Cálculo I - Derivadas de Funções de Uma Variável

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UnisulVirtual
Palhoça, 2014
Universidade do Sul de Santa Catarina
Derivadas de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis
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Livro didático
UnisulVirtual
Palhoça, 2014
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Derivadas de 
Funções de uma 
ou mais Variáveis
Livro Didático
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UnisulVirtual 2014
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Contextuar
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qualquer meio sem a prévia autorização desta instituição.
515.83
F62 Flemming, Diva Marília
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis da UA : livro 
didático / Diva Marília Flemming ; design instrucional Eliete de 
Oliveira Costa. – Palhoça : UnisulVirtual, 2014.
127 p. : il. ; 28 cm.
Inclui bibliografia.
1. Funções de variáveis reais. 2. Funções - Matemática. I. Costa, 
Eliete de Oliveira. II. Título.
Sumário
Introdução | 7
Capítulo 1
Contextualização das derivadas | 9
Capítulo 2
Calculando Derivadas | 31
Capítulo 3
Derivadas Sucessivas, Derivação Implícita e 
Diferencial | 59
Capítulo 4
Aplicações Elementares | 81
Considerações Finais | 123
Referências | 125
Sobre o Professor Conteudista | 127
Introdução
Prezados estudantes
No decorrer deste texto, você terá a oportunidade de avançar nos seus estudos 
do Cálculo Diferencial e Integral. Mais especificamente, você terá a oportunidade 
da analisar as derivadas das funções e as aplicações nas funções que modelam 
situações reais em diferentes espaços com duas ou três dimensões.
Trata-se de um texto inovador, para que você possa apreciar as aplicações das 
derivadas no contexto de situações que envolvem as taxas de variações, como, 
por exemplo, velocidade e aceleração.
Nos estudos propostos neste livro, as situações práticas surgem modeladas; 
e para a compreensão dos resultados, os objetos do cálculo serão discutidos 
justificando-se a própria denotação “diferencial”.
Elementos da História da Matemática nos ajudam nos alicerces conceituais, 
e também a tecnologia, quando bem aplicada, nos ajuda nos momentos 
considerados “braçais”, ou seja, nos momentos em que as técnicas e os longos 
algebrismos nos levam a uma rotina em que os métodos se sobrepõem ao 
raciocínio e à lógica. 
No decorrer dos estudos, você vai desenvolver muitos cálculos, vivenciando 
diferentes métodos e técnicas. Na sequência, esses cálculos serão aplicados em 
situações problemas.
No primeiro capítulo, vamos apresentar uma visão mais geral das derivadas em 
suas interpretações geométrica e física.
No segundo capítulo, vamos trabalhar a parte mais técnica com as regras de 
derivação envolvendo as derivadas de funções de uma variável e as derivadas 
parciais no contexto das funções de várias variáveis.
No terceiro capítulo, vamos formalizar o conceito de Diferencial e vamos discutir o 
processo de derivação em situações em que as funções não estão explicitadas.
8
Finalmente, no quarto capítulo completamos o estudo com aplicações das 
derivadas consideradas elementares, pois não são situações de grande 
complexidade.
Ao final de cada capítulo, apresentamos uma relação de atividades formativas 
para autoavaliação do seu processo de aprendizagem. 
Os quadros, tabelas e gráficos no decorrer do livro, quando não citadas as fontes, 
foram elaborados pela autora. 
Bons estudos!
Profa. Diva Marília Flemming
9
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 1
Contextualização das derivadas
Seção 1: Retas tangentes e taxas de variação.
Seção 2: Derivadas de funções de uma variável e 
derivadas parciais.
Seção 3: Plano tangente e vetor gradiente.
A partir do estudo deste capítulo, espera-se que 
o estudante possa visualizar a aplicação das 
derivadas em situações problemas, discutir o 
conceito de derivada de uma função e interpretar 
geometricamente as derivadas em situações 
problemas que envolvem funções de uma ou mais 
variáveis.
10
Capítulo 1 
Seção 1
Retas tangentes e taxas de variação
No contexto do Cálculo Diferencial e Integral, o conceito de Derivada é 
tradicionalmente discutido nas áreas exatas como um dos mais importantes 
conceitos. Você estudará a derivada de uma função de uma ou mais variáveis 
e perceberá, ao longo do estudo do Cálculo, que a derivada é um poderoso 
instrumento da matemática.
No decorrer dos seus estudos, você vai se deparar com situações que podem 
responder a diversas questões:
Como encontrar a inclinação de uma reta tangente a uma curva? E o que 
isso significa? 
Qual a relação entre as taxas de variação e a inclinação da reta tangente a 
uma curva em um ponto P?
O que significa um acréscimo ou o diferencial de uma variável?
Na natureza, em nosso dia a dia, existem muitos fenômenos que envolvem a 
variação de grandezas. Por exemplo, a velocidade de um automóvel, os índices 
de inflação de um país, a taxa de crescimento populacional, a intensidade de um 
terremoto etc. Para estudar tais fenômenos que envolvem taxas de variação de 
grandezas, usa-se o conceito de derivada.
O conceito de função, já estudado, pode parecer simples, mas é o resultado de 
uma lenta e longa evolução histórica, iniciada na Antiguidade, pelos Babilônios 
e Pitagóricos. No decorrer do tempo, as funções eram estudadas, os conceitos 
geométricos foram incorporados e o Cálculo Diferencial foi se desenvolvendo.
O Cálculo é o resultado de estudo e pesquisa realizados por matemáticos 
importantes que nos deixaram suas descobertas como tesouros prontos a serem 
desfrutados. Fermat, Newton, Leibniz, a família Bernoulli, Euler, Lagrange, Cauchy 
e tantos outros são nomes que devem ficar em sua mente por terem contribuído 
para o desenvolvimento do Cálculo.
Discutir e analisar as derivadas passa a ser essencial para o estudante de um 
curso superior que possui a matemática como base em seu currículo, visto que, 
posteriormente, poderá aplicar em situações práticas.
No estudo das derivadas, antes de defini-las, é interessante que você conheça 
alguns objetos de estudo que auxiliam na compreensão das definições, 
proposições e aplicações. Vamos discutir:
11
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
 • Inclinação de uma reta tangente a uma curva;
 • Planos tangentes a uma superfície;
 • Taxasde variações.
1.1 Inclinação de uma reta tangente a uma curva
Uma reta qualquer possui uma inclinação que é dada pelo ângulo formado entre a 
reta e o eixo horizontal. Veja um exemplo na Figura 1.1.
Figura 1.1 – Reta r inclinada
A inclinação da reta r é dada pela tangente do ângulo .
Vamos agora analisar essa inclinação no contexto de 
uma função, como mostra a Figura 1.2. Observe que, no 
gráfico, uma função e uma reta secante, que 
passa pelos pontos P e Q.
Figura 1.2 – Curva dada por y = f (x) e a reta secante s.
Reta secante 
Uma reta é secante 
a uma curva quando 
passa por dois pontos 
pertencentes à curva.
12
Capítulo 1 
Para determinar a inclinação da reta secante s, vamos definir a tangente de , já 
que o triângulo PMQ é retângulo. Temos:
 .
Agora, imagine que colocamos um alfinete no ponto P para que fique fixo, e o 
ponto Q passa a se mover em direção ao ponto P. Perceba que a reta se move, 
mas, com o alfinete imaginário, o ponto P não sai do lugar.
Quando Q chega próximo a P, a reta secante passa a se transformar em uma reta 
tangente (ver Figura 1.3).
Figura 1.3 – Reta secante se deslocando até o limite da reta tangente
Nesse processo, o que interessa é a análise da variação das inclinações que a 
reta secante assume nesse movimento e a inclinação da reta tangente. Se a reta 
secante se aproxima da reta tangente, então, podemos dizer que o ponto Q tende 
para o ponto P ou, ainda, que a inclinação da reta secante varia cada vez menos 
e tende a um valor limite constante.
Qual o conceito já estudado, que pode ser lembrado nesse movimento, 
que leva a reta secante a se transformar em uma reta tangente?
Estamos agora falando em tendências e limites, ou seja, estamos usando o 
conceito de limite.
13
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
É possível formalizar algebricamente o que observamos nas figuras 1.2 e 1.3 da 
seguinte forma:
 .
Se considerarmos que , ou , podemos reescrever o limite 
anterior como:
 , sendo a inclinação da reta tangente à curva 
 no ponto P.
Fermat (1601 – 1664), no século XVII, se deu conta das limitações do conceito 
clássico de reta tangente a uma curva. Para reformular tal conceito, realizou o 
mesmo procedimento que você acabou de visualizar quando tratamos da reta 
tangente, ou seja, a partir de uma reta PQ, secante à curva, é possível deslizar 
Q em direção à P, até que se obtenha a reta tangente à curva no ponto P. Essa 
reformulação ficou conhecida como o “Problema da Tangente” e muito contribuiu 
para o conceito que é hoje adotado.
1.2 Exemplos
(1) Determinar a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (1,1) .
A inclinação da reta tangente é dada por , visto que o ponto P possui , e 
pode ser calculada pelo limite:
 , sendo
 ;
 .
Assim, temos:
 
14
Capítulo 1 
Portanto, a inclinação da reta tangente à curva no ponto P (1,1) é 
igual 3. Veja a Figura 1.4 que representa a curva e a reta tangente no 
ponto P (1,1) .
Figura 1.4 – Reta tangente à curva no ponto P (1,1) 
(2) Encontrar a equação da reta tangente à curva no ponto em que .
O problema solicita a equação da reta tangente. Para 
encontrar essa equação, vamos determinar a inclinação 
da reta, calculando m e substituindo na equação da reta 
tangente, que é dada por 
 ou , 
sendo o ponto de tangência.
Vamos calcular o valor de :
 
