FG cinematica problemas res[1]

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Exercícios de Cinemática 
 
1. Movimento rectilíneo com dependência em t 
 
1.1. Um corpo percorre uma trajectória rectilínea de acordo com a lei ( ) 3 26 15 4x t t t t= − − + 0 (SI). 
Determine: 
a) a velocidade média do corpo entre os instantes 2t = s e 5t = s; 
b) a expressão geral da velocidade; 
c) a velocidade no instante s; 1t =
d) as posições em que a velocidade se anula; 
e) a aceleração média do corpo entre os instantes 1t = s e 4t = s; 
f) a expressão geral da aceleração; 
g) a aceleração no instante s; 3t =
h) os intervalos de tempo em que o movimento é acelerado ou retardado. 
 
1.2. Um corpo move-se ao longo do eixo Ox segundo a lei ( ) 3 22 15 24 4x t t t t= − + + (m). Determine: 
a) as dimensões das constantes numéricas; 
b) a expressão geral da velocidade; 
c) a expressão geral da aceleração; 
d) os instantes em que o corpo passa pela origem; 
e) a posição do corpo nos instantes em que a velocidade se anula; 
f) a distância percorrida pelo corpo ao fim de 5 segundos. 
 
1.3. A aceleração de um corpo em movimento rectilíneo é directamente proporcional ao tempo. Para 0t = s, a 
velocidade do corpo é ( )0 1v t 6= = − m⋅s−1. Sabendo que a velocidade e a coordenada de posição são nulas 
quando s, determine a aceleração, velocidade e posição do corpo num instante genérico. 4t =
Resolução 
A aceleração é proporcional ao tempo, 
a kt= (m⋅s−2) 
e as condições iniciais do movimento são 
( )0 1v t = = − 6 (m⋅s−1) 
( )4 0v t = = (m⋅s−1) 
( )4 0x t = = m 
Para determinar o valor da constante k, 
[ ]44 0 02 160 16
0
1 8 1
2
dva adt dv ktdt dv kt v k
dt −−
⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ 6 
ou seja 
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Exercícios de Cinemática 
2k = (m⋅s−3) 
A aceleração é 
2a = t (m⋅s−2) 
Tem-se 
( ) [ ] ( ) ( )2 21600 162 1
t v t t v tdva adt dv tdt dv t v t v t
dt −−
⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = +⎣ ⎦∫ ∫ 6 
e a velocidade é 
( ) 2 16v t t= − (m⋅s−1) 
Tem-se 
( ) ( ) [ ] ( )2 3 04 0
4
116 16
3
tt x t x tdxv vdt dx t dt dx t t x
dt
⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ⇒ 
( ) 31 12816
3 3
x t t t⇒ = − + (m) 
 
1.4. Considere uma partícula que se desloca em movimento rectilíneo com uma velocidade dada por 
(m⋅s( ) 2tv t e−= −1). Sabendo que a partícula parte da origem do referencial Ox, determine: 
a) a aceleração; 
b) a posição para qualquer instante; 
c) o tempo que a partícula demora a parar. 
Resolução 
a) A aceleração obtém-se por derivação da velocidade 
( ) ( ) 22 tdva t a t e
dt
−= ⇒ = − (m⋅s−2) 
b) A posição em qualquer instante obtém-se por integração, sabendo que ( )0x = 0 . Tem-se: 
( ) ( ) ( )2 2
0 0
1 1
2
x t t t tdx v dx vdt dx e dt x t e
dt
− −= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −∫ ∫ m 
c) A partícula pára quando a sua velocidade se anula. Se for T o instante em que a velocidade se anula 
deve ter-se 
( ) 20 0Tv T e T−= ⇒ = ⇒ → +∞ 
ou seja a partícula nunca pára. 
 
1.5. Considere uma partícula que se desloca com movimento rectilíneo sujeita à aceleração dada por 
(m⋅s( ) 10 ta t e−= −2). Sabendo que no instante inicial 0t = s a partícula se encontra em repouso na origem do 
referencial, determine: 
a) a lei de velocidade num instante genérico; 
b) a posição em qualquer instante; 
c) a distância percorrida entre os instantes 1t = s e 2t = s. 
M. Faria – Dez 2007 2/31 
Exercícios de Cinemática 
 
1.6. Uma partícula descreve uma trajectória rectilínea sujeita a uma aceleração ( ) 1 2a t k k t= − (SI), onde k1 e 
k2 são constantes. Sabendo que no instante inicial a partícula se encontra em repouso na origem do 
referencial, e que nos instantes s e 1t = 2t = s as velocidades são respectivamente m⋅s( )1v t = = 0 −1 e 
( )2v t = = −2 m⋅s−1, determine: 
a) o valor das constantes k1 e k2 e respectivas unidades; 
b) a lei da velocidade e a lei do movimento; 
c) a distância total percorrida ao fim de 4 s. 
Resolução 
a) Comecemos por obter a lei da velocidade 
( ) ( ) [ ] ( )221 2 1 00 0
02
t
t v t v tkdva adt dv k k t dt dv k t t v
dt
⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ⇒ 
( ) 221 2
kv t k t t⇒ = − 
Conhecidos os valores particulares da velocidade 
( )1 0v t = = m⋅s−1
( )2v t = = −2 m⋅s−1
ficam determinadas as constantes 
( )
( )
2
21
1
3
2 2
1
1 0 1 m s2
2 m s2 2 4 2
2
kv k k
k kv k
−
−
⎧ = − =⎪ ⎧ = ⋅⎪ ⎪⇒⎨ ⎨ = ⋅⎪⎪ ⎩= − = −⎪⎩
 
b) Usando os valores das constantes na expressão da velocidade vem 
( ) 2v t t t= − (m⋅s−1) 
Por integração e sabendo que no instante inicial a partícula se encontra na origem do referencial, obtém-se a 
lei do movimento 
( ) ( ) [ ] ( )2 2 3 00 0
0
1 1
2 3
tt x t x tdxv vdt dx t t dt dx t t x
dt
⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ − = ⇒ − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ⇒ 
( ) 21 1
2 3
3x t t⇒ = − t (m) 
c) Primeiro temos de verificar se há inversão no sentido do movimento até ao instante s. Para 
haver inversão do sentido do movimento é necessário que o sinal da velocidade mude, e deve portanto 
anular-se. Como a velocidade se anula para 
4t =
1t = s e muda de sinal, há inversão no sentido do movimento e a 
distância total percorrida é 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 4 0 1 1 4 1 0 4 1d t d t d t x x x x≤ < = ≤ < + ≤ < = − + − = 
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Exercícios de Cinemática 
1 1 16 64 1 1 13,5
2 3 2 3 2 3
⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − − − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ m 
 
1.7. A aceleração dum ponto material é definida por . Sabendo que para s, m⋅s2a kt= 0t = 0 24v = − −1, 
m e que quando s, m⋅s0 50x = 4t = 40v = −1, escreva a lei do movimento da partícula. 
 
1.8. A aceleração de um corpo com movimento rectilíneo é dada por ( ) 24a t t= − (SI). Sabendo que 
( )3 2v t = = ms−1 e m, estabeleça a lei do movimento. ( )2 9x t = =
 
1.9. A aceleração de um corpo com movimento rectilíneo segundo a direcção Oz é dada por ( )a t gt= − , 
onde g é uma constante, e a sua posição inicial é ( )0z h= . Determine o instante em que o corpo passa pela 
origem do referencial e a sua velocidade nesse instante para os diferentes casos em que a velocidade inicial é: 
a) ; 0 0v =
b) , com k uma constante positiva; 0v k=
c) , com k uma constante positiva. 0v = −k
 
1.10. Um corpo movendo-se com velocidade inicial de 3 m⋅s−1, é submetido a uma aceleração constante de 4 
m⋅s−2 com o sentido oposto ao da velocidade. Qual a velocidade do corpo e a distância percorrida após 20s. 
 
