P1 de calculo II com resolução

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO
CAMPUS MACAE´
Engenharia 02 de Maio de 2016.
Professor Roberto Mamud
NOME: NOTA:
Prova 1 – Ca´lculo 2 - Engenharia– 2016/01
Justifique todas as suas respostas.
1a Questa˜o. (3,0 pontos) Considere uma curva C, parametrizada por
σ(t) = ( sen t, cos t, 3 cos t− 4 sen t),
para t ∈ [0, 2pi].
(a) Determine os vetores σ′(t) e σ′′(t);
(b) Mostre que os vetores σ(t) e σ′′(t) sa˜o paralelos;
(c) Determine a equac¸a˜o da reta tangente a` curva C, no ponto
(√
2
2
,
√
2
2
,−
√
2
2
)
, e suas
equac¸o˜es cartesianas.
2a Questa˜o. (2,0 pontos) Considere a he´lice definida por σ(t) = (a cos t, a sen t, bt), a, b > 0.
(a) Mostre que a reta tangente, em cada ponto da he´lice, faz um aˆngulo constante com
o eixo z;
(b) Mostre que o cosseno deste aˆngulo, encontrado no item a), e´ igual a
b√
a2 + b2
.
3a Questa˜o. (2,0 pontos) Considere a curva C de equac¸a˜o z = 4 + y2, no plano yz.
(a) Determine a equac¸a˜o da superf´ıcie de revoluc¸a˜o gerada pela rotac¸a˜o da curva C em
torno do eixo z. Fac¸a um esboc¸o desta superf´ıcie;
(b) Considere o cilindro cuja curva diretriz seja a curva C. Fac¸a um esboc¸o deste cilindro
e escreva uma parametrizac¸a˜o da curva de intersec¸a˜o entre este cilindro e o plano
x = 1.
4a Questa˜o. (3,0 pontos) Considere a superf´ıcie de pontos P = (x, y, z) cuja distaˆncia ao
eixo z e´ metade da distaˆncia de P ao plano xy.
(a) Encontre a equac¸a˜o desta superf´ıcie;
(b) Determine as intersec¸o˜es desta superf´ıcie com os planos z = k e y = k, onde k ∈ R;
(c) Identifique esta superf´ıcie e fac¸a um esboc¸o desta.
Boa Prova!
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