Esse limite é uma indeterminação do tipo . Portanto, é necessário resolver essa 
indeterminação, multiplicando numerador e denominador por :
Quando o limite que 
define m for infinito, 
a equação da reta 
tangente é dada 
por . Observe, 
também, que a 
expressão dada pode 
ser obtida a partir 
da forma algébrica 
de uma função 
 , sendo que 
a é a inclinação da reta 
tangente e b é obtido 
a partir do fato da reta 
passar pelo ponto 
 .
15
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
 
 
 .
A reta tangente será:
 
 
 
A Figura 1.5 mostra a função e a reta tangente.
Figura 1.5 – Função e a reta tangente no ponto 
16
Capítulo 1 
1.3 Atividades de autoavaliação
1. Determine a inclinação da reta tangente à curva no ponto (–1,7). 
Apresente o resultado graficamente.
2. Qual a equação da reta tangente à curva no ponto (2, –2)?
1.4 Taxa de variação no contexto das funções de uma variável
Você pode achar estranho discutir retas tangentes, um assunto que parece ser da 
Geometria. Mas foi a partir das retas tangentes que houve um aprofundamento no 
estudo do movimento de objetos. 
A partir desses estudos, é possível definir a taxa média de variação e a taxa 
instantânea de variação.
Para contextualizar uma taxa média de variação, basta lembrar o conceito de 
velocidade medida no velocímetro de um carro. É usual falarmos que uma viagem 
ou um deslocamento foi realizado com uma velocidade média de 80 km/hora. 
Estamos, assim, diante de uma taxa média de variação. 
O que é uma velocidade instantânea? Como calcular a velocidade 
instantânea?
Se você, em uma fração de segundos, olhar para o velocímetro de um carro, vai 
poder fazer a leitura de uma velocidade naquele instante. Seu olhar deve ser 
rápido, pois há mudanças rápidas nos valores. Calcular a velocidade média é um 
cálculo do dia a dia das pessoas, mas calcular a velocidade instantânea já não é 
algo tão comum.
A matemática elementar não tem métodos diretos para fazer esse cálculo. Vamos 
precisar da nossa atual ferramenta de estudo – as derivadas –, que, nesse 
momento, se apresentam como uma taxa de variação.
17
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
A taxa média de variação é dada pela inclinação da reta secante, que pode ser 
escrita como: .
A taxa de variação instantânea é dada pela inclinação da reta tangente, que 
pode ser escrita como: .
Ao representar algebricamente velocidades e aceleração, podemos usar letras 
diferentes das tradicionais x e y. Mais genericamente, podemos considerar que 
um corpo se move em linha reta e que é a distância percorrida até o 
instante t. Assim, temos:
 • Velocidade média do corpo no intervalo de tempo é igual a 
 ;
 • Velocidade no instante t é igual a .
De forma similar, o conceito de aceleração média e instantânea pode ser 
introduzido, considerando-se, agora, que a aceleração é a taxa de variação da 
velocidade :
 • Aceleração média do corpo no intervalo de tempo é igual a 
 ;
 • Aceleração no instante t é igual a .
1.5 Exemplos
(1) Seja a função .
(a) Determinar a taxa média de variação de y em relação a x no intervalo .
Aplicando a definição apresentada temos:
Taxa média 
18
Capítulo 1 
(b) Encontrar a taxa de variação instantânea de y em relação a x no ponto .
Taxa instantânea 
 
 
 .
(2) No instante , um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição é 
modelada pela função . Determinar:
a. A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4];
b. A velocidade do corpo no instante t = 2.
Para resolver essa situação, vamos simplesmente aplicar as definições 
estabelecidas por meio de fórmulas práticas. Temos:
(a) A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4] é dada por
 
(b) Para calcular a velocidade do corpo no instante t = 2 é necessário usar 
 sendo no ponto t = 2.
 
19
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
1.6 Atividades de autoavaliação
Seja para a equação do movimento de uma partícula. 
Vamos considerar que s é medido em centímetros e t em segundos.
a. Determinar a velocidade no instante t = 1,5 segundos;
b. Determinar a aceleração no instante t = 1 segundo;
c. Em que momento a velocidade se anula?;
d. Em que momento a aceleração se anula?;
e. Supondo que o movimento é na horizontal, tomando como referência o instante 
t = 0, podemosdizer que a partícula está andando para frente? E para trás?;
f. Determinar a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
Seção 2
Derivadas de Funções de uma Variável
Precisamos, agora, formalizar a definição de derivada de uma função de uma 
variável e, posteriormente, analisar a definição de derivadas no contexto de 
funções de duas variáveis.
2.1 Derivada de uma função y = f (x) 
O conceito de derivada passa a ser simples se você entendeu as considerações 
apresentadas na Seção 1.
A derivada de uma função é também uma função calculada pelo limite:
 .
Não é uma coincidência!
Se esse limite existe, ele representa a derivada de uma função, que escrevemos 
como e lemos “f linha de x”.
20
Capítulo 1 
Além da notação , também é possível escrever:
 – derivada de em relação a x;
 – derivada de y em relação a x;
 – derivada de y em relação a x.
Perceba que, ao calcular uma derivada em um ponto P qualquer, você está 
calculando a inclinação da reta tangente à curva dada neste mesmo ponto P. 
Além disso, a derivada pode representar a taxa de variação de uma grandeza em 
relação à outra.
Vale a pena lembrar que Newton (1643 – 1727) era fascinado pela Astronomia, 
procurando sempre observar o movimento dos planetas. Acredita-se que foi 
questionando as órbitas dos planetas, observando e estudando seus movimentos, 
que sua longa produção científica englobou as derivadas e integrais, assim como 
a base da mecânica clássica.
2.2 Exemplo
(1) Calcular a derivada da função e discutir a reta tangente no ponto x = 0.
 
Se a derivada da função é dada por , então, para um ponto 
 , temos: 
 .
Se a inclinação é igual a zero, significa que a , ou seja, . Portanto, 
nesse caso, vamos ter a reta tangente paralela ao eixo dos x. Veja na Figura 1.6 a 
representação da reta tangente no ponto .
21
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 1.6 – Gráfico de com a reta tangente no ponto .
Existe um teorema que usamos para discutir a continuidade em um ponto 
a partir da existência da derivada no ponto x
1
 . A afirmação que pode ser 
feita é que “se a derivada existe em um ponto, a função também é contínua 
nesse ponto”.
(2) O que podemos concluir quando o limite que define a derivada em um ponto 
não existe?
Pode acontecer que o limite da definição da derivada de uma função em um 
ponto não exista. Nesse caso, dizemos que a derivada não existe no ponto. 
Esse fato é facilmente visualizado numa representação gráfica, pois um ponto 
anguloso é observável (veja a Figura 1.7).
É possível mostrar isso formalmente usando os limites laterais.
Figura 1.7 – Gráfico de uma função que possui um ponto anguloso em x = 3.
22
Capítulo 1 
(3) Verificar que a função não é derivável no ponto .
Vamos aplicar a definição e observar o que acontece.
Temos que a derivada da função dada no ponto é calculada fazendo:
 
Perceba que o limite envolve uma função modular que pode ser reescrita como:
 
Dessa forma, será necessário calcular os limites laterais, pois a função fica 
definida por duas sentenças.
No conceito de limites temos os limites laterais. Lembrando que podemos 
analisar a tendência da função pela direita e pela esquerda do zero quando temos 
o :
a. Analisando à direita do zero: 
b. Analisando à esquerda do zero: 
Se os limites laterais não são iguais, dizemos que o limite não existe, ou seja, 
não existe .
Assim, verifica-se que a função não é derivável no ponto , visto que 
o limite nesse ponto não existe.
Na Figura 1.8, temos o gráfico dessa função. É perceptível a existência de um 
ponto anguloso em .
23
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 1.8 – Ponto anguloso em x = 0 da função 
2.3 Atividades de autoavaliação
1. Determine a derivada da função .
2. Analise as funções que seguem, sobre a possibilidade da existência da 
derivada em seu domínio. Faça simulações usando a visualização gráfica:
a. ;
b. .
Seção 3
Derivadas Parciais
Vamos discutir o conceito de derivada como uma taxa de variação para as 
funções de duas variáveis.
Esse conceito auxilia a análise de diversas situações problemas, como exemplo, 
podemos citar a análise da função temperatura, que depende basicamente do 
tempo e da altitude. Mais recentemente, tem-se, também, os índices de calor que 
dependem da temperatura real e da umidade do ar. A ideia é discutir a sensação 
de calor ou de mudanças de temperatura.
Como varia a temperatura em relação à altitude em um horário específico 
de um dia? Como varia a temperatura em relação ao horário do dia quando 
estamos localizados em um pico de um morro?
24
Capítulo 1 
No decorrer do estudo das derivadas no contexto de funções de várias 
variáveis, você vai encontrar ferramentas que possibilitarão encontrar respostas 
a essas questões. Basta conhecer as funções e calcular as taxas de variação 
instantâneas em situações específicas.
O conceito de derivada como taxa de variação, no caso das funções de várias 
variáveis, é igual ao de uma variável. É preciso lembrar que, ao fixar todas as 
variáveis independentes de uma função de várias variáveis, exceto uma, vamos 
obter uma função de uma variável e, portanto, podemos aplicar a definição 
de derivada de função de uma variável. Costumamos, nesse caso, denotar as 
derivadas como derivadas parciais.
O que vai acontecer com a função quando fixamos uma variável?
Ao fixar uma das variáveis da função , vamos encontrar uma curva 
resultante da intersecção do gráfico da função com um plano. Para esclarecer, 
vamos discutir detalhes que nos levam à definição das derivadas parciais.
3.1 Contextualização das derivadas parciais
Vamos considerar a função , apresentada nas Figuras 1.9 e 1.10. 
Ao fixar a variável y no ponto 2, vamos obter:
 