 
2. Movimento rectilíneo com dependência em v 
 
2.1. Um ponto material em movimento rectilíneo está sujeito a uma força de atrito proporcional à velocidade, 
de tal modo que a sua aceleração é dada por 3a v= − , em unidades SI. No instante inicial, m⋅s0 60v = −1. 
Determine: 
a) A distância percorrida até o ponto material atingir o repouso. 
b) O tempo necessário para a velocidade se reduzir a 1% do seu valor inicial. 
Resolução 
a) A aceleração é 
3a v= − 
e no instante inicial 
( )0 60v t = = 
Tem-se 
M. Faria – Dez 2007 4/31 
Exercícios de Cinemática 
( )
( ) [ ] [ ] ( )0 600 60 1 1 ln3 3
t v t t v tdv dva dt dt dv t v
dt a v v
⎛ ⎞= ⇒ = ⇒ = − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ⇒ 
( ) ( ) ( ) 31 ln ln 60 3 ln 60
3 60
tv tt v t t v t −⎡ ⎤⇒ = − − ⇒ − = ⇒ =⎣ ⎦ e (m⋅s−1) 
O ponto material atinge o repouso quando a sua velocidade se anula, ou seja no instante tal que Tt =
( ) 30 60 0Tv t T e T−= = ⇒ = ⇒ → +∞ 
Se no instante inicial o ponto material se encontra na posição de coordenada x0, 
( ) [ ] ( )
00
3 3
00
60 20
t x t t x tt t
xx
dxv vdt dx e dt dx e x
dt
− −⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ = ⇒ − =⎣ ⎦∫ ∫ ⇒ 
( ) ( )30 20 1 tx t x e−⇒ = + − 
Como a velocidade é sempre positiva, o ponto material nunca inverte o sentido do movimento e a distância 
percorrida ( )d t no instante t é 
( ) ( ) ( )30 20 1 td t x t x e−= − = − 
No instante a distância percorrida é T →+∞
( ) ( )3lim 20 1 20T
T
d T e−→+∞→ +∞ = − = m 
ou seja, emboranunca pare, a distância máxima que o ponto material percorre é de 20 metros. 
b) Seja τ o instante em que a velocidade se reduz a 1 % do seu valor inicial. Tem-se 
( ) ( )0,01 0 0,06v t v t= τ = = = 
Usando a lei da velocidade, 
( ) 3 10,06 60 0,06 ln 0,01 1,535
3
v t e− τ= τ = ⇒ = ⇒ τ = − ≈ s 
 
2.2. Um corpo executa um movimento rectilíneo com aceleração dada por ( ) 2a v kv= − . Sabendo que em 
s o corpo está na origem do referencial com velocidade 00 =t 200 =v m⋅s−1 e em s a velocidade é 
m⋅s
101 =t
21 =v −1, determine: 
a) o valor de k, as suas dimensões físicas e unidades SI; 
b) a posição em s. 101 =t
 
2.3. A aceleração de uma partícula é definida através da relação ( ) ( )0,4 1 4a v v= − , onde k é uma constante. 
Sabendo que em a partícula parte do repouso em 0t = 4=x m, e que quando s a velocidade é 4 
m⋅s
15t =
−1, determine: 
a) a constante k; 
b) a posição da partícula quando m⋅s6v = −1; 
c) o valor máximo da velocidade. 
M. Faria – Dez 2007 5/31 
Exercícios de Cinemática 
 
3. Movimento rectilíneo com dependência em x 
 
3.1. Uma partícula oscila numa calha rectilínea, entre 40Ax = mm e 160Bx = mm com uma aceleração 
( )100a k x= − (mm⋅s−1). A velocidade da partícula é de 18 mm⋅s−1 quando 100x = mm e torna-se nula para 
as posições xA e xB. Determine: B
a) o valor de k; 
b) a velocidade quando mm. 120x =
 
3.2. A aceleração de uma partícula é dada por ( ) 290 6a x x= − (m⋅s−2). Sabendo que para a velocidade 
é nula, determine: 
0x =
a) a velocidade quando ; 5x =
b) a posição onde a velocidade se anula novamente; 
c) a posição onde a velocidade é máxima e o valor da velocidade. 
 
3.3. Considere uma grelha difusora de ar. A velocidade do ar é dada por 0( ) kvv x
x
= , em que k é uma 
constante, x representa a posição do ar relativamente à grelha difusora e v0 é a velocidade em 0x k= . 
Sabendo que m⋅s0 0,4v = −1 e que em m a aceleração é 0,4Ax = 0,1Aa = − m⋅s−2, determine: 
a) a aceleração em função da distância e o valor numérico da constante k; 
b) a posição em função do tempo, supondo que 0 0t = s; 
c) a velocidade em função do tempo; 
d) a velocidade e posição no instante 2t = s. 
 
3.4. Um corpo ligado a uma mola, oscila num plano horizontal sem atrito. O corpo passa em 0Ax = m com 
velocidade m⋅s24Av = −1 e em m com velocidade 6Bx = 0Bv = m⋅s−1. Sabendo que a aceleração do corpo é 
proporcional à coordenada x, determine a constante de proporcionalidade. 
Resolução 
A aceleração é 
a kx= 
e as condições iniciais são 
( )0 24v x = = 
( )6 0v x = = 
Tem-se sucessivamente 
M. Faria – Dez 2007 6/31 
Exercícios de Cinemática 
( )
N
( ) 6 0
0 24
v
dv dv dxa a x a x dx vdv kxdx vdv
dt dx dt
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫ ⇒ 
6 0
2 2
0 24
1 1 36 576 16
2 2
kx v k k⎡ ⎤ ⎡ ⎤⇒ = ⇒ = − ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − s
−2 
 
3.5. A aceleração de uma partícula é dada por ( ) 6 14a x x= − (SI). Sabendo que para a velocidade é 4 
m⋅s
0x =
−1, determine: 
a) a velocidade da partícula quando 1x = m; 
b) a velocidade da partícula quando esta percorreu a distância de 15 metros; 
c) a distância máxima da partícula à origem. 
 
3.6. Um corpo desloca-se no sentido positivo do eixo dos xx, sendo a sua aceleração dada por 
(m⋅s( ) 10a x x= − −2). Sabe-se que no instante 0t = , ( )0 10v = m⋅s−1 e ( )0x 0= m. Determine: 
a) a velocidade como função de x: ( )v f x= ; 
b) a posição do corpo para a qual a velocidade vale 8 m⋅s−1; 
c) a lei do movimento; 
d) a lei da velocidade. 
 
3.7. A aceleração dum ponto material é dada por a x= −25 3 2 . Sabendo que parte do repouso para x = 0 , 
determine: 
a) a velocidade após ter percorrido 2 m; 
b) a posição onde a velocidade se anula; 
c) a posição onde a velocidade é máxima. 
 
3.8. A aceleração dum ponto material é dada por . Sabendo que para , , determine: 290 6a = − x
)
0x = 0 0v =
a) a velocidade quando m; 5x =
b) a posição onde a velocidade se anula novamente; 
c) a posição onde a velocidade é máxima e o valor da velocidade. 
 
 
3.9. Um ponto material desloca-se no sentido positivo do eixo dos xx, sendo a sua aceleração dada por 
m⋅s(4 2a x= − −2, onde x vem expresso em metros. Sabe-se que no instante 0t = , m⋅s0 10v = −1 e 0 0x = . 
a) Determine ( )v f x= . 
b) Determine a posição do ponto material para a qual o módulo da velocidade vale 8 m⋅s−1. 
 
M. Faria – Dez 2007 7/31 
Exercícios de Cinemática 
 
4. Movimento rectilíneo – outros problemas 
 
4.1. Uma tartaruga veloz corre a 10 cm⋅s−1 e uma lebre é 20 vezes mais rápida. Numa corrida, ambas partem 
no mesmo instante, mas a lebre pára para descansar 2 min, acabando a tartaruga por ganhar por 20 cm. 
Quanto tempo durou a corrida e qual a sua extensão? 
 
4.2. Um automobilista desloca-se a 80 km⋅h−1 quando observa que o semáforo, a 250 m, passa a vermelho. O 
semafóro está regulado de tal modo que o vermelho permanece 15 segundos. Se o motorista quiser passar 
sem precisar de parar no momento em que o sinal passa verde, determine a desaceleração constante que 
deverá imprimir ao carro, e a velocidade do carro ao passar pelo semáforo. 
 
