336153 Apostila2Cálculo1.31.03.2015

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Apostila 2 de Cálculo 1
-Limites e Continuidade-
Professor: Alexandro José Correia Scopel
Aracruz - Espírito Santo
2015
ÍNDICE
Noção Intuitiva de Limite..................................................................................................................02
Tabelas de aproximações..................................................................................................................03
Definição de Limite...............................................................................................................................04
Teorema de D’Alembert.....................................................................................................................06
Propriedades do Limite......................................................................................................................07
Continuidade...........................................................................................................................................08
Limites Infinitos.....................................................................................................................................09
Limites no Infinito................................................................................................................................11
Limite Fundamental Exponencial..................................................................................................14
Limite Fundamental Trigonométrico...........................................................................................16
Exercícios Gerais...................................................................................................................................17
Referências...............................................................................................................................................22
Limite e Continuidade de Funções Reais de uma Variável Real
Noção intuitiva de limite
Considere a função tal que .
Exemplo 01: Se , temos que . Dizemos que a imagem de é .
Graficamente:
Considere outra função tal que . Isto significa que o domínio da função não pode assumir o valor . Em outras palavras, não podemos estabelecer uma imagem para o valor 1 do domínio.
Observe que:
Essa situação anterior é uma indeterminação matemática, pois, quando dividimos a por b procuramos um número c tal que o produto b.c resulte em a.
Se fizermos , temos que x pode assumir qualquer valor real. Daí, a impossibilidade de sua determinação.
Como a variável x não pode assumir o valor 1 na função g, vamos estudar o comportamento desta função quando x está próximo (está na vizinhança) de 1.
A princípio o estudo do limite visa estabelecer o comportamento de uma função numa vizinhança de um ponto (que pode ou não pertencer ao seu domínio). No caso da função f, qualquer valor atribuído a x determina imagem única, sem problema algum. Mas na função g, existe o ponto x = 1 que gera a indeterminação.
Estudemos os valores da função quando x assume valores próximos de 1, mas diferente de 1. Utilizaremos as tabelas de aproximação.
Observação: Podemos nos aproximar do ponto 1:
• por valores de x pela direita:
por valores de x pela esquerda: 
Tabelas de aproximações
As tabelas de aproximações são utilizadas para aproximar o valor da imagem de uma função (se existir) quando a variável x se aproxima de um determinado ponto.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores (pela esquerda) do que 1:
	
	0
	0,5
	0,75
	0,9
	0,99
	0,999
	0,9999
	
	1
	1,5
	1,75
	1,9
	1,99
	1,999
	1,9999
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém maiores (pela direita) do que 1:
	
	2
	1,5
	1,25
	1,1
	1,01
	1,001
	1,0001
	
	3
	2,5
	2,25
	2,1
	2,01
	2,001
	2,0001
Observe que podemos tornar g(x) tão próximo de 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomarmos x suficientemente próximo de 1. De outra forma, afirmamos:
“O limite da função g(x) quando x se aproxima de (tende a) 1 é igual a 2”
Utilizando símbolos:
 ou 
Observação:
Os dois tipos de aproximações que vimos nas tabelas anteriores são chamados de limites laterais.
Quando x tende a 1 por valores menores do que 1 (primeira tabela), dizemos que x tende a 1 pela esquerda, e denotamos simbolicamente por x → 1− . Temos então que:
 ou 
Quando x tende a 1 por valores maiores do que 1 (segunda tabela), dizemos que x tende a 1 pela direita, e denotamos simbolicamente por x → 1+ . Temos então que:
 ou 
Definição intuitiva de limite
Seja uma função definida em um intervalo contendo a, exceto possivelmente no próprio a. dizemos que o limite de quando x se aproxima de a é , e escrevemos , se, e somente se, os limites laterais à esquerda e à direita de a são iguais à L, isto é, . Caso contrário, dizemos que o limite em a não existe.
Com relação a função estudada anteriormente e à luz da definição, concluímos que , pois, .
Estudaremos a seguir como realizar cálculos de limites sem o auxílio das tabelas de aproximação.
Cálculo de uma indeterminação do tipo 
Sempre que nos depararmos com uma indeterminação do tipo , deveremos simplificar a expressão da função envolvida. Em seguida, calculamos o limite da função substituindo, na expressão simplificada, o valor de x.
Exemplo 02: Determine , com .
Exemplo 03: Determine .
Exemplo 04: Determine 
Exemplo 05: Determine 
Exemplo 06: Determine 
Exemplo 07: Determine 
Teorema de D’Alembert: Um polinômio é divisível por , , se, e somente se, a é uma raiz de , ou seja, 
 