A curva pode ser visualizada no plano , na Figura 1.9.
Ao fixar a variável x no ponto 1, vamos obter:
 
A curva pode ser visualizada no plano , na Figura 1.10.
25
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 1.9 – Curva 
Fonte: Flemming e Luz (2008, p. 87)
Figura 1.10 – Curva 
Fonte: Flemming e Luz (2008, p. 87)
Diante dessas duas funções, é possível pensar no cálculo da derivada da função 
no ponto considerado. Veja a definição que segue.
3.1.1 Definição das derivadas parciais
Sejam uma função de duas variáveis definida em um conjunto 
e Fixado , podemos considerar a função . A 
derivada de g no ponto , denominada derivada parcial de f em relação a x 
no ponto , denotada por , é definida por:
 ou 
se o limite existir.
26
Capítulo 1 
Analogamente, definimos a derivada parcial de f em relação a y no ponto 
 por
 se o limite existir.
Fazendo e , é possível usar outra notação para a definição 
das derivadas parciais. Veja:
1. Derivada parcial de f em relação a x no ponto 
 .
2. Derivada parcial de f em relação a y no ponto 
 .
Valem as notações:
• ; ; ; ;
• ; ; ; .
3.1.2 Exemplo
Considerando a função , apresentada nas Figuras 1.9 e 1.10, 
podemos calcular as derivadas parciais no ponto (1,2) .
A derivada parcial da função em relação a x no ponto (1,2) pode ser 
calculada usando a definição como segue:
 = = = = 
 = = –2.
27
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
A derivada parcial da função , em relação a y no ponto (1,2) , pode 
ser calcula usando a definição como segue:
 = = = = 
 = = –4.
3.1.3 Atividades de autoavaliação
Determine as derivadas parciais das seguintes funções, usando a definição:
a. ;
b. .
3.2 Inclinação da reta tangente a uma curva no espaço
É possível visualizar a interpretação geométrica das derivadas parciais. Basta 
observar novamente as Figuras 1.9 e 1.10, poisambas mostram caminhos para 
fazer a interpretação geométrica das derivadas parciais.
Vamos discutir, inicialmente, as declividades de retas tangentes e, na sequência, 
mostramos a existência do plano tangente à superfície em um ponto.
Supondo que a função z = f (x, y) admite derivadas parciais em pontos de seu 
domínio, podemos afirmar que: 
 • Para , temos que é uma função de uma variável 
cujo gráfico é uma curva , resultante da interseção da superfície 
 com o plano (ver Figuras 1.9 e 1.11).
A inclinação ou coeficiente angular da reta tangente à curva no 
ponto é dada por .
 • Para , temos que é uma função de uma variável 
cujo gráfico é uma curva , resultante da interseção da superfície 
 com o plano (ver Figura 1.10 e 1.11). A inclinação 
ou coeficiente angular da reta tangente à curva no ponto 
 é dada por 
28
Capítulo 1 
Na Figura 1.11, são visíveis os ângulos e e as retas tangentes às curvas no 
ponto .
Figura 1.11 – Declividade das retas tangentes
3.2.1 Exemplo
Encontrar a inclinação da reta tangente à curva, resultante da interseção de 
 com:
(a) o plano y=1, no ponto (3, 1, –16);
(b) o plano , no ponto (3, 1, –16).
Para resolver o item (a), basta, no plano , considerar a equação da curva 
dada por , que tem como derivada .
A sua inclinação, no ponto (3, 1, -16), é calculada usando o fato de que 
 .
Como , temos .
Para resolver o item (b), basta, no plano considerar a equação da curva 
dada por , que tem como derivada .
A sua inclinação, no ponto (3, 1, –16), é calculada usando o fato de que 
 .
Como , temos .
29
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
3.2.2 Atividades de autoavaliação
1. Encontre a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de 
 com o plano no ponto .
2. Encontre a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de 
 com o plano no ponto .
31
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 2
Calculando Derivadas
Seção 1: Regras de derivação.
Seção 2: Regra da cadeia.
Seção 3: Derivadas que envolvem funções 
elementares.
A partir do estudo deste capítulo, espera-se que o 
estudante possa identificar o uso das derivadas em 
problemas que envolvem funções de várias variáveis 
e taxas de variação. Com o uso das regras de 
derivação, o estudante deverá calcular as derivadas 
das funções elementares e das funções de mais de 
uma variável.
32
Capítulo 2 
Seção 1
Regras de derivação
Nesta seção, você perceberá que calcular derivadas é ainda mais simples do que 
você pensava!
Mas a simplicidade do uso de regras de derivação não nos permite deixar de 
lembrar que a sua construção, no decorrer da história da matemática, está 
alicerçada num palco de lutas intelectuais. Há um marco histórico, quando de 
forma rápida, dizemos que Newton e Leibniz foram os inventores, por terem 
discutido métodos para o cálculo da inclinação da tangente de uma curva em 
um ponto específico. Ambos também perceberam que a integração é o inverso 
da diferenciação. Entretanto, os alicerces teóricos do cálculo foram consolidados 
posteriormente com a análise matemática.
Quando analisamos os processos de derivação, podemos pensar que o conceito 
de limites é um conceito anterior ao de derivadas, entretanto, isso não é 
verdadeiro. A discussão do conceito de derivada sob o contexto da geometria 
antecede historicamente o formalismo do cálculo de limites.
Com a compreensão intuitiva dos limites, podemos alicerçar a definição de 
derivada de uma função e discutir as regras de derivação como uma metodologia 
para o cálculo das derivadas. Entretanto, é importante deixar aqui o registro que 
essa escolha metodológica não nos exime de continuar os estudos do cálculo de 
uma forma mais profunda, em momentos posteriores, quando retomarmos todo o 
formalismo do cálculo e da análise.
A partir da definição, as regras são deduzidas e não há complexidade para tal 
processo.
33
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
1.1 Cálculo da derivada de funções de uma variável
O Quadro 2.1 tem vários exemplos das regras de derivação. Veja, na sequência, 
como podemos demonstrar a derivada de uma soma. 
Quadro 2.1 – Exemplos iniciais de regras de derivação
Regra Função Derivada
Derivada de uma 
constante.
 , c é uma constante. 
Regra da potência. , n inteiro positivo 
Derivada do produto de 
uma constante por uma 
função.
 , c é uma 
constante.
 
Derivada de uma soma. 
Derivada de um produto. 
Derivada de um 
quociente.
 , com .
 
Neste momento, estamos trabalhando sempre com funções de uma variável do 
tipo 
Supondo que estamos diante de uma soma de funções: 
 .
Para calcular a derivada de , escreve-se o limite:
 
Apenas reescrevendo os termos desse limite, tem-se:
 
34
Capítulo 2 
1.2 Exemplos
Usando as regras de derivação, como mostra o Quadro 2.1, calcule as derivadas 
das funções dadas:
(1) 
Usando a derivada de uma constante, temos: .
(2) 
Usando a Regra da Potência, temos: .
(3) 
Usando a derivada do produto de uma constante por uma função, temos:
 . Para determinar usamos a regra da potência, assim, 
 .
(4) 
Perceba que pode ser vista como o produto de uma constante por 
uma função, assim, a derivada é dada por:
 
(5) 
A função é a soma de outras quatro funções. Assim, usamos a derivada de 
uma soma:
 
35
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(6) 
Perceba que a função y é dada pelo produto das funções e . 
Usando a derivada de um produto, teremos:
 
É comum realizarmos as multiplicações para, quando possível, simplificar a 
expressão da derivada. Neste exemplo temos:
 
(7) 
Usando a derivada de um quociente, temos que e . 
Então, a derivada será dada por:
 
Observe que em todos os exemplos usamos a notação da derivada de uma função 
 como . Mas também podemos usar a notação .
36
Capítulo 2 
1.3 Cálculo de derivadas parciais
Na prática, podemos obter as derivadas parciais mais facilmente, usando as 
regras de derivação das funções de uma variável. Nesse caso, para calcular a 
derivada parcial da função em relação a x, ou , mantemos y 
constante e, para calcular a derivada parcial em relação – ou –, vamos 
manter o x como constante.
As regras de derivação podem ser usadas, basta que você lembre que uma das 
variáveis é considerada constante. Os exemplos que seguem ilustram essa prática.
1.4 Exemplos
Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(1) 
Mantendo y constante, podemos usar as regras de derivação para calcular a 
derivada parcial da função em relação a x. Temos:
 
 
Analogamente, mantendo x constante, obtemos:
 
 
(2) 
Vamos aplicar a regra do produto para cada uma das derivadas parciais.
 