4.3. Qual o tempo necessário para um automóvel que se desloca a 60 km/h, ultrapassar outro automóvel com 
velocidade de 40 km/h se estiverem a uma distância de 100 m. 
 
4.4. Dois automóveis A e B estão inicialmente distanciados 9 m. A está a deslocar-se com velocidade 
constante de 8 m⋅s−1 e B inicia o seu movimento com uma aceleração de 2 m⋅s−2 com o objectivo de atingir o 
carro A (os movimentos de A e B são rectilíneos). 
a) Qual a lei do movimento e a lei da velocidade de cada carro. 
b) Ao fim de quanto tempo os dois carros têm a mesma velocidade. 
c) Ao fim de quanto tempo o carro B atinge o carro A. 
d) Represente graficamente a velocidade e a posição de cada carro. 
 
4.5. Os móveis A e B inicialmente a uma distância de 3 m, executam movimentos rectilíneos de acordo com 
as velocidades v t e respectivamente. Determine: A = +2 vB = −6 t
a) ao fim de quanto tempo os móveis têm a mesma velocidade. 
b) o instante em que os móveis se encontram supondo que A se encontra inicialmente à frente de B; 
c) o instante em que os móveis se encontram supondo que B se encontra inicialmente à frente de A. 
d) Represente graficamente as situações correspondentes às alíneas anteriores. 
 
 
5. Movimento curvilíneo (sem integração) 
 
5.1. Um ponto material desloca-se de acordo com a lei ( ) ( ) ( )4cos 2 6sin 2x yr t t u t u= +G G G . 
a) Escreva a equação cartesiana da trajectória e represente-a graficamente. 
b) Escreva a expressão dos vectores velocidade e aceleração. 
c) Represente sobre o gráfico da trajectória os vectores velocidade e aceleração no instante 0t = . 
M. Faria – Dez 2007 8/31 
Exercícios de Cinemática 
d) Mostre que em qualquer instante o vector aceleração tem o sentido oposto ao de r . G
Resolução 
a) Usando as equações paramétricas obtém-se a equação cartesiana do movimento 
( ) ( )( )
2 24cos2
4cos2 6sin 2 1
16 366sin 2x y
x t t x yr t tu tu
y t t
⎧ =⎪= + ⇒ ⇒ +⎨ =⎪⎩
G G G = 
Trata-se de uma elipse centrada em ( )0,0 
x
y
6
4
 
 
b) Os vectores velocidade e aceleração são 
( ) 8sin 2 12cos 2x ydrv t tu tudt= = − +
GG G G 
( ) 16cos 2 24sin 2x ydva t tu tudt= = − −
GG G G 
c) No instante tem-se 0t =
( ) ( ) ( )0 4 0 12 0 16x y xr u v u a= = =G G G G G u− G 
 
( )0vG
( )0aG x 
y 
 
 
d) A aceleração é 
( ) ( ) ( ) ( )16cos2 24sin 2 4 4cos2 6sin 2 4x y x ya t tu tu a t tu tu r t= − − ⇒ = − + = −G G G G G G G 
e portanto o vector aceleração tem a direcção de ( )r tG e sentido oposto. 
 
5.2. A lei vectorial do movimento de um ponto é ( ) ( ) ( )2 22 1 2 1x yr t t u t u⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − +⎣ ⎦ ⎣ ⎦G G G . 
a) Representegraficamente a trajectória. 
b) Escreva a expressão analítica de v e G aG e determine as suas normas. 
M. Faria – Dez 2007 9/31 
Exercícios de Cinemática 
c) Classifique o movimento. 
d) Calcule o espaço percorrido durante os primeiros 5 segundos. 
 
5.3. A trajectória de uma partícula é descrita pelo vector posição ( ) 31sin 2 cos 2
2x y
r t tu tu t u= − + zG G G G . Escreva 
os vectores velocidade e aceleração e os seus módulos no instante 2t = π s. 
 
5.4. Seja ( ) 2 2x yr t t u tu= +G G G o vector que define a trajectória de uma partícula. Para o instante s, calcule 
a velocidade, a aceleração e as componentes tangencial e normal da aceleração. 
5t =
 
5.5. O vector posicional de um ponto material é ( ) ( ) ( )2 24 6 6x yr t t u t u tu= − + − + zG G G G . Determine: 
a) o vector velocidade e o seu módulo; 
b) o vector aceleração e o seu módulo; 
c) Represente graficamente o vector posição, a velocidade e a aceleração em cada eixo, até s. 6t =
d) Indique o tipo de movimento a que está sujeito o corpo, em cada um dos eixos, até s. 6t =
 
5.6. Considere a curva C caracterizada pela equação ( ) ( )3cos 2 3sin 2 8 4x yr t tu tu t u= + + − zG G G G . Determine: 
a) o vector unitário ; tu
G
b) o raio de curvatura; 
c) a normal principal nu
G 
 
5.7. As equações paramétricas do movimento de uma partícula são 
2
3
1
2
x t
y t
z t t
= +⎧⎪ = − +⎨⎪ = −⎩
t 
Determine, no instante s, a velocidade, a aceleração, a aceleração tangencial, a aceleração normal e o 
raio de curvatura da trajectória. 
2t =
 
5.8. A equação vectorial do movimento de uma partícula é 
 ( ) ( ) ( )5sin 3cosx yr t t u t u= − π + πG G G 
a) Obtenha a equação da trajectória da partícula. Represente-a graficamente, assinalando o ponto onde 
se inicia o movimento. 
b) Verifique que o movimento é periódico. Em 10 s, quantas vezes a partícula percorre a sua 
trajectória? 
c) Obtenha a expressão da velocidade da partícula, representando-a graficamente da trajectória, entre os 
instantes e s. O movimento processa-se no sentido directo ou retrógrado? 0t = 2t =
M. Faria – Dez 2007 10/31 
Exercícios de Cinemática 
d) Mostre que a aceleração da partícula é sempre dirigida para a origem do referencial e que o seu 
módulo é proporcional à distância a que a partícula se encontra da origem do referencial. 
 
5.9. As equações paramétricas do movimento de uma partícula são dadas por: 
( ) 10sin
( ) 20cos
x t t
y t t
=⎧⎨ =⎩
 
a) Escreva a equação da trajectória da partícula e represente-a graficamente. 
b) Determine as leis de velocidade e aceleração. 
c) Mostre que e represente graficamente o vector aceleração nos pontos A e B definidos por a = −G rG
20A yr u=G G e . 10B xr u=G G
d) Escreva as componentes normal e tangencial da aceleração nos pontos A e B. Justifique. 
 
5.10. O movimento de uma partícula é definido pelas equações ( ) ( )
3
26
12
t
x t t
−= + e ( ) ( )
23 1
12 2
tty t
−= − , 
nas quais x e y são expressos em metros, e t em segundos. Determine: 
a) as expressões da velocidade e da aceleração da particula; 
b) o instante para o qual a aceleração é nula; 
c) a intensidade da menor velocidade alcançada pela partícula. 
Resolução 
a) O vector posição escreve-se 
( ) ( ) ( )
3 23
26 1
12 12 2x y
t ttr t t u u
⎡ ⎤ ⎡− −⎢ ⎥ ⎢= + + −⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
G G ⎤⎥⎥⎦
G 
Derivando em ordem a t obtém-se o vector velocidade 
( ) ( ) 2 29 1
4 4x y
dr t t tv t t u t u
dt
⎡ ⎤ ⎡= = − + + − +⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
GG G ⎤⎥⎦
G 
e derivando uma vez mais, obtém-se o vector aceleração 
( ) ( ) 1 1
2 2x y
dv t t ta t u u
dt
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
GG G G 
b) A aceleração é nula no instante T para o qual 
( ) 0 1 1 0
2 2x y
T Ta T u u T⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⇒ − + − = ⇒ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
G GG G G 2 s 
c) A intensidade da velocidade é 
( )
2 22 2 4
3 29 1 7 20
4 4 8
t t tv t t t t t t
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + + − + = − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
82 
e será máxima (ou mínima) no instante τ em que a derivada de v(t) (no fundo a aceleração tangencial) se 
anula, 
M. Faria – Dez 2007 11/31 
Exercícios de Cinemática 
( ) 4 3 20 7 20 82
8
dv t d t t t t
dt dt
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⇒ − + − + = ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
0 
4 3
3 2 27 20 82 0 3 14 20
8 2
d t t t t
dt
⎛ ⎞ τ⇒ − + − + = ⇒ − τ + τ −⎜ ⎟⎝ ⎠
0= 
A única raíz do polinómio é , e nesse instante a intensidade da velocidade é 2τ =
( ) 4 3 222 2 7 2 20 2 82
8
v t = = − + × − × + = 8 m⋅s−1
Nesse instante a velocidade é mínima (e não máxima) porque podemos comparar esse valor com o da 
velocidade em qualquer outro instante, por exemplo 0t = 
( )0 82 9,0v t = = ≈ 6 m⋅s−1 
 
