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1 Lista de Exercícios de Geometria Analítica e Vetores II Engenharia Civil – 1º termo Equações de retas e planos 1. Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto P = (2, -1, 1) e que é perpendicular aos planos 2x – y + 3z – 1 = 0 e x + 2y + z = 0. 2. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto M = (2, -3, -5) e que é perpendicular ao plano 6x – 3y – 5z + 2 = 0. 3. Determinar a equação geral do plano que passa por P = (1,1,1) e contém a reta determinada pelos pontos A = (2,1,-1) e B = (3,2,-1). 4. Dar as equações paramétricas do plano determinado pelas retas paralelas: 1 2 1 3 3 : 2 1 3 2 : zyxsezyxr 5. Dados os pontos A = (1,2,5) e B = (0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA . 6. Ache a equação do plano α paralelo ao plano β: 2x – y + 5z – 3 = 0 e que passa por P = (1, -2, 1). 7. Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto Q = (1,2,1) e é perpendicular ao plano x – y + 2z – 1 = 0. 8. Ache as equações paramétricas da reta que passa por A = ( 3, 3, 3 ) e é paralela à reta BC, sendo B = (1,1,0) e C = (-1,0,-1). 9. Escreva equações vetorial, paramétricas e geral para os planos descritos abaixo: (a) passa por A = (1,1,0) e B = (1,-1,-1) e é paralelo ao vetor v = (2,1,0). (b) passa por A = ( 1, 0, 1) e B=( 0, 1, - 1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1,2,1) e D = (0,1,0). (c) passa pelos pontos A = (1,0,1), B = (2,1,-1) e C = (1,-1,0). (d) passa pelos pontos A = (1, 0, 2), B = (-1,1,3) e C = (3,-1,1). 10. Obtenha equações paramétricas do plano que passa pelo ponto A = (1,1,2) e é paralelo ao plano 1: X = (1,0,0) + t1 (1,2,-1) + t2 (2,1,0) . 11. Dadas as retas zyxsezyxr 1: 22 1 : obtenha uma equação geral para o plano determinado por r e s. 12. Obtenha uma equação geral do plano : 2 21 21 3 2 1 tz tty ttx 2 13. Sejam P = (4,1,-1) e r: X = (2,4,1) + t(1,-1,2). (a) Mostre que P r. (b) Obtenha a equação geral do plano determinado por r e P. 14. Encontre a equação geral do plano π que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos planos α: x + 2y – 3z + 2 = 0 e β: 2x – 2y + 4z – 1 = 0. 15. Determinar m e n para que o ponto P = (3, m, n) pertença a reta r: tz ty tx 4 3 21 16. A reta r passa por A = (1,-2,1) e é paralela à reta s: tz ty tx 3 2 . Se P = (-3,m,n) pertence a r, determinar m e n. 17. Determine a equação geral do plano paralelo ao plano : 2x – 3y – z + 5 = 0 e que contém o ponto A = (4,-1,2). 18. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto M=(2,-3,-5) e que é perpendicular ao plano 6x – 3y – 5z + 2 = 0 19. Verifique se π: X=(0,0,1)+ h(1, 0, 1)+ k (-1,-1,1) e α: 2x-7y+16z–40=0 são perpendiculares. 20. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e é perpendicular ao plano y – z = 0. Respostas: 01. 7x – y – 5z – 10 = 0 02. X = (2, -3, 5) + t(6, -3, -5) 03. 2x – 2y + z – 1 = 0 04. 21 1 21 21 32 ttz ty ttx 05. P = 4 15 , 4 7 , 4 3 ou P = 2 15 , 2 5 , 2 3 06. 2x – y + 5z – 9 = 0 07. X= 1 + t; y = 2 – t; z = 1 + 2t 08. tz ty tx 3 3 23 09.a)X = (1,1,0) + t1(0,-2,-1) + t2(2,1,0) (Vetorial) 1 21 2 21 21 tz tty tx (Paramétricas) (Geral) x – 2y + 4z + 1 = 0 b) X = (1,0,1) + + t1(-1,1,-2) + t2(-1,-1-1) (Vetorial) 3 21 21 21 21 1 ttz tty ttx (Paramétricas) (Geral) -3x + y = 2z + 1 = 0 c) X = (1,0,1) + t(1,1,-2) + h(0,-1,-1) (Vetorial) htz hty tx 21 1 (Paramétricas) (Geral) -3x+y-z+4=0 d)Os vetores são paralelos. Não dá para determinar um plano. 10. 1 21 21 2 21 21 tz tty ttx 11. x – y – 1 = 0 12. -2x + y +3z - 7= 0 13. -8x -6y +z + 39 = 0 14. 5x – 10y – 5z = 0 15. m= -2 e n = -5 16. m = 10 e n = 5. 17. 2x – 3y – z – 9 = 0 18. X = (2, -3, -5) + t(6, -3, -5) 19. Sim 20. –x + 1 = 0
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