37
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
 
1.5 Atividades de autoavaliação
1. Calcule a derivada das seguintes funções:
a. b. 
c. d. 
e. f. 
g. h. 
i. j. 
2. Encontre as derivadas parciais das seguintes funções:
a. c. 
b. d. 
38
Capítulo 2 
Seção 2
Regra da cadeia
No estudo das funções, é comum tratarmos de funções compostas. Por exemplo, 
se e , então, diz-se que (leia f bola g ou f composta com 
g) será dada por:
 .
Tendo em mente as funções compostas, o interesse desta seção é mostrar uma 
regra das derivadas que envolvem a composição de funções e, por esse motivo, 
possibilita o cálculo de derivadas de funções mais elaboradas.
2.1 Aplicando a regra da cadeia no contexto de funções de uma 
variável
A regra da cadeia enuncia que, se tivermos uma função , sendo que 
 , é possível calcular se conhecermos e.
Podemos escrever:
 .
Assim, a derivada de y em relação a x é calculada pelo produto da derivada de y 
em relação a u e da derivada de u em relação a x.
2.1.1 Exemplos
(1) Calcule a derivada sendo e .
Vamos calcular as derivadas e :
 
39
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Usando a regra da cadeia, dizemos que é dada pelo produto das derivadas 
calculadas:
 
 .
Substituindo temos:
 .
(2) Dada a função , encontre .
É possível reescrever a função y da seguinte forma:
 , sendo .
Usando a regra da cadeia, é possível encontrar por meio do produto 
 . Assim, temos:
 e .
Perceba que pode ser calculada pela regra do quociente:
 
40
Capítulo 2 
2.1.2 Tabela de derivadas
Como consequência da regra da cadeia, é possível formular resultados 
importantes para o cálculo de derivadas. Veja a proposição destacada.
Proposição: Se , sendo e n um número inteiro não nulo, então 
 .
Podemos generalizar essa proposição e torná-la uma regra para ser usada 
quando n é um número racional.
Para auxiliar na resolução de exercícios, as regras de derivação são agrupadas 
em uma Tabela de Derivadas, que você encontra no Anexo deste livro. Nesta 
tabela, as regras de derivação já absorvem a regra da cadeia. Por exemplo, 
vamos transcrever aqui, na Tabela 2.1, as regras iniciais e você poderá 
inicialmente fazer uma comparação com o que foi apresentado no Quadro 2.1. 
Observe que, na Tabela 2.1, estamos considerando a aplicação da regra da 
cadeia com: ; ; e c e m como constantes, sendo que .
Tabela 2.1 – Tabela inicial das derivadas
(1) 
(2) 
(3) 
(4) 
(5) 
(6) 
(7) 
Nos próximos exemplos, você poderá visualizar a aplicação das regras de 
derivação e da regra da cadeia. Tenha a tabela de derivadas sempre à mão quando 
estiver analisando exemplos e resolvendo exercícios que envolvem as derivadas.
41
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
2.1.3 Exemplos
Calcule a derivada das funções dadas aplicando as regras de derivação e a regra 
da cadeia quando necessário:
(a) 
Neste exemplo, vamos derivar a função encontrando , usando da 
regra do quociente:
 
(b) 
Usando a regra do produto, temos:
 
42
Capítulo 2 
(c) 
Usando a generalização da regra da potência, vamos aplicar a regra da cadeia 
(Tabela 2.1 (7)). Considerando que , temos:
 
(d) 
É possível reescrever a função usando expoente fracionário. Veja:
 .
Agora, basta derivar y usando a regra da potência, indicada na Tabela 2.1 (7):
 
(e) 
Podemos reescrever a raiz quadrada, usando expoente fracionário , 
e derivar a função y, usando inicialmente a regra da soma (Tabela 2.1 (4)) e, 
posteriormente, a regra da potência:
43
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
 
(f) 
Para derivar esta função, vamos novamente reescrever a raiz quadrada como um 
expoente fracionário. Assim, a derivada pode ser calculada a partir da regra do 
quociente (Tabela 2.1 (6)):
 
 
(g) 
Reescrevendo a função, temos: . A derivada será dada pela 
aplicação da regra do produto das funções e :
44
Capítulo 2 
 
Observe atentamente que a escolha inicial da regra de derivação a ser usada é 
fundamental para a resolução completa do cálculo da derivada de uma função. 
Fique atento que, na apresentação final, as simplificações algébricas devem ser 
realizadas, mas usando-se sempre a coerência em termos de “trabalho braçal”, pois 
nem sempre o desenvolvimento de uma potência, raiz ou outra operação, possibilita 
um visual mais claro da expressão.
2.1.4 Atividades de autoavaliação
Calcule a derivada das funções dadas:
a. b. 
c. d. 
e. f. 
g. h. 
i. j. 
45
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
2.1.5 Uso das regras de derivação para o cálculo das derivadas parciais
A Tabela 2.1 foi concebida para o contexto das funções de uma variável, mas 
podemos aplicá-la no contexto das derivadas parciais, considerando que, ao 
fazer a derivada parcial da função em relação a x, vamos considerar 
o y como uma constante e, ao fazer a derivada parcial da função em 
relação a y, vamos considerar o x como uma constante. Além disso, a função u 
é, de um modo geral, uma função de duas variáveis ou mais variáveis. Veja as 
situações que seguem, com a função e . 
(1) Dada a função , podemos reescrever usando potência 
fracionária:
 .
Assim, podemos aplicar a regra da Tabela 2.1 (7) para calcular as derivadas 
parciais, considerando que :
(a) Derivada parcial de em relação a x
 = 
 = = .
(b) Derivada parcial de em relação a y
 = 
 = = .
Observe que estamos usando as notações e para 
representar a derivada da função em relação a x e em relação 
a y respectivamente.
46
Capítulo 2 
(2) Para a função , podemos usar a Tabela 2.1 (5), 
considerando que e . Assim, temos:
(a) Derivada parcial de em relação a x
 
(b) Derivada parcial de em relação a y
 
2.1.6 Atividades de autoavaliação
Calcule as derivadas parciais e das funções dadas:
a. b. 
c. d. 
e. f. 
g. h. 
2.2 A Regra da cadeia no contexto das funções de várias 
variáveis
Nesta seção, vamos fazer o estudo da Regra da Cadeia para funções de várias 
variáveis. Você terá a oportunidade de verificar a similaridade com o contexto 
de funções de uma variável. Vamos ter situações específicas que envolvem uma 
regra de diferenciação de uma função composta.
47
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Inicialmente, vamos trabalhar com dois casos de composição e, posteriormente, 
vamos escrever a generalização da regra.
A Tabela 2.2 apresenta os dois casos que serão analisados.
Tabela 2.2 – Teoremas resumidos
CASO Funções diferenciáveis Regra da Cadeia
I
 
 
II
 
 
 
Observem que, no quadro apresentado, tem-se um resumo de dois famosos 
teoremas aqui destacados.
Teorema 1: Regra da Cadeia para funções de duas variáveis independentes.
Se for diferenciável e x e y forem funções diferenciáveis em t, então, z 
será uma função diferenciável de t e .
Teorema 2: Regra da Cadeia para funções de duas variáveis independentes e duas 
variáveis intermediárias.
Se for diferenciável e x e y forem funções diferenciáveis, então, z será 
uma função diferenciável e vale a regra:
 
 .
(Veja a demonstração em Flemming e Gonçalves, 2007)
Antes de exemplificar, vamos apresentar uma representação gráfica da Regra da 
Cadeia. A ideia é auxiliar na montagem da regra. Veja o Quadro 2.2.
48
Capítulo 2 
Quadro 2.2 – Representações semióticas da regra da cadeia
CASO Representação semiótica Regra da Cadeia
I
 
II
 
 
 
Observe que, na representação semiótica apresentada no Quadro 2.2, usamos 
a disposição apresentada na Figura 2.1. Para escrever a regra, basta seguir as 
setas para montar as derivadas parciais e efetuar os produtos. Ao final, adiciona-
se os produtos encontrados.
Figura 2.1 – Montagem da regra da cadeia
A Figura 2.1 também facilita visualizar que as expressões do caso II podem ser 
escritas com uma representação matricial. Veja:
 .
49
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
2.2.1 Exemplos
(1) Verifique a fórmula do caso I da regra da cadeia para
 com e .
Para verificar a fórmula df
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
= +
∂
∂
∂
∂
 
 
 
 
. . , vamos encontrar inicialmente a 
função composta. Temos,
 
 
Assim, usando a expressão anterior obtemos .
Ao usar a regra da cadeia, vamos fazer:
df
dt
f
x
dx
dt
f
y
dy
dt
= +
∂
∂
∂
∂
 
 
 
 
. . 
 .
Observe que, em geral, o uso da Regra da Cadeia reduz os cálculos.É ideal 
sempre deixar a resposta na variável solicitada, neste exemplo, na variável t.
(2) Dada , e , encontre a derivada usando a 
Regra da Cadeia.
Usando a regra da cadeia temos:
 = 
∂
∂
∂
∂
 
 
 
 y
f
x
dx
dt
f dy
dt
. .+ 
= 
Fazendo a substituição das variáveis e , temos: 
= = 
(3) Verifique a fórmula do caso II da regra da cadeia para
 sendo e .
Podemos usar a forma matricial:
 .
50
Capítulo 2 
Aplicando o cálculo das derivadas indicadas, temos:
 
Dessa forma, temos que:
(a) A derivada de z em relação a u é dada por:
 
Substituindo o valor de x, temos:
∂
∂
 
 
z
u
u v uv= − + +1 2 4 3( ) .
(b) A derivada de z em relação a v é dada por:
 
 
x u v x u v= - + = - +( ).1 2 1 1 6 1 2 62 2 2 2 
Substituindo o valor de x, temos:
∂
∂
 
 v
z u v u v= − + +1 2 6 2 2( ) .
Para verificar a regra da cadeia, podemos, inicialmente, substituir os valores de 
 e na função . Veja:
 