5.11. Uma partícula move-se de modo que as suas coordenadas, como funções do tempo são dadas por 
( )
( )
0
0 sin
x t v t
y t y t
⎧ =⎪⎨ = ω⎪⎩
 
a) Faça os gráficos de x e y como funções de t. 
b) Faça o gráfico da trajectória da partícula. 
c) Calcule os módulos da velocidade e da aceleração como funções do tempo. 
 
5.12. O movimento de um ponto material é definido pelas equações: 
⎩⎨
⎧
=
=
ty
tx
sin8
sin6
 
a) Faça a representação gráfica da trajectória do ponto material. 
b) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória. 
c) Indique o valor máximo da velocidade e da aceleração, e as posições onde esses valores se verificam. 
d) Qual o valor da velocidade na posição ( )3,4 . 
 
5.13. Uma partícula move-se segundo a equação 
( ) ( ) ( )cos sinx yr t A t u B t u= α + αG G G 
onde A e B são constantes. 
a) Represente graficamente a trajectória da partícula, indicando a posição inicial. 
b) Classifique o movimento. Em que instantes há inversão do sentido do movimento? 
c) Mostre que a aceleração aponta para a origem e é proporcional a rG . 
 
 
6. Movimento curvilíneo (com integração) 
 
M. Faria – Dez 2007 12/31 
Exercícios de Cinemática 
6.1. A velocidade de uma partícula é dada por ( ) 6cos 2 6sin 2x yv t tu tu= −G G G . No instante , a partícula 
encontra-se na posição 
0t =
( )0,3,0 . 
a) Escreva a lei vectorial do movimento e classifique-o. 
b) Represente graficamente a trajectória e as grandezas rG , vG e aG para 2t = π . 
c) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória. 
d) Mostre que se trata de um movimento periódico e determine o seu período. 
Resolução 
a) Dado o vector velocidade 
( ) 6cos 2 6sin 2x yv t tu tu= −G G G
3
 
o vector posição obtém-se por integração do vector velocidade 
( ) ( ) ( ) ( )1 23sin 2 3cos 2x y zr t v t dt t c u t c u c u= = + + + +∫G G G G G 
e as constantes de integração determinam-se pelas condições iniciais 
( )
( ) ( ) 1 2 31 2 3
0 3
0
0 3
y
x y z
r u
c c c
r c u c u c u
⎧ =⎪ ⇒ = = =⎨ = + + +⎪⎩
G G
G G G G 
donde, a lei do movimento é 
( ) 3sin 2 3cos 2x yr t tu tu= +G G G 
Trata-se de um movimento circular no plano xOy (como veremos na alínea seguinte) e uniforme pois o 
módulo da velocidade é constante 
( ) ( ) ( )2 26cos2 6sin 2 6 2v t t t= + − =G 
sendo nula a componente tangencial da aceleração 
( ) ( ) 0t da t v tdt= =
G 
e portanto a componente normal da aceleração é constante 
( ) ( ) 12 2na t a t= =G 
e trata-se pois de um movimento circular e uniforme. 
b) Usando as equações paramétricas e eliminando t obtém-se a equação da trajectória 
( )
( )
2 23sin 2 9
3cos2
x t t
x y
y t t
⎧ =⎪ ⇒ + =⎨ =⎪⎩
 
Esta última equação é a equação da circunferência centrada na origem e de raio 3. Quanto à aceleração ela é 
( ) 12sin 2 12cos 2x ydva t tu tudt= = − −
GG G G 
No instante 2t = π , os vectores posição, velocidade e aceleração são 
( ) ( ) ( )2 3 2 6 2 12y xr u v u aπ = − π = − π =G G G G G yuG 
Representamos a trajectória e os vectores e vG aG no instante 2t = π 
M. Faria – Dez2007 13/31 
Exercícios de Cinemática 
 
( )2v πG
( )2a πG
x 
y 
 
 
c) A lei do movimento sobre a trajectória é dada por 
( ) ( )
0 0
6 2 6 2
t t
s t v t dt dt= = =∫ ∫G t 
d) Por definição o movimento diz-se periódico se 
( ) ( ) { }, 0,1,2,r t r t nT t n= + ∀ ∈G G … 
 sendo T o seu período. Usando as equações paramétricas do movimento 
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
( )
( )
3sin 2 3sin 2 2
3cos 2 3cos 2 2
x t x t T t t T
r t r t T T
y t y t T t t T
⎧ ⎧= + = +⎪ ⎪= + ⇒ ⇒ ⇒ =⎨ ⎨= + = +⎪ ⎪⎩ ⎩
G G π 
 
6.2. Um corpo desloca-se à velocidade 1,5 m⋅s−1 na direcção e sentido do semi-eixo positivo Oy. Ao passar 
pela origem (semi-espaço ) o corpo fica sujeito a uma aceleração de 5 m⋅s0x ≥ −2 na direcção e sentido do 
semi-eixo positivo Ox. Determine: 
a) a equação da trajectória; 
b) o módulo da velocidade em s; 1t =
c) as componentes normal e tangencial da aceleração, e o raio de curvatura em s. 1t =
Resolução 
a) Começando a contagem do tempo no instante em que o corpo passa na origem, trata-se de um 
movimento com aceleração 
( ) 5 xa t u=G G 
e com as condições iniciais 
( )0 1,5 yv t u= =G G 
( )0 0r t = = GG 
Tem-se 
( ) ( )
0 1,5
5 5 1
y
t v t
x xu
dva adt dv u dt dv tu v t u
dt
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = −∫ ∫ ,5 y ⇒G G
GG G G G G G G G 
( ) 5 1,5x yv t tu u⇒ = +G G G (m⋅s−1) 
( ) ( ) ( ) 2
0 0
5 1,5 2,5 1,5
t r t
x y x
drv vdt dr tu u dt dr r t t u tu
dt
= ⇒ = ⇒ + = ⇒ = +∫ ∫ yGG
GG G G G G G G G G (m) 
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Exercícios de Cinemática 
A equação da trajectória obtem-se partindo das equações paramétricas e eliminando o parâmetro t 
22
22,5 10
2,5 1,5 91,5
x t x y x y
y t
⎧ = ⎛ ⎞⎪ ⇒ = ⇒ =⎨ ⎜ ⎟=⎪ ⎝ ⎠⎩
 
b) No instante s, 1t =
( ) ( ) 2 21 5 1,5 1 5 1,5 5,154x yv t u u v t= = + ⇒ = = + ≈G G G m⋅s−1
c) O módulo da velocidade é 
225 2,25v t= + 
donde 
2
2
2525 2,25
25 2,25
t
dv d ta t
dt dt t
⎡ ⎤= = + =⎢ ⎥⎣ ⎦ +
 
No instante s, 1=t
( )1 4,789ta t = ≈ m⋅s−2
( ) ( )1 5 1 5xa t u a t= = ⇒ = =G G m⋅s−2
( ) ( ) ( )2 2 2 2 21 1 1 1t n n ta a a a t a t a t= + ⇒ = = = − = ≈ ,437 m⋅s−2 
( ) ( )( )
22 1
1 1
1n n
v tva t
a t
== ⇒ ρ = = ≈ρ = 8,97 m 
 
