg,94 kg, 95kg, 96kg, 97 kg, 98 kg,100 kg e 101 kg.
Z Exemplo 8. Considere dois nu´meros naturais, cada um deles com treˆs
algarismos diferentes. O maior deles so´ tem algarismos ı´mpares e o menor so´
tem algarismos pares. Se a diferenc¸a entre eles e´ a maior possı´vel, qual e´ essa
CAPI´TULO 1. ARITME´TICA BA´SICA 8
diferenc¸a?
Os algarismo ı´mpares sa˜o {1, 3, 5, 7, 9} os pares sa˜o {0, 2,4, 6, 8}.
Para a diferenc¸a ser ma´xima, o nu´mero ı´mpar deve ser o maior possı´vel e o
nu´mero par o menor possı´vel, ambos possuindo treˆs algarismos .
Para escolhermos o maior ı´mpar, comec¸amos escolhando os maiores digı´tos
ı´mpares em ordem, que sa˜o 9, 7, 5 enta˜o o nu´mero e´ 975. Para a escolha do
nu´mero par, o primeiro algarismo a` esquerda na˜o pode ser zero, logo deve ser o
pro´ximo menor, sendo portanto 2, o segundo algarismo pode ser nulo e o terceiro
4, enta˜o o nu´mero e´ 204 a diferenc¸a fica como
975− 204 = 771.
	Aritmética Básica
	Prioridade das operações
	Ordem das operações PEMDAS, quanto dá 482 (9+3)?
	Definição dos símbolos na adição
	Problemas aritméticos