Dessa forma, temos as derivadas parciais e podemos observar que vamos obter 
os resultados iguais ao processo anterior.
∂
∂
 
 
z
u
uv u v= + − −1 4 2 23 . 
∂
∂
 
 
z
v
u v u v= + − −1 6 2 22 2 . 
2.2.2 Atividades de autoavaliação
(1) Verifique a fórmula da regra da cadeia para a função 
com e .
(2) Dada , e , calcule a derivada 
usando a Regra da Cadeia.
(3) Verifique a fórmula da regra da cadeia para a função , sendo 
 e .
(4) Escreva o sistema matricial e a fórmula genérica da regra da cadeia para o 
caso da função , sendo e 
51
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Seção 3 
Derivadas que envolvem funções elementares
Após estudar a regra da cadeia e as principais regras de derivação, você pode, 
agora, conhecer as regras de derivação que envolvem funções elementares, tais 
como exponenciais, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.
Lembre-se que essas funções já foram estudadas e a derivada de cada uma 
delas representa a inclinação da reta tangente em um ponto x qualquer. Além 
disso, na Tabela de Derivadas, você encontrará todas as regras de derivação que 
serão apresentadas nesta seção.
3.1 Derivadas das funções exponencial e logarítmica
Veja na Tabela 2.3 as regras de derivação para as funções exponencial e 
logarítmica, lembrando que foram deduzidas a partir do cálculo do limite que 
define a derivada de uma função qualquer.
Tabela 2.3 – Continuação da tabela das derivadas (funções exponenciais e 
logarítmicas)
(8) com e 
(9) com e n0. neperiano 
(10) com e 
(11) 
(12) com u > 0
3.1.1 Exemplos
Determine a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação.
(a) 
 
52
Capítulo 2 
(b) 
.
(c) 
 
(d) 
(e) 
 
3.1.2 Atividades de autoavaliação
Determine as derivadas das funções, usando as regras de derivação.
(a) (b) 
(c) (d) 
(d) (e) 
53
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
3.2 Derivadas das funções trigonométricas e trigonométricas 
inversas
Veja na Tabela 2.4 as regras de derivação para as funções trigonométricas e 
trigonométricas inversas.
Tabela 2.4 – Continuação da tabela das derivadas (funções trigonométricas e suas 
inversas)
(13) 
(14) 
(15) 
(16) 
(17) 
(18) 
(19) 
(20) 
(21) 
(22) 
(23) com |u| >1
(24) com |u| >1
54
Capítulo 2 
3.2.1 Exemplos
Determine a derivada das seguintes funções, usando as regras de derivação.
(a) 
 
Perceba que a expressão não multiplica o argumento do seno, mas sim, 
toda a função seno.
(b) 
 
(c) 
55
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(d) 
(e) 
(f) 
3.2.2 Atividades de autoavaliação
Determine a derivada das funções, usando as regras de derivação.
(a) (b) 
(c) (d) 
(e) (f) 
56
Capítulo 2 
3.3 Derivadas parciais de funções que envolvem funções mais 
gerais
Podemos ter funções de duas variáveis que envolvem as exponenciais, 
logaritmos e funções trigonométricas. De acordo com toda a discussão contida 
neste capítulo, aplicamos sempre as regras de derivação para calcular as 
derivadas parciais, com a consideração de que uma delas é constante.
3.3.1 Exemplos
(1) Calcule as derivadas parciais das seguintes funções
(a) 
Temos: 
(b) 
57
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
3.3.2 Atividades de autoavaliação
(1) Calcule as derivadas parciais das seguintes funções:
(a) (b) 
(c) (d) 
(2) Dada , e , calcule a derivada 
 , usando a Regra da Cadeia.
(3) Calcule as derivadas parciais e da função , sendo 
 e .
59
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 3
Derivadas Sucessivas, 
Derivação Implícita e Diferencial
Seção 1: Derivadas sucessivas
Seção 2: Derivação implícita
Seção 3: Diferencial
A partir do estudo deste capítulo espera-se que o 
estudante possa discutir situações práticas que 
requerem o uso das derivadas sucessivas e funções 
escritas na forma implícita. Além disso, por meio de 
técnicas e aplicações, ampliará a sua visão para a 
diferença entre o conceito de derivadas e o conceito 
de diferenciais.
60
Capítulo 3 
Seção 1
Derivadas sucessivas
Após ter estudado e exercitado as regras de derivação, veja que é possível derivar 
quantas vezes você achar interessante!
É o que se chama de derivação sucessiva, a derivada da derivada, da derivada, 
da derivada etc.
1.1 Derivadas sucessivas de funções de uma variável
As derivadas sucessivas de uma função f são denotadas como exemplos a seguir:
 • Derivada de f ou derivada de primeira ordem: ou 
 • Derivada segunda de f ou derivada de segunda ordem de f : 
 ou 
 • Derivada terceira de f ou derivada de terceira ordem de f: 
ou 
 • Derivada quarta de f ou derivada de quarta ordem de f: 
 • Derivada de ordem 10 de f: ou 
 • Derivada de ordem n de f: ou 
1.1.1 Exemplos
(1) Calcular a derivada de terceira ordem da função 
Para calcular a derivada de terceira ordem, é necessário derivar sucessivamente 
três vezes a função dada:
(2) Determinar a derivada de segunda ordem da função 
Num primeiro momento, vamos reescrever a função 
61
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
A derivada de segunda ordem é a derivada da derivada:
Para derivar novamente, perceba que agora a função está escrita como o produto 
de por Assim, usando a regra do produto, temos:
(3) Determinar a derivada de segunda ordem da função 
62
Capítulo 3 
(4) Determinar a derivada de ordem da função 
Para determinar a derivada solicitada, vamos derivar a função 
sucessivamente:
Perceba que as derivadas começarão a se repetir, visto que Pelo 
menos, não será necessário derivar 100 vezes!
Para perceba que, a partir da quarta ordem, as derivadas 
começam a se repetir. Vamos numerar estas derivadas (ver Quadro 3.1).
Quadro 3.1 - Derivadas sucessivas
(1) (5) (9) E assim sucessivamente, até 
que se chegue em 
que será igual ao Assim, (2) (6) (10)
(3) (7) (11)
(4) (8) (12)
Dividindo 100 por 4 teremos como resultado 25. Isso significa que até chegar em 
 as derivadas passarão 25 vezes em e encerrarão nesta 
ordem.
Se fosse 103, ao dividirmos por 4 teríamos 25 inteiros e o resto seria igual a 3. Então:
1.1.2 Atividades de autoavaliação
(1) Encontrar a derivada de quarta ordem da função 
(2) Determine a derivada de segunda ordem das funções:
(a) (b) 
(3) Determine a derivada de terceira ordem da função 
(4) Determine a derivada de ordem 153 de 
63
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
1.2 Derivadas sucessivas de funções de duas variáveis
Se é uma função de duas variáveis, então, em geral,suas derivadas 
parciais de primeira ordem são, também, funções de duas variáveis. Se as 
derivadas dessas funções existem, elas são chamadas derivadas parciais de 
segunda ordem de 
Temos quatro derivadas parciais de segunda ordem. A partir da derivada de f em 
relação a x, obtemos as seguintes derivadas parciais de segundaordem:
A partir da derivada obtemos:
As derivadas e são conhecidas como derivadas 
parciais mistas.
1.2.1 Exemplos:
(1) Dada a determinar suas derivadas parciais de 
segunda ordem.
As derivadas parciais deprimeira ordem de f são:
 e 
A partir de obtemos:
64
Capítulo 3 
A partir de obtemos:
(2) Dada a determinar e 
Temos:
Observando os resultados obtidos nos exemplos (1) e (2), vemos que, em ambos 
os casos, as derivadas parciais mistas de segunda ordem, e 
são iguais. Isso ocorre para a maioria das funções que aparecem frequentemente 
na prática. Temos o seguinte teorema.
1.2.2 Teorema de Schwartz
 uma função com derivadas parciais de segunda ordem definidas em 
uma região aberta contendo um ponto todas contínuas em então 
65
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Podemos ter derivadas de terceira ordem, quarta ordem etc. Basta seguir o 
mesmo raciocínio anterior. Veja, por exemplo:
 • Derivada parcial de terceira ordem em relação a x: 
 • Derivada mista de terceira ordem: 
 • Derivada mista de terceira ordem: 
 • Derivada de quarta ordem em relação a y: 
O Teorema de Schwartz pode ser generalizado para as derivadas mistas 
de ordem superior. De forma geral, podemos dizer que: “Se todas as 
derivadas parciais em questão forem contínuas num conjunto aberto 
A, então, para os pontos de A, a ordem da derivação parcial pode ser 
mudada sem alterar o resultado.”
1.2.3 Exemplo
Dada a calcular e 
Para o cálculo de 
66
Capítulo 3 
Para o cálculo de temos:
Para o cálculo e temos:
Usando o Teorema de Schwartz, podemos dizer que para um conjunto 
em que as hipóteses do teorema são válidas. Assim, 
É importante observar que as notações do tipo são lidas na 
seguinte forma: 
Derivada de primeira ordem em relação a x. 
Derivada de segunda ordem em relação a y. 
Derivada da terceira ordem em relação a y. 
1.2.4 Atividades de autoavaliação
(1) Encontre as derivadas de segunda ordem da função 
(2) Encontre as derivadas parciais de terceira ordem da função 
(3) Determine as derivadas parciais indicadas considerando:
(a) , 
67
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
(b) , , 
(4) Diante de uma função de três variáveis , calcular:
 e Constante que os resultados são iguais.
Seção 2
Derivação implícita
2.1 Derivadas de funções de uma variável escritas 
implicitamente
Existem algumas funções que são escritas na forma implícita.
Você sabe o que isso significa?
Para entender, veja a equação:
Perceba que, ao isolar a variável y, você terá uma função do segundo grau, dada 
por:
Portanto, uma é definida na forma implícita se puder ser escrita como 
uma equação e, ao substituir y por esta equação se torna uma 
identidade.
Na equação ao substituir tem-se:
ou seja, uma identidade.
Mas por que falar em derivação de funções na forma implícita?
68
Capítulo 3 
Isso acontece, pois nem sempre é possível encontrar a função na forma explícita, 
ou ainda, quando possível, há casos em que existem infinitas formas explícitas de 
uma mesma função.
Por exemplo, não é possível na equação
Em existem infinitas maneiras de escrever dentre elas,
Portanto, justifica-se a importância de se determinar a derivada das funções 
escritas na forma implícita, sem que seja necessário isolar uma das variáveis em 
relação às demais.
Para derivar uma função escrita na aplicam-se as regras de 
derivação e a regra da cadeia sem que seja necessário escrever Os 
exemplos irão ajudá-lo a entender melhor este tipo de derivação.
2.1.1 Exemplos
(1) da função derivável definida implicitamente pela equação 
Para derivar ambos os lados da equação:
Usando a regra da cadeia temos:
Diante de uma função y=f(x), perceba que a derivada da variável 
independente (x) é igual a 1 e a derivada da variável dependente (y) é igual 
69
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Isolando teremos: 
(2) funções definidas implicitamente pelas equações:
(a) 
(b) 
70
Capítulo 3 
2.1.2 Atividades de autoavaliação
 funções definidas implicitamente pelas equações:
(a) 
(b) 
(c) 
2.2 Derivadas de funções de duas variáveis escritas implicitamente
No estudo das funções de uma variável, podemos observar que uma é 
definida implicitamente pela equação se, ao substituirmos por 
na equação, esta se transforma numa identidade. 
Analogamente, dizemos que uma é definida implicitamente pela 
equação se, ao substituirmos a equação se reduz a uma 
identidade.
Por exemplo, seja o hemisfério que pode ser definido 
implicitamente pela equação da esfera de raio r: 
Estamos diante de uma situação matemática, na qual a regra da cadeia é o ponto 
de partida.
Inicialmente, vamos considerar a situação em que a função implícita 
está definida pela equação 
Admitindo e são funções diferenciáveis e que no ponto 
podemos obter a derivada , aplicando a regra da cadeia, temos,
 ou 
2.2.1 Exemplo:
(1) Sabendo que a função é definida implicitamente pela equação 
 determinar sua derivada 
A função dada é definida implicitamente pela sendo que 
71
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Sabemos que: e vamos usar a expressão já 
estabelecida para o cálculo:
 