6.3. Uma partícula desloca-se com aceleração constante 4 ya u= −G G . A posição e a velocidade iniciais são 
respectivamente ( )0 2 xr u=G G e ( )0 8 yv u=G G . 
a) Escreva a equação cartesiana da trajectória, representando-a graficamente. Represente os vectores 
velocidade e aceleração no instante 1t = . 
b) Classifique o movimento, justificando. 
c) Há inversão no sentido do movimento? Em caso afirmativo, quando? 
d) Escreva a lei do movimento sobre a trajectória. 
Resolução 
a) Por sucessiva integração do vector aceleração 
4 ya u= −G G 
e usando as condições iniciais 
( )
( )
0 2
0 8
x
y
r u
v u
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
G G
G G 
obtém-se o vector velocidade 
( ) ( )8 4 yv t t u= −G G 
e o vector posição 
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Exercícios de Cinemática 
( ) ( )22 8 2x yr t u t t u= + −G G G 
As equações paramétricas do movimento são 
( )
( ) 2
2
8 2
x t
y t t t
⎧ =⎪⎨ = −⎪⎩
 
e trata-se de um movimento rectilíneo 
0t =
2 
8 
x 
y 
 
No instante tem-se 1t =
( ) ( ) ( )1 2 6 1 4 1 4x y yr u u v u a= + = = −G G G G G G yuG 
2 
6 
x 
y ( )1vG
( )1aG
 
 
b) Até ao instante , o movimento ao longo do eixo dos yy é uniformemente retardado, e a partir 
desse instante passa a ser uniformemente acelerado. 
2t =
 
 0
0
v
a
<
<
0
0
v
a
>
<
2 
ay 
vy 
-4 
8 
t 
 
 
c) A inversão do movimento dá-se quando vG muda de sinal, ou seja no instante . 2t =
d) ( ) 28 ttts −=
 
6.4. A aceleração de um corpo é dada por 510 10 tx ya u e u
−= +G G G (SI). Sabendo que no instante inicial o corpo 
está na origem do referencial com velocidade 0 2 zv u=G G (m⋅s−1) , determine a velocidade e posição num 
M. Faria – Dez 2007 16/31 
Exercícios de Cinemática 
instante genérico. 
Resolução 
A aceleração é 
510 10 tx ya u e u
−= +G G G 
e as condições iniciais são 
( )0 0r t = = GG 
( )0 2 zv t u= =G G 
Tem-se sucessivamente 
( ) ( )5
0 2
10 10
z
t vt
x y u
dva adt dv u e u dt dv
dt
−= ⇒ = ⇒ + =∫ ∫ t ⇒GG
GG G G G G G 
( ) ( )510 2 2 2tx yv t tu e u u−⇒ = + − +G G G zG (m⋅s−1) 
( ) ( )5
0 0
10 2 2 2
t rt
x y z
drv vdt dr tu e u u dt dr
dt
−⎡ ⎤= ⇒ = ⇒ + − + =⎣ ⎦∫ ∫
G
G
GG G G G G G Gt ⇒ 
( ) 2 52 25 2 2
5 5
t
x y zr t t u t e u tu
−⎛ ⎞⇒ = + + − +⎜ ⎟⎝ ⎠
G G G G (m) 
 
6.5. Um homem inicialmente no centro de um carrocel que gira com velocidade angular constante de 0,2 
rad⋅s−1, desloca-se ao longo do raio da plataforma, com velocidade constante de 0,1 m⋅s−1 relativamente à 
mesma. 
a) Determine as componentes radial e transversal da velocidade e aceleração em qualquer instante. 
b) Sabendo que o diâmetro da plataforma é de 10m, qual a velocidade e aceleração na extremidade da 
plataforma? 
Resolução 
a) As componentes radial e transversal da velocidade e da aceleração são assim definidas 
rr ru=G G 
( )
N N
r
r r
v
v
dr d drv ru u
dt dt dt θ
r uθ= = = + ω
GG G G G 
2
2
2 2
r
r r
aa
dv d dr d r dra u r u r u r
dt dt dt dtdt
θ
θ θ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛= = + ω = − ω + α + ω⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝⎝ ⎠
GG G G G
���	��
���	��
u⎞⎟⎠
G 
Os dados do problema são 
0,2ω= rad⋅s−1
0,1rv = m⋅s−1
( )0 0r t = = 
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Exercícios de Cinemática 
Daqui tira-se 
( ) ( ) 220 0 0,1 0,1 0
r t t
r r
dr d rv dr v dt dr dt r t t
dt dt
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫ 
0 0d
dt
ωω= ⇒ α = = 
e as componentes radial e transversal escrevem-se 
-1 -2
-1 -2
0,1 m s 0,004 m s
0,02 m s 0,04 m s
r rv a
v t a tθ θ
⎧ ⎧= ⋅ = − ⋅⎪ ⎪⎨ ⎨= ⋅ = ⋅⎪ ⎪⎩ ⎩
t
 
b) Se o diâmetro é de 10 m, na extremidade da plataforma 5r = m. Tem-se 
0,1
0,1
1
r
r
v
v u
v r
uθ
θ
=⎧ ⇒ = +⎨ = ω =⎩
G G G (m⋅s−1) 
2 0,2
0,2 0,04
2 0,04
r
r
a r
a udra
dt
uθ
θ
⎧ = − ω = −⎪ ⇒ = − +⎨ = ω =⎪⎩
G G G (m⋅s−2) 
 
6.6. O acesso a um parque automóvel é efectuado por uma pista em caracol de raio 10m e distância entre 
pisos de 2 m. As equações da trajectória dos veículos nesta pista são 1z k= θ e 2R k= . 
a) Calcule k1 e k2. 
b) Determine a direcção da velocidade de um automóvel que sobe a pista. 
c) Supondo que a velocidade de subida é 18 km⋅h−1, determine a posição do automóvel em função do 
tempo. 
d) Calcule o tempo necessário para atingir o parque de estacionamento a partir da entrada na pista. 
e) Qual a aceleração do automóvel nesse instante? 
Resolução 
 
 
2 m 
10 m 
 
 
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Exercícios de Cinemática 
a) O raio da trajectória é 10 m, donde 
2
2 1010
R k
k
R
=⎧ ⇒ =⎨ =⎩
m 
Se a distância entre dois pisos é de 2 m, o automóvel sobe 2 m quando descreve um ângulo completo de 2π, 
ou seja 
1
1 1
12 2
2, 2
z k
k k
z
= θ⎧ ⇒ = π ⇒ =⎨ = θ = π π⎩
 m⋅rad−1
b) Recorde-se que em coordenadas cilíndricas o vector posição se escreve 
zr u zuρ= ρ +G G G 
e neste caso 
110 zr u uρ= + θπ
G G G (11.1) 
Derivando em ordem a t obtém-se o vector velocidade 
N N
110 10z z
dr d dv u u u
dt dt dtθ θ
ω ω
θ θ= = + = ω +π π
GG G G G uω G 
com módulo 
2100 1v ω= ππ + (11.2) 
A orientação deste vector (que é a orientação do movimento porque o vector velocidade é sempre tangente à 
trajectória com o sentido do movimento) é dada pelo seu versor, o versor tangencial tu
G , 
2 2
1 10 1
100 1 100 1
z
t t
v v
v vu u v u u
v
ρ
θ
π= ⇒ = = +
π + π +
G G G G G G
��	�
 ��	�
z 
Facilmente se obtém a inclinação dapista, o ângulo α da figura 
 
 
vθ 
vG
vz α 
 
1arctan 1,8º
10
zv
vθ
α = = ≈π 
c) A velocidade de subida é constante e vale 
18v = km⋅h−1 5= m⋅s−1
Também é constante a velocidade angular ω, e de acordo com (11.2) 
2
2
100 1 0,4997
100 1
vv ω π= π + ⇒ ω= ≈π π +
rad⋅s−1
Sendo ω constante podemos facilmente obter a dependência de θ em função de t, supondo que no instante 
M. Faria – Dez 2007 19/31 
Exercícios de Cinemática 
inicial , ( )0 0tθ = =
( ) ( )
0 0
0,4997
t td dt d t t
dt
θθω = ⇒ ω = θ ⇒ θ =∫ ∫ 
Usando agora (11.1), 
10 0,159 zr u uρ= +G G G (m) 
d) O tempo T que leva a dar uma volta completa pode ser determinado por 
( )
( )
0,4997
12,57
2
T T
T
T
⎧θ =⎪ ⇒ =⎨θ = π⎪⎩
s 
e) A aceleração é 
210 10 2,497z
dv da u u u
dt dt θ ρ
ω⎡ ⎤= = ω + = − ω = −⎢ ⎥π⎣ ⎦
GG G G G uρG 
Recorde-se que 
du
u
dt
du u
dt
ρ
θ
θ
ρ
⎧ = ω⎪⎪⎨⎪ = −ω⎪⎩
G G
G G 
 
6.7. Uma partícula desloca-se no plano xOy com aceleração constante. No instante está na origem com 
velocidade 
0t =
0 3 2x yv u u= −G G G e no instante s tem velocidade 3t = 9 7x yv u u= +G G G . Qual a aceleração da partícula e 
a sua lei do movimento. 
 
