radicais duplos

Prévia do material em texto

Anotac¸o˜es sobre radicais duplos.
Rodrigo Carlos Silva de Lima ‡
rodrigo.uff.math@gmail.com
‡
1
Suma´rio
1 Radicais duplos 3
1.1 Radicais duplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2
Cap´ıtulo 1
Radicais duplos
1.1 Radicais duplos
♣ Lema 1. Usaremos o seguinte resultado, se x e y sa˜o na˜o negativos e x2 = y2, enta˜o
x = y. Se um deles e nulo o outro tambe´m da´ı o resultado segue, supomos enta˜o ambos
positivos. A propriedade vale pois de x2 = y2, segue que
(x− y)(x+ y) = 0,
na˜o podendo valer x+ y = 0 pois ambos sa˜o positivos, enta˜o vale x− y = 0, logo x = y.
Usaremos esse resultado para demonstrar propriedades neste texto, em que iremos tratar,
quase sempre, de nu´mero positivos.
b Propriedade 1. Seja c =
√
a2 − b, da´ı c2 = a2 − b. Enta˜o, valem as identidades:
1. √
a−
√
b =
√
a+ c
2
−
√
a− c
2
;
2. √
a+
√
b =
√
a+ c
2
+
√
a− c
2
.
ê Demonstrac¸a˜o. Elevamos as duas expresso˜es da igualdade que queremos mostrar
ao quadrado.
3
CAPI´TULO 1. RADICAIS DUPLOS 4
1. A primeira expressa˜o ao quadrado fica(√
a−
√
b
)2
= a−
√
b.
Agora a segunda expressa˜o(√
a+ c
2
−
√
a− c
2
)2
=
a+ c
2
− 2
2
√
(a+ c)(a− c) + a− c
2
= a−
√
a2 − c2 =
= a−
√
a2 − a2 + b = a−
√
b.
O quadrado de ambos nu´meros sa˜o iguais, logo como sa˜o positivos, os nu´meros sa˜o
iguais, pelo lema.
2.
Z Exemplo 1. Simplifique por radicais duplos a expressa˜o√
5 + 2
√
6.
Temos que √
5 + 2
√
6 =
√
5 +
√
4.6 =
√
5 +
√
24.
Usamos a expressa˜o √
a+
√
b =
√
a+ c
2
+
√
a− c
2
,
onde a = 5, b = 24 e c2 = a2 − b = 25− 24 = 1, logo c = 1 e com a = 5, temos finalmente√
5 +
√
24 =
√
5 + 1
2
+
√
5− 1
2
=
√
3 +
√
2.
$ Corola´rio 1. Somando os dois radicais da propriedade anterior, temos
√
a−
√
b+
√
a+
√
b = 2
√
a+ c
2
.
Subtraindo os dois termos, segue
√
a+
√
b−
√
a−
√
b = 2
√
a− c
2
.
CAPI´TULO 1. RADICAIS DUPLOS 5
Z Exemplo 2. Calcule √
4 +
√
12−
√
4−
√
12.
Pelo corola´rio anterior, usando que c =
√
a2 − b, a = 4, b = 12, temos
c =
√
16− 12 =
√
4 = 2, logo o resultado e´
2
√
a− c
2
= 2
√
4− 2
2
= 2.