Assim, o resultado para este exemplo é um valor constante.
2.2.2 Função de duas variáveis
Vamos agora discutir a situação em que a função é definida pela 
equação 
Admitindo e são funções diferenciáveis e que no ponto e 
 usando a regra da cadeia, podemos obter as derivadas parciais e 
 Temos:
(a) Derivando relação a x:
 ou 
 com 
72
Capítulo 3 
(b) Derivando relação a y, obtemos:
 com 
2.2.3 Exemplo
Sabendo que a função é definida pela equação 
 determinar e 
Temos é definida pela equação sendo 
Como , e usando as 
expressões estabelecidas temos:
Em todas as situações analisadas partimos da premissa de que as funções 
diferenciáveis estão definidas implicitamente e, então, determinamos as derivadas 
correspondentes. Nem sempre as expressões dadas definem funções na forma 
implícita. Nesse caso, se adotarmos os procedimentos descritos, podemos 
encontrar resultados totalmente não significativos.
O Teorema da Função Implícita, considerado um dos principais teoremas do 
Cálculo Avançado ou da Análise Matemática, em suas várias versões, assegura 
condições suficientes para que os procedimentos descritos nesta seção sejam 
consistentes ou nossa hipótese seja válida.
73
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
2.2.4 Teorema da Função Implícita
Temos duas versões para fazer a contextualização:
Versão 1: Se definida numa bola aberta sendo 
 e e são funções contínuas nessa bola, então a equação 
 define y como uma função de x perto do ponto e a derivada 
dessa função é dada pela equação 
Versão 2: Se definida dentro de uma esfera sendo 
 e e funções contínuas dentro da esfera, então a 
equação define z como uma função de x e y perto do ponto 
 e as derivadas parciais dessa função são dadas por e 
2.2.5 Atividades de autoavaliação
(1) Sabendo que a função é definida implicitamente pela equação 
 determine sua derivada 
(2) Sabendo que a função é definida pela equação 
 determine e 
(3) Supondo que a função é definida implicitamente pela equação 
 determine sua derivada 
74
Capítulo 3 
Seção3
Diferencial
Inicialmente, vamos discutir a diferencial no contexto de funções de uma variável 
e na sequência vamos discutir no contexto de funções de duas variáveis.
3.1 Conceito e representação gráfica das diferenciais
Quando podemos automaticamente usar a Nesta seção vamos olhar para 
essa notação de forma mais significativa, pois vamos analisar o significado e 
 e discutir como uma razão que representa taxa de variação.
Newton e Leibniz usaram diferentes notações para a derivada de uma 
função. Por mais de 50 anos, houve uma grande disputa sobre qual era a 
melhor notação. Venceu a notação de Leibniz, que denota a derivada 
como uma razão das diferenciais e 
Para entender o conceito de diferencial no caso de funções de uma variável, veja 
a Figura 3.1.
Figura 3.1 – Representação dos acréscimos e diferenciais
x
y
y2
dy
y1
Δy
dx
x1 x2
Δx
y=f(x)
É possível representar uma variação na variável x como A variação 
de x origina uma variação de y, e representada por:
75
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Veja na Figura 3.1 a representação e 
Os e que aparecem na derivada são chamados de diferenciais. Assim, 
temos que a diferencial da variável independente x será dada 
Por outro lado, a diferencial da variável dependente y, será dada 
 então
Veja na Figura 3.1 a representação das e 
Ainda na Figura 3.1, perceba que se a distância for pequena, então a diferença 
entre e torna-se cada vez menor. 
Na prática, quando tendendo a zero, é possível dizer que é 
aproximadamente igual a 
3.1.1 Exemplos
(1) Calcular o e a diferencial para a função quando 
 e 
Num primeiro momento, vamos fazendo:
76
Capítulo 3 
A será sendo derivada de 
Ainda, e 
Observar que a diferença e dy é pequena.
(2) e na função no ponto x=4 com 
(3) Use diferenciais para estimar o erro na medida da resistência elétrica R de um 
fio, que é dada sendo k uma constante e r o raio do fio. No momento em 
que o foi medido, acredita-se que houve um erro de 0,05.
Podemos escrever a função que mede a resistência elétrica de um fio como 
 Do enunciado do problema, é possível dizer que 
Vamos então que é o erro na medida da resistência elétrica do fio, fazendo:
77
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
Portanto, o erro é de, aproximadamente, unidades de resistência 
elétrica.
3.1.2 Atividades de autoavaliação
(1) e para as funções indicadas:
(a) , , (b) , , 
(2) Use diferenciais para estimar o volume de cobre na cobertura de um cubo de 
aço com 20cm de lado e coberto com 0,01cm de cobre.
3.2 Diferencial de funções de várias variáveis
Para discutir o conceito de diferencial de várias variáveis é conveniente lembrar 
que o plano tangente a uma superfície em um ponto é uma boa aproximação da 
superfície nas proximidades do ponto.
É usual afirmar que estamos diante de uma aproximação linear ou que a função 
dada foi linearizada.
A diferencial é usada para analisar a sensibilidade à variação. Por exemplo, como 
vai variar o volume de um recipiente quando a espessura do vasilhame sofre 
pequena alteração.
3.2.1 Definição
 uma função diferenciável no ponto Se nos movermos 
 para um ponto a variação resultante na linearização de 
 é chamada de diferencial total de f(x,y) e é dada por 
78
Capítulo 3 
Tradicionalmente podemos dizer que a diferencial das variáveis 
independentes são dadas por e a diferencial de z é 
aproximadamente igual ao Neste caso usamos a Lembrando 
que os acréscimos das variáveis independentes o acréscimo da 
variável dependente.
3.2.2 Exemplos:
(1) Calcular a diferencial no ponto (3, 3).
Usando a definição de diferencial, temos:
Assim, e
Portanto, 
(2) Sabemos que ao medir determinados objetos podemos cometer erros relativos 
aos instrumentos e também relativos ao visual do operador. Assim, veja a 
seguinte situação:
Foram feitas medidas do raio da base e da altura de um cone circular reto e 
obtivemos as medidas raio da base = 8cm e altura = 20cm com um possível erro 
de no máximo 0,1cm.
Podemos utilizar a diferencial para estimar o erro máximo cometido no cálculo do 
volume do cone.
Temos os seguintes dados para resolver o problema:
 • Função volume: .
79
Derivadas de funções de uma ou mais variáveis 
 • Derivadas parciais: e .
 • Dados: ponto e .
Assim, 
 ou 
seja, o erro máximo é de 
(3) O conceito de diferencial pode ser usado para funções com mais 
de duas variáveis. Por exemplo, podemos calcular a diferencial da 
 no ponto 
Neste caso, podemos dizer que:
Temos:
Portanto, 
3.2.3 Atividades de autoavaliação
(1) Calcule a diferencial no ponto 
(2) Generalize o conceito de diferencial e calcule a diferencial 
no ponto (1,1,1).
(3) As dimensões de uma caixa retangular são medidas como 25cm, 60cm e 
30cm, cada medida feita com precisão de 0,2cm. Use diferenciais para estimar o 
maior valor possível do erro quando calculamos o volume da caixa usando essas 
medidas.
80
Capítulo 3 
(4) e da função f(x,y) = x – x3 – y2 considerando e 
 Comparar os resultados obtidos.
(5) Calcule a diferencial das seguintes funções: 
(6) A energia consumida num resistor elétrico é dada por Se 
e calcule um valor aproximado para a variação de energia quando V 
decresce de 0,001volts e R aumenta de 0,02ohms.
81
Habilidades
Seções de estudo
Capítulo 4
Seção 1: Taxa de variação.
Seção 2: Análise de comportamento das funções.
A partir da identificação e discussão de situações 
práticas, modeladas com funções de uma ou mais 
variáveis com diversas representações semióticas e 
taxas de variação, espera-se que o estudante possa 
analisar o comportamento das funções usando 
gráficos e técnicas de derivação.
Aplicações Elementares
82
Capítulo 4 
Seção 1
Taxa de Variação
Nesta seção você vivenciará a resolução de problemas cuja modelagem e 
resolução requer o uso de derivadas. Em geral, são problemas que envolvem uma 
taxa de variação.
Veja algumas questões que podem ser respondidas nesta seção.
O que é taxa de variação?
 