6.8. A aceleração de um ponto material é x ya u tu= +G G G (m⋅s−2). No instante inicial, o ponto material tinha 
velocidade nula e estava na origem do sistema de eixos. Determine: 
a) as acelerações tangencial e normal ao fim de 2 segundos de movimento; 
b) o raio de curvatura da trajectória no mesmo instante; 
c) a distância do corpo à origem ainda no mesmo instante. 
 
6.9. Uma partícula move-se com aceleração dada por ( ) 32cos3 6 3sin3tx ya t tu e u tu−= + − zG G G G . Sabendo que no 
instante , a partícula está localizada no ponto 0t = ( )1,3,2− e tem velocidade 2 2x yu u u− +G G zG estabeleça as 
expressões da velocidade e do vector posição da partícula no instante t. 
 
6.10. Uma partícula move-se com aceleração ( ) 4sin 4cosx ya t tu tu= − +G G G . No instante a posição é dada 
pelo vector 
0t =
( )0 4 yr =G uG e a velocidade pelo vector ( )0 4 xv = uG G . Determine: 
a) a trajectória da partícula; 
b) as acelerações normal e tangencial; 
c) o raio da curvatura. 
M. Faria – Dez 2007 20/31 
Exercícios de Cinemática 
 
6.11. Chico desloca-se no seu VW Polo com uma aceleração 3 2x yu u−G G (m⋅s−2) enquanto Paula segue no seu 
Renault Clio com aceleração 3x yu u+G G (m⋅s−2). Supondo que ambos partem em repouso do mesmo ponto, 
qual a distância entre Chico e Paula ao fim de 5 segundos. 
 
6.12. Um ponto material move-se no plano xOy segundo a lei 
2
2
2
2
4sin
3cos
d x t
dt
d y t
dt
⎧ = −⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 
Sabendo que para se tem 0t =
0 3
4 0
x y
dx dy
dt dt
= =⎧ ⎧⎪ ⎪⎨ ⎨= =⎪ ⎪⎩ ⎩
−
 
determine: 
a) a equação da trajectória; 
b) o valor da velocidade quando 4t = π . 
 
6.13. Uma partícula move-se no plano xOy de tal modo que: 
34 4
4
dx t t
dt
dy t
dt
⎧ = +⎪⎪⎨⎪ =⎪⎩
 
e no instante encontra-se na origem dos eixos coordenados. 0t =
a) Escreva a expressão do vector posição da partícula e indique a posição da partícula para . 1t =
b) Escreva a equação da trajectória e represente-a graficamente. 
c) Determine a aceleração da partícula no instante 1t = . 
 
6.14. Uma partícula move-se com aceleração zyx
t ututuea GGGG sin3cos52 −+= − (m⋅s−2). Se no instante 0=t a 
partícula se encontra na posição com velocidade ( 2,3,1 − ) zyx uuu GGG 234 +− (m⋅s−1), determine, para qualquer 
instante: 
a) o vector velocidade; 
b) o vector posição. 
 
6.15. Considere o movimento no plano de uma partícula sujeita a uma aceleração constante (m⋅s2 ya u=G G −2). 
Sabendo que no instante 1t = s a sua velocidade é xv u=G G (m⋅s−1) e que no instante s a partícula se 2t =
M. Faria – Dez 2007 21/31 
Exercícios de Cinemática 
encontra na posição de coordenadas ( )1,0 m, determine: 
a) a sua velocidade em qualquer instante; 
b) o vector posição em qualquer instante; 
c) a equação da trajectória, representando-a no plano xOy com a indicação da posição inicial e do 
sentido do movimento; 
d) o versor (tangente à trajectória) no instante te
G 1t = s. 
Resolução 
a) A velocidade obtém-se por integração do vector aceleração sabendo que ( ) itv GG == 1 . 
( ) ( ) ( )
1
2 1
x
v t t
x yu
dv a dv adt dv adt v t u t u
dt
= ⇒ = ⇒ = ⇒ − = −∫ ∫GG
G G G G G G G G G 
ou seja 
( ) ( )2 1x yv t u t u= + −G G G (m⋅s−1) 
b) O vector posição obtém-se por integração do vector velocidade sabendo que ( )2 xr t u= =G G . Tem-se 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2
2
2 1 2 2
x
r t t
x y x xu
dr v dr u t u dt r t u t u t t
dt
⎡ ⎤= ⇒ = + − ⇒ − = − + −⎣ ⎦∫ ∫ yuGG
G G G G G G G G G 
ou seja 
( ) ( ) ( )21 2x yr t t u t t u= − + −G G G (m) 
c) As equações paramétricas são 
( )
( ) 2
1
2
x t t
y t t t
⎧ = −⎪⎨ = −⎪⎩
 
e a equação da trajectória é obtida eliminando o parâmetro t, ou seja 
( )
( ) ( ) (22
__1 1
__ 1 2 12
x t t t x
y x xy t t t
⎧ = − ⎧= +⎧⎪ ⎪⇒ ⇒⎨ ⎨ ⎨ )= + − += − ⎩ ⎪⎪ ⎩⎩ 
e tem-se 
( ) 2 1y x x= − 
 
0t =
 
 
M. Faria – Dez 2007 22/31 
Exercícios de Cinemática 
d) O versor é sempre tangente à trajectória, ou seja tem sempre a orientação do vector velocidade. 
No instante o vector velocidade é dado, ou seja 
te
G
1t = ( )1 xv t u= =G G . Assim neste instante tem-se 
( )1t xe t u= =G G 
 
6.16. Um corpo desloca-se à velocidade de 2 m⋅s−1 na direcção e sentido do semi-eixo positivo Oy. Ao passar 
pela origem o corpo fica sujeito a uma aceleração 14 x y
y
a u u
v
= +G G G (m⋅s−2). Determine: 
a) a lei da velocidade; 
b) a aceleração em função do tempo; 
c) no instante s calcule: 1t =
i. o versor da tangente à trajectória; 
ii. o módulo da aceleração; 
iii. a componente tangencial da aceleração; 
iv. a componente normal; 
v. o raio de curvatura. 
Resolução 
a) Considerando o problema desde o instante em que o corpo passa na origem, trata-se de um problema 
cuja a aceleração é 
14 x y
y
a u u
v
= +G G G (m⋅s−2) 
com as condições iniciais 
( )0 0r t = = GG (m) 
( )0 2 yv t u= =G G (m⋅s−1) 
Usando componentes cartesianas, as componentes da aceleração são 
4
1
x
y
y
a
a
v
=⎧⎪⎨ =⎪⎩
 