Exemplo 08: Determine 
Exemplo 09: Determine 
Algumas fórmulas que auxiliam as simplificações nos cálculos dos limites.
Produtos notáveis:
Quadrado da soma: 
Quadrado da diferença: 
Produto da soma pela diferença: 
Cubo da soma: 
Cubo da diferença: 
Fatorações:
Fator comum: 
Diferença de quadrados: 
Trinômio do segundo grau: onde, e são as raízes da equação do segundo grau .
Soma de cubos: 
Diferença de cubos: 
Conjugado de radicais:
O conjugado de é , pois, .
O conjugado de é , pois, 
Unicidade do limite
“Se e , então . Se o limite de uma função existe num ponto, então ele é único.”
Propriedades dos Limites
Se e existem, e k um número real qualquer, então:
P1) 
P2) 
P3) 
P4) , desde que .
P5) 
P6) para qualquer inteiro positivo n.
P7) , se e n inteiro positivo par ou se e n é um inteiro positivo ímpar.
P8) se .
P9) 
P10) 
P11) 
Proposição: Se para todo x em um intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente e , e se , então, .
Exemplo 10: Calcule usando as propriedades.
Exemplo 11: Calcule 
Continuidade
Definição: Seja um ponto do domínio de uma função . Dizemos que é contínua no ponto se:
Exemplo 12: Considere a função tal que . Esta função é contínua no ponto , pois, .
Podemos observar que esta função é contínua para todos os reais, ou seja, para todos os valores do seu domínio.
Exemplo 13: Algumas funções que não são continuas no ponto .
	
	
	
	a)
	b)
	c)
	
Exemplo 14: Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados:
 para 
 para 
Exemplo 15: Se determine as descontinuidades de .
Propriedades das funções contínuas
Se as funções e são contínuas em um ponto , então:
 é contínua em .
 é contínua em .
 é contínua em desde que .
Limites infinitos
Exemplo 16: Calcule .
Para o solicitado, basta fazer a substituiçãopara encontrarmos . Até aí, não temos problema algum, pois, para todo .
Considere a seguinte situação: se, na substituição encontrarmos como resposta com . Como proceder?
Acompanhe o próximo exemplo.
Exemplo 17: Estude o limite .
Aproximação de zero pela direita:
	
	1
	0,1
	0,01
	0,001
	0,0001
	
	1
	10
	100
	1000
	10000
Aproximação de zero pela esquerda:
	
	-1
	-0,1
	-0,01
	-0,001
	-0,0001
	
	-1
	-10
	-100
	-1000
	-10000
Na primeira tabela observamos que 
Na segunda tabela observamos que 
Gráfico da função
Pelo exposto acima, podemos concluir que não existe limite para a função quando x tende a zero, pois os limites laterais são diferentes.
Generalização
Se na substituição do valor de x no cálculo de um limite acontecer com , dizemos que a resposta do limite é:
 se ocorrer com e se ocorrer com 
 se ocorrer com e se ocorrer com 
Exemplo 18: Determinar .
Exemplo 19: Determinar , e .
Limites no infinito
Estamos interessados em estabelecer o comportamento de uma função quando a variável x cresce indefinidamente () ou quando ela decresce indefinidamente (). Em algumas situações, a função se aproxima de um valor numérico (figura 1), noutros pode crescer indefinidamente (figura 2) ou decrescer indefinidamente (figura 3).
	Figura 1				Figura 2			Figura 3
Exemplo 20:
Na figura 1 temos: 
Na figura 2 temos: 
Na figura 3 temos: 
Abaixo temos tabela que apresenta situações de operações envolvendo o infinito frequentes no cálculo de limites.
	Produto
 
	Soma 
	Produto por constante
 se 
 se 
 se 
 se 
	Soma com constante
 para 
	Quociente
 