Por que a velocidade e aceleração são consideradas interpretações físicas 
da derivada?
1.1 A derivada como taxa de variação
Na introdução do conceito de derivada você teve a oportunidade de analisar 
a interpretação geométrica da derivada. Vamos agora retomar esse contexto 
apresentando a derivada como taxa de variação. Você terá a oportunidade de 
verificar que temos também a interpretação física da derivada.
De forma simples, podemos pensar em variação como mudança em relação ao 
tempo, mas você terá a oportunidade de vivenciar problemas em que outras 
variáveis são consideradas. Por exemplo, um economista pode querer estudar como 
o custo da produção de um produto varia de acordo com o número produzido.
Matematicamente, quando temos a taxa média de variação de y em 
relação x no intervalo é dada por sendo 
a variação de x e variação correspondente de y.
É possível conhecer a taxa de variação num ponto específico neste caso, 
estamos diante de uma taxa de variação instantânea da função 
Lembrando a definição de derivada podemos afirmar que essa taxa pode ser 
encontrada usando a expressão 
83
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Como que podemos reescrever a expressão anterior como 
Observe que a palavra “instantânea” lembra tempo, daí o fato de 
associarmos taxa de variação como mudança em relação ao tempo.
Observe nos exemplos que seguem as diferentes aplicações da derivada quando 
esta se apresenta na forma de uma taxa de variação.
1.2 Velocidade e Aceleração
O exemplo clássico da Física relacionada com velocidade e aceleração é uma 
taxa de variação e podemos considerá-locomo a interpretação física de derivada.
Vamos considerar um corpo que se desloca ao longo de um eixo s e a sua 
posição em função do tempo t é modelada por uma função 
O deslocamento do objeto no intervalo de tempo é 
 é sua velocidade média nesse intervalo é dada por:
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo dada 
por 
A taxa com que a velocidade de um corpo varia é a aceleração do corpo. 
Podemos dizer que a aceleração mede quanto o corpo ganha ou perde 
velocidade. Usando a ideia de taxa de variação é possível constatar que a 
aceleração e a taxa de variação da velocidade. 
A aceleração média no intervalo de tempo é 
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo ou a 
derivada de segunda ordem da posição em relação ao tempo. Podemos escrever 
84
Capítulo 4 
Anote os conceitos com fórmulas:
(1) velocidade média: 
(2) velocidade instantânea: 
(3) aceleração média: 
(4) aceleração instantânea: 
1.2.1 Exemplos
(1) No instante um corpo inicia um movimento em linha reta. Sua posição é 
modelada pela função Determinar:
(a) a velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4];
(b) a velocidade do corpo no instante t = 2;
(c) a aceleração média no intervalo de tempo [0,3];
(d) a aceleração instantânea no instante t = 4.
Para resolver os itens solicitados vamos utilizar as expressões destacadas. Temos que:
a. A velocidade média do corpo no intervalo de tempo [1,4] é dada por
b. Para calcular a velocidade do corpo no instante t = 2 é necessário 
encontrar a derivada da função no ponto t = 2.
85
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
c. A aceleração média no intervalo [0,3] é dada por
O sinal negativo nos mostra que a velocidade do corpo está diminuindo no 
intervalo de tempo dado.
d. A aceleração instantânea no tempo t=4 é a derivada da velocidade 
no ponto t = 4. Assim,
Você já deve ter ouvido falar no famoso matemático e astrônomo italiano 
Galileu Galilei (1564-1642). Ele é considerado o fundador da mecânica e 
da física moderna. Sem recursos para frequentar a Universidade de Pisa, 
foi autodidata em matemática, tornando-se professor na Universidade de 
Pisa e depois na Universidade de Pádua. Nessa última, desenvolveu as 
conclusões do movimento de queda livre sob a ação da gravidade e o 
movimento dos planetas. 
(2) Se Galileu tivesse deixado cair uma pedra do topo da torre de Pisa, 
54,5 metros acima do solo, sua altura t segundos depois de cair teria sido 
 relação ao solo.
(a) Qual é a velocidade e a aceleração da pedra no instante t?
(b) Quanto tempo a pedra levaria, aproximadamente, para atingir o solo?
(c) Qual teria sido a velocidade da bala no momento do impacto?
Vamos usar as fórmulas já estabelecidas para resolver os itens propostos.
(a) A velocidade da pedra no instante t é A aceleração é 
dada por (valor já esperado, pois é a aceleração da 
gravidade).
(b) Quando a pedra chega o solo temos (ver Figura 4.1). 
86
Capítulo 4 
Assim para saber o tempo que a pedra levaria para atingir o solo vamos fazer 
Figura 4.1 – Gráfico da função 
1 2 3
10
20
30
40
50
60
x
y
A velocidade da pedra no momento do impacto é dada por
(3) Seja para a equação do movimento de uma 
partícula. Vamos considerar que s é medido em centímetros e t em segundos.
(a) Determinar a velocidade no instante t.
(b) Determinar a aceleração no instante t.
(c) Em que momento a velocidade se anula?
(d) Em que momento a aceleração se anula?
(e) Supondo que o movimento é na horizontal, tomando o instante t=0 como 
referência, podemos dizer que a partícula está andando para frente? E para trás?
(f) Determinar a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
Observe que neste problema estamos buscando uma análise sobre as 
características do movimento da partícula. Para facilitar a visualização dos 
resultados vamos fazer o gráfico da função Figura 4.2.
87
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 4.2 – Gráfico da função 
2 4
-4
-2
2
4
6
8
10
12
x
y
(a) A velocidade no instante é dada por 
(b) A aceleração no instante t é dada por 
(c) Para encontrar os instantes em que a velocidade se anula, vamos fazer 
 isto é, Observe que estamos diante da 
resolução de uma equação do terceiro grau. Basta analisar o gráfico da Figura 
4.2 para constatar que t=4 é uma das raízes. Aplicando Ruffini, vamos achar a 
expressão do segundo grau que vai nos dar duas outras raízes aproximadas.
Veja Ruffini
4 -27 48 -16
4 16 -44 16
4 -11 4 0
Assim obtemos que 
Vamos, agora, calcular as raízes da expressão do segundo grau 
usando a fórmula de Bhaskara.
88
Capítulo 4 
Assim temos dois valores aproximados para t
Portanto, a velocidade se anula nos instantes 2,32 e 0,43 segundos.
(d) De forma similar ao item (b) podemos identificar os pontos em que a 
aceleração se anula. Basta achar as raízes da equação 
Aplicando Bhaskara vamos ter
Assim vamos ter dois instantes: e 
(e) Supondo que o movimento é na horizontal, tomando o instante t=0 como 
referência, podemos dizer que a partícula está andando para frente? E para trás?
Para responder essas questões basta analisar o comportamento da velocidade, 
pois a velocidade informa o ritmo do deslocamento e o sentido do movimento. 
Quando a velocidade é positiva a partícula está se deslocando para frente e 
quando a velocidade é negativa a partícula está se deslocando para trás. Para 
facilitar a visualização vamos fazer o gráfico da função velocidade (ver Figura 4.3).
89
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 4.3 – Gráfico da função velocidade
2 4 6
-16
-12
-8
-4
4
8
12
x
y
Da Figura 4.3 podemos afirmar que:
 • velocidade positiva ð gráfico acima do 
eixo t;
 • velocidade negativa ð ð gráfico abaixo do 
eixo t.
Usando os cálculos anteriores das raízes da função concluímos que:
 • A velocidade é positiva nos intervalos e (lembrar 
que estamos trabalha do somente o intervalo Portanto, 
nesses intervalos a partícula está se deslocando para frente.
 • A velocidade é negativa no intervalo Portanto, nesse 
intervalo a partícula está se deslocando para trás.
(f) Para determinar a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula, 
basta fazer o cálculo da imagem da função aceleração nos pontos 0,43; 2,32 e 4. 
Assim
1.2.2 Atividades de autoavaliação
1) A função posição de um corpo é dada por para 
Quando a partícula atinge a velocidade de 5 m/s?
90
Capítulo 4 
2) Uma pedra é atirada verticalmente para cima na superfície da Lua com 
velocidade de atinge uma altura de em t segundos.
(a) Determinar a velocidade e aceleração da pedra no instante t.
(b) Qual a altura tingida pela pedra?
(c) Quanto tempo a pedra leva para atingir metade de sua altura máxima?
(d) Faça uma pesquisa na Internet sobre a gravidade na Lua e verifique se as 