e as condições iniciais são 
( )
( )
0 0
0 2
x
y
v t
v t
⎧ = =⎪⎨ = =⎪⎩
 
( )
( )
0 0
0 0
x t
y t
⎧ = =⎪⎨ = =⎪⎩
 
Na direcção Ox tem-se 
( ) ( )
0 0
4 4x
v t tx x
x x
dv dva dv dt
dt dt
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =∫ ∫ 4xv t t 
e na direcção Oy 
M. Faria – Dez 2007 23/31 
Exercícios de Cinemática 
( ) ( )2
2 0
1 2 4x
v t ty y
y y y
y
dv dv
a v dv dt
dt dt v
= ⇒ = ⇒ = ⇒ = +∫ ∫ yv t t 
Das duas soluções (positiva e negativa) apenas interessa a solução positiva, dado que no instante inicial a 
velocidade em y é positiva e nunca se anula (para poder ser negativa teria de se anular). Assim, a lei da 
velocidade escreve-se 
( ) 4 2 4x yv t tu t u= + +G G G (m⋅s−1) 
e no instante 1=t
( ) 4 6x yv t u u= +G G G (m⋅s−1) 
b) Para obtermos a aceleração em função do tempo, derivamos a expressão anterior 
( ) ( ) 14
2 4x y
dv t
a t u u
dt t
= = + +
GG G G (m⋅s−2) 
c) O módulo da velocidade é 
( ) 216 2 4v t t t= + + 
e no instante 1t =
( )1 2v t = = 2 (m⋅s−1) 
i. Como a velocidade é sempre tangente à trajectória, o versor da tangente à trajectória é o 
versor da velocidade, ou seja 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 41 1 4 61 122 22t x yu t v t u u u uv t= = = = + = +=G G G G G 31x yG 
ii. 
( ) ( ) ( )1 14 16
2 4 62 4x y
a t u u a t a t
tt
= + ⇒ = + ⇒ = =++
G G G 971 (m⋅s−2) 
iii. 
( ) ( ) ( ) ( )2 216 1 1716 2 4 1 2216 2 4t tdv t d ta t t t a tdt dt t t+= = + + = ⇒ = =+ + (m⋅s−2) 
iv.( ) ( ) ( )2 2 101 1 1
33n t
a t a t a t= = = − = = (m⋅s−2) 
v. 
( ) ( )( )
2 1 111 3
1 5n
v t
t
a t
=ρ = = == 3 m 
 
 
7. Movimento circular 
 
M. Faria – Dez 2007 24/31 
Exercícios de Cinemática 
7.1. Um corpo executa um movimento circular com velocidade 10 2v t= − e raio igual a 25 m. 
a) Determine e indique numa figura a aceleração da partícula nos instantes inicial e quando pára. 
b) Determine a aceleração angular, a velocidade angular e o ângulo descrito até o corpo parar. 
c) Determine a posição e o caminho percorrido até aos instantes 5t = s e 10t = s. 
 
7.2. Uma partícula tem movimento circular de raio R com velocidade angular inicial ω0. Sendo o movimento 
retardado com aceleração angular constante −α mostre que, passado o tempo 0ωα a partícula repousa e nesse 
instante percorreu uma distância 
2
0
2
R ω
α . 
 
7.3. Uma pista de forma circular tem um diâmetro de 128 m. Um corredor aumenta a sua velocidade 
uniformemente no tempo, desde 4,3 m⋅s−1 a 7,3 m⋅s−1, numa distância de 28,9 m. 
a) Determine a aceleração tangencial do corredor. 
b) Calcule a aceleração normal e o módulo da aceleração do corredor, 2 s após ter começado a aumentar 
a velocidade. 
 
7.4. Uma partícula descreve uma trajectória circular de raio 2 m, sendo a aceleração angular dada por 
( rad⋅s158)( 2 +−=α ttt −2). Sabendo que no instante inicial a partícula está em repouso e a sua coordenada 
angular é rad, determine: 00 =θ
a) a lei da velocidade angular; 
b) a lei do movimento angular; 
c) os instantes em que a velocidade se anula; 
d) a distância percorrida ao fim de 4s. 
 
7.5. Considere que um pequeno corpo executa um movimento circular com velocidade constante igual a π 
m.s-1 e com frequência de 5 Hz. 
a) Indique numa figura a direcção e o sentido dos vectores velocidade e aceleração. 
b) Determine o ângulo descrito ao fim de um período de movimento. 
c) Calcule o raio da trajectória. 
d) Calcule o vector velocidade em função das suas componentes cartesianas e verifique que o seu 
módulo vale π de acordo com o enunciado do problema. 
 
7.6. A figura representa, num dado instante, a aceleração total ( 15 m⋅s−2 ) de uma partícula com movimento 
circular. Neste instante determine a velocidade da partícula e as acelerações tangencial e centrípeta. 
 
M. Faria – Dez 2007 25/31 
Exercícios de Cinemática 
 
30º 
2,5 m aG
vG
 
 
 
7.7. Um rapaz prende uma bola na extremidade de um fio de comprimento 0,6 m fazendo-a girar num círculo 
vertical. A velocidade da bola no seu ponto mais elevado é 4,3 m⋅s−1 e no seu ponto mais baixo é 6,5 m⋅s−1. 
Qual a aceleração nos pontos mais elevado e mais baixo. 
 
7.8. Considere o movimento de rotação em que é válida a lei da aceleração, kα = θ (rad⋅s−2), sendo k uma 
constante e θ o deslocamento angular. Sabe-se que na posição 0Aθ = rad a velocidade angular é 
rad⋅s10Aω = −1, e que na posição rad a velocidade angular é 1Bθ = 0Bω = rad⋅s−1. Com base nestes dados 
determine: 
a) a constante k; 
b) a aceleração angular e a velocidade angular para a posição 0,5Cθ = rad; 
c) as componentes tangencial e normal da aceleração no ponto C, sabendo que o movimento possui um 
raio de curvatura constante de valor igual a 20 cm; 
d) o módulo da aceleração e a direcção que esta faz com a trajectória. 
Resolução 
a) A constante K pode ser determinada mediante 
( )B B
A A
d d d d d d d
dt d dt
ω θ
ω θ
ω ω θ= α ⇒ = α ⇒ ω ω= α θ ⇒ ω ω= α θ θθ ∫ ∫ 
ou seja 
0 1
0 1 2 2
10 0
10 0
1 1 100
2 2
d K d K K⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω= θ θ ⇒ ω = θ ⇒ = −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∫ ∫ s−2
b) Determinado Κ, a aceleração angular escreve-se 
( ) θ−=θα 100 (rad⋅s−2) 
e para a posição rad 5,0=θC
( ) 505,0 −=α (rad⋅s−2) 
A velocidade angular nesse ponto C é 
0 1 0,52 2
010 0
10
1 50 75 8,66
2
C
Cd K d
ω⎡ ⎤ ⎡ ⎤ω ω = θ θ⇒ ω = − θ ⇒ ω = ≈⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∫ ∫ rad⋅s−1
c) Para o movimento circular, as componentes tangencial e normal da aceleração relacionam-se com as 
grandezas angulares por 
M. Faria – Dez 2007 26/31 
Exercícios de Cinemática 
2
t
n
a
a
= αρ⎧⎪⎨ = ω ρ⎪⎩
 
Com cm m, no ponto rad tem-se 20ρ = 2,0= 0,5Cθ =
( )0,5 10ta θ = = − m⋅s−2
( )0,5 15na θ = = m⋅s−2
d) O módulo da aceleração é 
2 2
t na a a= + 
e quando rad vem 0,5Cθ =
( ) ( )2 20,5 10 15 18,03a θ = = − + ≈ m⋅s−2
Como se pode ver na figura, o ângulo ϕ que o vector aceleração faz com a direcção do movimento (tangente 
à trajectória) é dado por 
15tan arctan 56,3º
10
n
t
a
a
⎛ ⎞ϕ = ⇒ ϕ = ≈⎜ ⎟⎝ ⎠ 
aG
an 
at 
ϕ 
 
 
 
7.9. Acelera-se uniformemente um carro de corrida, de modo que a sua velocidade passe de 72 km/h para 
108 km/h, num percurso curvo de 120 m de comprimento e 200 m de raio. Determine o módulo da 
aceleração total do carro, após o primeiro percurso de 80 m na curva. Escreva as leis angulares deste 
movimento. 
 
7.10. Uma partícula descreve uma trajectória circular de 20 cm de raio. A lei do movimento é 24s t t= − (m). 
a) Determinar as grandezas da velocidade e da aceleração no instante 1t = s. 
b) Ao fim de quanto tempo se inverte o sentido do movimento. 
c) Qual o comprimento do arco percorrido pela partícula até ao instante 3t = s. 
 
