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Listo de Exercícios Retas e Planos

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1
 Lista de Exercícios de Geometria Analítica e Vetores II 
 Engenharia Civil – 1º termo 
 
Equações de retas e planos 
 
1. Encontre a equação geral do plano que passa pelo ponto P = (2, -1, 1) e que é perpendicular aos 
planos 2x – y + 3z – 1 = 0 e x + 2y + z = 0. 
 
2. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto M = (2, -3, -5) e que é perpendicular ao 
plano 6x – 3y – 5z + 2 = 0. 
 
3. Determinar a equação geral do plano que passa por P = (1,1,1) e contém a reta determinada pelos 
pontos A = (2,1,-1) e B = (3,2,-1). 
 
 
4. Dar as equações paramétricas do plano determinado pelas retas paralelas: 
 1
2
1
3
3
:
2
1
3
2
:  zyxsezyxr 
 
5. Dados os pontos A = (1,2,5) e B = (0,1,0), determine P sobre a reta que passa por A e B tal que o 
comprimento de PB seja o triplo do comprimento de PA . 
 
6. Ache a equação do plano α paralelo ao plano β: 2x – y + 5z – 3 = 0 e que passa por P = (1, -2, 1). 
 
7. Encontre a equação paramétrica da reta que passa pelo ponto Q = (1,2,1) e é perpendicular ao 
plano x – y + 2z – 1 = 0. 
 
8. Ache as equações paramétricas da reta que passa por A = ( 3, 3, 3 ) e é paralela à reta BC, sendo 
B = (1,1,0) e C = (-1,0,-1). 
 
9. Escreva equações vetorial, paramétricas e geral para os planos descritos abaixo: 
(a)  passa por A = (1,1,0) e B = (1,-1,-1) e é paralelo ao vetor v = (2,1,0). 
(b)  passa por A = ( 1, 0, 1) e B=( 0, 1, - 1) e é paralelo ao segmento CD, onde C = (1,2,1) e D = 
(0,1,0). 
(c)  passa pelos pontos A = (1,0,1), B = (2,1,-1) e C = (1,-1,0). 
(d)  passa pelos pontos A = (1, 0, 2), B = (-1,1,3) e C = (3,-1,1). 
 
10. Obtenha equações paramétricas do plano  que passa pelo ponto A = (1,1,2) e é paralelo ao plano 
1: X = (1,0,0) + t1 (1,2,-1) + t2 (2,1,0) . 
 
11. Dadas as retas zyxsezyxr  1:
22
1
: obtenha uma equação geral para o 
plano determinado por r e s. 
 
 
12. Obtenha uma equação geral do plano  : 






2
21
21
3
2
1
tz
tty
ttx 
 2
 
13. Sejam P = (4,1,-1) e r: X = (2,4,1) + t(1,-1,2). 
(a) Mostre que P  r. 
(b) Obtenha a equação geral do plano determinado por r e P. 
 
14. Encontre a equação geral do plano π que passa pelo ponto P = (2, 1, 0) e é perpendicular aos 
planos α: x + 2y – 3z + 2 = 0 e β: 2x – 2y + 4z – 1 = 0. 
15. Determinar m e n para que o ponto P = (3, m, n) pertença a reta r:






tz
ty
tx
4
3
21 
 
16. A reta r passa por A = (1,-2,1) e é paralela à reta s: 






tz
ty
tx
3
2 . Se P = (-3,m,n) pertence a r, 
determinar m e n. 
 
17. Determine a equação geral do plano paralelo ao plano  : 2x – 3y – z + 5 = 0 e que contém o 
ponto A = (4,-1,2). 
 
18. Determinar a equação da reta que passa pelo ponto M=(2,-3,-5) e que é perpendicular ao plano 6x 
– 3y – 5z + 2 = 0 
 
19. Verifique se π: X=(0,0,1)+ h(1, 0, 1)+ k (-1,-1,1) e α: 2x-7y+16z–40=0 são perpendiculares. 
 
20. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos P = (1, 0, 0) e Q = (1, 0, 1) e é perpendicular 
ao plano y – z = 0. 
 
 
Respostas: 
 
01. 7x – y – 5z – 10 = 0 
02. X = (2, -3, 5) + t(6, -3, -5) 
03. 2x – 2y + z – 1 = 0 
 04. 






21
1
21
21
32
ttz
ty
ttx
 
05. P = 


4
15
,
4
7
,
4
3 ou P = 


2
15
,
2
5
,
2
3 
06. 2x – y + 5z – 9 = 0 
07. X= 1 + t; y = 2 – t; z = 1 + 2t 
08. 






tz
ty
tx
3
3
23
 
 09.a)X = (1,1,0) + t1(0,-2,-1) + t2(2,1,0) (Vetorial) 
 






1
21
2
21
21
tz
tty
tx (Paramétricas) 
 (Geral) x – 2y + 4z + 1 = 0 
 b) X = (1,0,1) + + t1(-1,1,-2) + t2(-1,-1-1) (Vetorial) 
 3
 






21
21
21
21
1
ttz
tty
ttx (Paramétricas) 
 (Geral) -3x + y = 2z + 1 = 0 
 
 c) X = (1,0,1) + t(1,1,-2) + h(0,-1,-1) (Vetorial) 
 






htz
hty
tx
21
1 (Paramétricas) 
(Geral) -3x+y-z+4=0 
 
d)Os vetores são paralelos. Não dá para determinar um plano. 
 
10. 






1
21
21
2
21
21
tz
tty
ttx 
 11. x – y – 1 = 0 
12. -2x + y +3z - 7= 0 
13. -8x -6y +z + 39 = 0 
14. 5x – 10y – 5z = 0 
15. m= -2 e n = -5 
16. m = 10 e n = 5. 
17. 2x – 3y – z – 9 = 0 
18. X = (2, -3, -5) + t(6, -3, -5) 
19. Sim 
20. –x + 1 = 0

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