informações obtidas são compatíveis com a sua resposta do item (a).
3) Seja para a equação do movimento de uma 
partícula. Vamos considerar que s é medido em centímetros e t em segundos.
(a) Determinar a velocidade no instante t = 1,5 s.
(b) Determinar a aceleração no instante t = 1 s.
(c) Em que momento a velocidade se anula?
(d) Em que momento a aceleração se anula?
(e) Supondo que o movimento é na horizontal, tomando o instante t=0 como 
referência, podemos dizer que a partícula está andando para frente? E para trás?
(f) Determinar a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
1.3 Densidade Linear
Se uma barra for homogênea, então sua densidade linear é uniforme e está 
definida como a massa por unidade de comprimento. Em geral usamos a letra 
grega para denotar a densidadelinear que pode ser medida em quilogramas por 
metro (kg/m). 
Quando a barra não for homogênea, é possível a partir de experimentos 
estabelecer uma função dá a massa da barra medida a partir da 
extremidade esquerda até um ponto x (ver Figura 4.4).
91
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
Figura 4.4 – Barra com massa não homogênea
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
Se queremos conhecer a massa de um pedaço da barra localizada entre 
e x = x
2
 podemos fazer ssim a densidade média linear do 
pedaço da barra é 
A densidade linear no ponto é a derivada da massa em relação 
comprimento, isto é 
1.3.1 Exemplos
Uma barra não homogênea de 12 metros de comprimento foi analisada e 
observou-se que a massa da barra medida a partir da extremidade esquerda 
até um ponto x é que x é medido em metros e a massa em 
quilogramas.
Qual a densidade média do pedaço da barra, com 3,1 metros, localizado no 
extremo esquerdo?
Qual a densidade linear em qualquer ponto da barra?
Para analisar este exemplo, observe a Figura 4.5. 
Figura 4.5 – Barra não homogênea de 12 m
Assim,
(a) A densidade média do pedaço da barra assinalado na Figura 4.5 é 9,69 kg/m.
92
Capítulo 4 
Vai ser legal você estar com a sua calculadora em mãos, pois vamos fazer 
cálculos aproximados.
(b) A densidade linear em qualquer ponto da barra é dada pelo cálculo da 
derivada da função Assim,
1.3.2 Atividades de autoavaliação
A massa da parte de uma barra de metal que está situada entre o extremo 
esquerdo e um ponto x metros à direita é Encontre a densidade linear 
quando x for:
(a) 2 metros;
(b) 3 metros. 
Onde a densidade é maior? E a menor?
1.4 Custo e rendimento marginais
Você já ouviu falar em custo marginal?
É um termo usado na área da Economia definido matematicamente com recursos 
de derivadas.
93
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
O custo de produção é uma função do número de unidades produzidas, 
denotada por x. O custo marginal da produção é a taxa de variação do custo 
em relação ao nível de produção, portanto, é a derivada da função custo em 
relação ao número de unidades produzidas. Teoricamente, o custo marginal é 
aproximadamente igual ao custo adicional para produzir uma unidade a mais. A 
informação obtida pelo cálculo do custo marginal pode ser importante para a 
tomada de decisão de uma empresa.
Com similar interpretação podemos discutir rendimento marginal.
1.4.1 Exemplos
Seja reais, o custo de produção de x peças 
automotivas e represente o rendimento da 
venda de x peças. 
(a) Se a empresa produz 10 peças por dia, qual será o custo adicional aproximado 
para produzir uma peça a mais por dia.
(b) Qual o aumento estimado no rendimento na venda das 11 peças?
(c) Qual é o custo de fabricação da 11ª peça?
Para resolver esse exemplo vamos aplicar derivadas.
(a) Lembrando que o custo adicional aproximado para produzir uma peça a mais 
por dia é o custo marginal, temos:
O custo marginal é R$ 3,26.
(b) O rendimento marginal solicitado é R$ 9,26. De fato,
94
Capítulo 4 
(c) O custo de fabricação da 11ª peça não envolve derivadas, basta fazer
Portanto, temos um custo real de R$ 3,27.
Observar que o custo real da 11ª. peça é aproximadamente igual ao custo 
marginal quando 
1.4.2 Atividades de autoavaliação
Suponha que o custo total de fabricação de x unidades de um produto seja dado 
pela função Usando a análise de custo marginal apresente 
o custo aproximado de fabricação da 30ª unidade. Calcule o custo real de 
fabricação da 30ª unidade.
1.5 Aplicações em geral
É possível estabelecer aplicações do uso de taxa de variação em quase todas as áreas 
do conhecimento, inclusive áreas não exatas como Psicologia e Sociologia. Neste item 
vamos apresentar exemplos variados, sem esgotar as diferentes aplicações.
1.5.1 Exemplos
(1) Uma corrente existe sempre que a carga elétrica se move. Se fora a 
quantidade de carga que passa através de uma superfície durante um período 
de tempo então a corrente média durante esse intervalo de tempo é definida 
como 
Se fizermos o limite dessa corrente média sobre intervalos de tempo cada vez 
menores, obteremos o que chamamos de corrente i em um dado instante t, isto é, 
95
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(2) Ao adicionar um bactericida em um meio em que as bactérias estavam 
crescendo, a população de bactérias continuou a crescer por um período de 
tempo e posteriormente começou a diminuir. O tamanho da população poderia 
ser medido usando-se uma função do tempo (medido em horas). Analisar a taxa 
de variação dessa população nos instantes: 0 horas, 100 horas e 200 horas, 
considerando que a função que modela a situação é 
Para analisar a situação proposta basta fazer a derivada da função dada e 
calcular a taxa nos pontos solicitados. Portanto,
e
 bactéria/hora
 bactéria/hora
 bactéria/hora.
Observe o gráfico da Figura 4.6 que mostra a função e as declividades das retas 
tangentes à curva aos pontos dados, representando o aumento (valor positivo da taxa 
de variação), zero e diminuição (valor negativo da taxa de variação) da população.
Figura 4.6 – Crescimento e decrescimento de bactérias
50 100 150 200
10000
20000
t
f(t)
(3) Um reservatório de água potável teve a sua válvula inferior de drenagem 
aberta para fins de limpeza. Observou-se o escoamento na faixa graduada em 
metros que mede a profundidade do reservatório. Essa observação foi registrada 
na tabela que segue
96
Capítulo 4 
t (minutos) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y (metros) 5,00 4,05 3,2 2,45 1,80 1,25 0,80 0,45 0,20 0,05 0
Encontrar a taxa de esvaziamento do reservatório no instante t.
Quando a altura da água no reservatório diminuirá mais rapidamente? E mais 
lentamente?
Representar graficamente Que observações podem ser feitas?
Para desenvolver este problema podemos usar um software livre, como, por 
exemplo, o Graph, para obter a modelagem da função. A Figura 4.7 foi obtida 
usando-se o Graph.
Figura 4.7 – Série de pontos no Graph
f(x)=0.05*x^2-1*x+5
Series 1
5 10
2
4
6
8
t
y
Portanto, com a ajuda dos recursos tecnológicos podemos definir a função 
(a) Para encontrar a taxa de esvaziamento do reservatório no instante t, vamos 
achar a derivada da função 
 metro/min.
(b) A altura da água no reservatório diminuirá mais rapidamente quando temos a 
taxa de variação zerando, isto é, no tempo t = 10 minutos temos O menor 
valor da taxa de variação está no início do processo em quando temos 
 Portanto, a altura da água no reservatório diminui mais lentamente no 
início do processo em 
97
Derivadas de Funções de uma ou Mais Variáveis 
(c) A representação gráfica pode ser visualizada na Figura 4.8. 
Podemos constatar os resultados obtidos nos itens (a) e (b). A função é 
decrescente no intervalo considerado e a função taxa de variação ou 
também dita velocidade de escoamento é sempre crescente.
Figura 4.8 – Gráfico da função e de sua derivada
2 4 6 8 10
2
4
6
t
y
505,0 2 +−= tty
110,0 −= t
dt
dy
1.5.2 Atividades de autoavaliação
(1) A disseminação do sarampo em uma escola foi analisada através da função 
 sendo t o número de dias decorridos desde o aparecimento do 
primeiro caso e f(t) é o número total de alunos com sarampo. Calcule a taxa de 
contágio (taxa de variação do número de alunos com sarampo no decorrer do 
tempo). Faça o gráfico das funções envolvidas e verifique a possibilidade de 
identificar:
(a) o número inicial de estudantes com sarampo;
(b) quantos alunos ficarão doentes;
(c) em que dia a taxa de contágio é maior.
(2) Se um gás for mantido em um cilindro a uma