7.11. Um comboio desloca-se a 144 km/h numa curva de 900 m de raio quando são accionados os freios, 
imprimindo uma desaceleração constante ao combóio. Após 6 s a velocidade reduziu-se para 96 km/h. 
Determine a aceleração (módulo e direcção) do combóio 3 s depois do início da travagem. Qual o espaço 
percorrido durante os 6 s? 
M. Faria – Dez 2007 27/31 
Exercícios de Cinemática 
Resolução 
Consideramos o inicio do movimento no instante em que o comboio sofre a desaceleração. Trata-se 
de um movimento circular de raio 900R = m, com aceleração angular constante, uma vez que a 
desaceleração é constante. A velocidade inicial é 
( )0 144v t = = km⋅h−1 m⋅s40= −1
e a velocidade ao fim de 6 segundos é 
( )6 96v t = = km⋅h−1 m⋅s26,67= −1
No movimento circular tem-se 
vv R
R
= ω ⇒ ω= 
As velocidades angulares particulares são então 
( ) 40
90
tω = = rad⋅s−1
( ) 86
270
tω = = rad⋅s−1
A aceleração angular é 
6 8 270
0 4 90
26
135
d dt d dt d
dt
ωα = ⇒ α = ω ⇒ α = ω ⇒ α = − ⇒∫ ∫ 
1
405
⇒ α = − rad⋅s−2
e a velocidade angular é 
( ) ( ) ( )
0 4 90
1 4 4
405 90 90 405
t td dt d t t t t
dt
ωωα = ⇒ α = ω ⇒ − = ω − ⇒ ω = −∫ ∫ 1 (rad⋅s−1) 
Escolhendo o referencial tal que a posição inicial do comboio seja ( )0 0tθ = = , tem-se 
( ) ( ) 2
0 0
4 1 4 1
90 405 90 810
t td t dt d t t t
dt
θθ ⎛ ⎞ω = ⇒ − = θ ⇒ θ = −⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ (rad) 
As componentes normal e tangencial da aceleração são 
2
n
t
a R
a R
⎧ = ω⎪⎨ = α⎪⎩
 
e o módulo da aceleração 
4 2a R= ω + α 
No instante s, 3t =
( )
( )
3 1,235
3 2,222
n
t
a t
a t
⎧ = ≈⎪⎨ = ≈⎪⎩
 
( )3 2,542a t = ≈ m⋅s−2
( )3 0,122tθ = ≈ rad 
M. Faria – Dez 2007 28/31 
Exercícios de Cinemática 
 
 
aG
at 
an 0t =
29º 
 
 
O comboio pára ao fim de 18 segundos, pois nesse instante a velocidade é nula, isto é 
( )18 0tω = = 
Assim, até ao instante s não há inversão do sentido do movimento e a distância percorrida é 6=t
( ) ( )6 6d t R t= = θ = = 200 m 
 
7.12. Uma plataforma circular de raio 2 m, inicialmente em repouso, pode rodar livremente em torno do eixo 
fixo perpendicular ao plano da plataforma e que passa no seu centro. Sabendo que a plataforma é acelerada 
de acordo com: α = 120 t2- 48t +16 (SI), determine: 
a) a velocidade angular e a posição em função do tempo; 
b) as componentes normal e tangencial da aceleração de um ponto da periferia da plataforma, para t=1s. 
Resolução 
a) A aceleração angular é 
( ) 1648120 2 +−=α ttt(rad⋅s−2) 
e escolhendo o referencial tal que no instante 0=t se tem 0=θ , as condições iniciais são 
( ) 00 ==ω t 
( ) 00 ==θ t 
Primitivando sucessivamente tem-se 
( ) ( ) ⇒ω=+−⇒ω=α⇒ω=α ∫∫ ω tt ddtttddtdtd 00 2 1648120 
( ) tttt 162440 23 +−=ω⇒ (rad⋅s−1) 
( ) ( ) ⇒θ=+−⇒θ=ω⇒θ=ω ∫∫ θ tt ddttttddtdtd 00 23 162440 
( ) 234 8810 tttt +−=θ⇒ (rad) 
 
b) As componentes normal e tangencial da aceleração em função das grandezas angulares escrevem-se 
M. Faria – Dez 2007 29/31 
Exercícios de Cinemática 
⎪⎩
⎪⎨⎧ ρα=
ρω=
t
n
a
a 2
 
Para um ponto na periferia da plataforma o raio é 
2=ρ m 
e tem-se 
( ) ( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
+−=
+−=
3296240
1624402
2
223
ttta
tttta
t
n 
No instante s, 1=t
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
⋅==
⋅==
−
−
2
2
sm 1761
sm 20481
ta
ta
t
n 
 
7.13. Um corpo descreve uma trajectória circular segundo a lei 3 2 2s t t= + (m). Se a aceleração do corpo no 
instante s for 2t = 16 2 m⋅s−2, calcule para esse instante a velocidade linear, o comprimento do arco 
percorrido e o raio de curvatura. 
 
7.14. Uma partícula roda sobre uma circunferência de raio 0,1 m. O ângulo que a semi-recta, que une o 
centro da circunferência com a partícula, faz com uma direcção fixa do espaço (eixo dos xx) é dado por 
rad. Calcule: ( ) 25 18t t tθ = +
a) a velocidade angular em função do tempo; 
b) a aceleração normal e tangencial para 1t = s; 
c) o instante em que o vector aceleração faz com o raio um ângulo de 45º. 
 
7.15. A aceleração angular de um veio é definida pela relação 0,25α = − ω , na qual α é expresso em rad⋅s−2 e 
ω em rad⋅s−1. Sabendo que para s a velocidade angular do veio é de 20 rad⋅s0t = −1, determine: 
a) o número de revoluções necessárias para atingir o repouso; 
b) o tempo necessário para a velocidade angular do veio sofrer uma redução de 1% do seu valor inicial. 
Resolução 
a) A aceleração angular é 
0,25α = − ω (rad⋅s−2) 
e as condições iniciais são 
( )0 20tω = = (rad⋅s−1) 
( ) 00tθ = = θ (rad) 
Tem-se 
M. Faria – Dez 2007 30/31 
Exercícios de Cinemática 
( ) ( )
0 20
1
0,25
t td ddt dt d
dt
ωω ωα ω = ⇒ = ⇒ = ω ⇒α − ω∫ ∫ 
( ) ( ) 44 ln ln 20 20 tt t t −⎡ ⎤⇒ = − ω − ⇒ ω =⎣ ⎦ e (rad⋅s−1) 
( )
0
4
0
20
t ttd dt d e dt d
dt
θ−
θ
θω = ⇒ ω = θ ⇒ = θ ⇒∫ ∫ 
( ) ( )40 80 1 tt e−⇒ θ = θ + − (rad) 
O instante T em que o veio atinge o repouso é tal que a sua velocidade angular se anula, 
( ) 40 20 0Tt T e T−ω = = ⇒ = ⇒ →+∞ 
ou seja o veio nunca pára. Apesar de o veio nunca parar podemos determinar o número máximo de voltas 
que ele dá. O ângulo descrito desde o instante inicial até T é →+∞
( ) ( )40 lim 80 1 80TTT e−→+∞Δθ = θ − θ = − = rad 
e o número de voltas correspondente a este ângulo é 
nº de voltas 80 12,73
2
= ≈π 
ou seja o veio dá 12 voltas completas antes de parar. 
b) Seja T o instante em que a velocidade angular do veio atinge 1% do seu valor inicial. Tem-se 
( ) 0,2t Tω = = (rad⋅s−1) 
e usando a lei da velocidade angular 
( ) 420 0,2 4ln 0,01 18,42TT e T−ω = = ⇒ = − ≈ s 
 
 
M. Faria – Dez 2007 31/31 
	 
	1. Movimento rectilíneo com dependência em t 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	2. Movimento rectilíneo com dependência em v 
	Resolução 
	3. Movimento rectilíneo com dependência em x 
	Resolução 
	4. Movimento rectilíneo – outros problemas 
	5. Movimento curvilíneo (sem integração) 
	Resolução 
	Resolução 
	6. Movimento curvilíneo (com integração) 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	7. Movimento circular 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução 
	Resolução