	Potencias
Se n é um número natural não nulo, então:
Expressões indeterminadas
Indeterminação do tipo 
Exemplo 21: Considere os limites abaixo:
Note que, em todos os itens anteriores, temos como resultado a indeterminação do tipo . Dessa forma, não podemos atribuir valores a elas.
Porém, se as simplificarmos como segue:
Cálculo dos limites dos itens a, b e c.
Exemplo 22: Determinar .
Exemplo 23: Determinar 
Observação: Para o cálculo dos limites que envolvem indeterminações deste tipo, basta dividirmos o numerador e o denominador pela variável com maior grau do denominador.
Indeterminação do tipo 
Exemplo 24: Calcule os limites seguintes:
Note que nos dois casos anteriores chegamos a indeterminação .
Porém, podemos proceder como segue:
Cálculo dos limites dos itens a e b.
Indeterminação do tipo 
Exemplo 25: Calcule os limites seguintes:
Note que nos dois casos anteriores chegamos a indeterminação .
Porém, podemos proceder como segue:
Cálculo dos limites dos itens a e b.
Limite fundamental exponencial (Indeterminação do tipo )
O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais, por exemplo: Crescimento populacional, crescimento de populações de bactérias, desintegração radioativa (datação por carbono), circuitos elétricos, etc. Na área de economia, é aplicado no cálculo de juros.
Foi o Matemático Inglês Jonh Napier (1550-1617) o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional, ou seja, não pode ser escrito sob forma de fração, e vale aproximadamente:
Como o número e é encontrado em diversos fenômenos naturais, a função exponencial é considerada uma das funções mais importantes da matemática, merecendo atenção especial de cientistas de diferentes áreas do conhecimento humano.
Proposição: 
Para a demonstração desta proposição necessitamos de usar séries, este assunto será tratado em cálculo 2. Para a visualização deste resultado utilizaremos como auxílio tabelas de aproximação e gráfico.
	
	100
	1000
	100000
	...
	
	
	2,7048...
	2,7169...
	2,7182...
	---
	
	
	-100
	-1000
	-100000
	...
	
	
	2,7319...
	2,7196...
	2,7182...
	---
	
Gráfico:
Exemplo 26: Calcule os limites abaixo:
Consequências do limite fundamental exponencial 
 com e .
Exemplo 27: Calcule os dois limites anteriores. Sugestão: para o item a faça e aplique o limite fundamental exponencial. Para o item b, faça e aplique o item i.
Limite fundamental trigonométrico
O limite fundamental trigonométrico é uma indeterminação do tipo envolvendo a função trigonométrica .
Proposição: 
A função é par, isto é, para todo real diferente de zero. Note que:
Conclusão: se x se próxima de zero pela direita ou pela esquerda, a função apresenta o mesmo valor.
Observe a tabela seguinte:
	
	
	
0,1
	0,998334166
	
0,01
	0,999983333
	
0,001
	0,999999833
	
0,0001
	0,999999998
	
0,00001
	0,999999999
	...
	...
	
	
Analisando o gráfico desta função chegamos à mesma conclusão.
Exemplo 28: Calcule os seguintes limites:
Resultado geral
De uma forma geral, , para todo k real e diferente de zero.
Exercícios sobre limites – Parte I
Calcular os limites seguintes:
Instituto Federal do Espírito Santo – Campus Aracruz
Engenharia Mecânica
Disciplina: Cálculo 1
Professor: Alexandro José Correia Scopel, MsC
Respostas:
3
8
9
8
27
4096
6/5
5/4
2
5
-1
9/2
Exercícios sobre limites – Parte II
Seja . Calcule:
Seja . Calcule . Esboce o gráfico de .
Seja , calcule os limites indicados, caso existam:
Esboce o gráfico de .
Seja . Esboce o gráfico e calcule os limites indicados, caso existam.
Respostas:
a) 2	b) 2	c)2	d)8	e)8	f)8
4
a)0	b)0	c)0
a)-1	b)1	c)0	d) 	e) não existe	f) 0	g)0	h)0
Exercícios sobre limites – Parte III
Calcule os limites abaixo, caso existam.
Respostas:
-3/2
0
1
7/2
a+1
1
-4/5
-2
4
1/8
32
8
3/10
b/2a
½
-1
1/12
-1/2
b/a
4/3
1/9
-1/3
1
Exercícios sobre limites – Parte IV
Calcule os limites abaixo, caso existam.
Respostas:
2
0
0
½
-5/7
0
2/3
1
-1
0
Exercícios sobre limites – Parte V
Encontre todos os valores nos quais f é contínua.
Determine, se existirem, os pontos onde as seguintes funções não são contínuas.
Respostas:
-7, 3
Não existe 
Referências
DEMANA, Franklin ... [et al.]. Pré Cálculo. 2 ed. São Paulo: Pearson, 2013.
FLEMMING, Diva M. GONÇALVES, Mirian B. Cálculo A: funções, limites, derivação e integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2007. 
IEZZI, Gelson. Matemática: Ciência e Aplicações. 6 ed. São Paulo: Saraiva, 2010.
PAIVA, Beto. ASSIS, Leo Paulo de. FERRITE. Odimar Navas. Matemática e suas Tecnologias. Saraiva: São Paulo, 2010.
SAFIER, Fred. Teoria e Problemas de Pré Cálculo. Porto Alegre: Bookman, 2003.
SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com geometria analítica. 2 ed. São Paulo: Makron Books, 1994.