Determinantes

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Engenharia Elétrica
Determinantes
Prof.: Carlos de Abreu
28 de Agosto de 2015
Sumário
1 Determinantes
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
2 Bibliografia
Sumário
1 Determinantes
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
2 Bibliografia
Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Definição
O determinante de uma matriz quadrada Anˆn, será denotado por
det pAq, det paijq ou |A|.
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1
Dada a matriz quadrada A“ ` a11 ˘ de ordem 1, tem-se que
det pAq “ a11
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Definição
O determinante de uma matriz quadrada Anˆn, será denotado por
det pAq, det paijq ou |A|.
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 1
Dada a matriz quadrada A“ ` a11 ˘ de ordem 1, tem-se que
det pAq “ a11
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2
Dada a matriz quadrada A“
ˆ
a11 a12
a21 a22
˙
de ordem 2, tem-se que
det pAq “
ˇˇˇˇ
a11 a12
a21 a22
ˇˇˇˇ
“ a11a22´a12a21
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Determinantes
Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3
Dada a matriz quadrada A“
¨˝
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
‚˛de ordem 3, tem-se
que
det pAq “
ˇˇˇˇ
ˇˇ a11 a12 a13a21 a22 a23
a31 a32 a33
ˇˇˇˇ
ˇˇ
“ a11a22a33`a12a23a31`a13a21a32´
´a11a23a32´a12a21a33´a13a22a31
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Exercícios
Exercício 01
Calcule o determinante das matrizes quadradas abaixo.
a) A“ p2q
b) B“ ||´10||
c) C “ r600s
d) D“
ˆ
4 2
3 0
˙
e) E “
ˆ ´2 4
4 ´1
˙
f) S“
¨˝
3 1 ´2
´5 4 ´6
0 2 7
‚˛
g) S“
¨˝
1 2 0
3 1 3
0 3 2
‚˛
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Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Exercícios
Exercício 02
Dadas as matrizes A“
ˆ
2 x
3 9
˙
e B“
¨˝
1 ´1 0
2 3 x
´1 2 1
‚˛, determine
o valor de x para que se tenha detpAq “ detpBq.
Exercício 03
Resolva as equações:
a)
ˇˇˇˇ
x´2 6
3 5
ˇˇˇˇ
“ 2
b)
ˇˇˇˇ
x`3 5
1 x´1
ˇˇˇˇ
“ 0
c)
ˇˇˇˇ
1 x
1 1
ˇˇˇˇ
ˇˇˇˇ
1 1
x 1
ˇˇˇˇ “ ˇˇˇˇ 1 1
x 1
ˇˇˇˇ
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Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Desenvolvimento de Laplace
detpAnˆnq “ ai1∆i1`ai2∆i2`¨¨ ¨`ain∆in
“
nř
j“1
aijp´1qi`jdetpAijq
“
nř
j“1
aij∆ij
Exemplo
Calcule o determinante de cada uma das matrizes abaixo usando o
desenvolvimento de Laplace.
a)
¨˝
1 ´2 3
2 1 ´1
´2 ´1 2
‚˛
b)
¨˚
˚˝ ´1 2 3 ´44 2 0 0´1 2 ´3 0
2 5 3 1
‹˛‹‚
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Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Desenvolvimento de Laplace
detpAnˆnq “ ai1∆i1`ai2∆i2`¨¨ ¨`ain∆in
“
nř
j“1
aijp´1qi`jdetpAijq
“
nř
j“1
aij∆ij
Exemplo
Calcule o determinante de cada uma das matrizes abaixo usando o
desenvolvimento de Laplace.
a)
¨˝
1 ´2 3
2 1 ´1
´2 ´1 2
‚˛
b)
¨˚
˚˝ ´1 2 3 ´44 2 0 0´1 2 ´3 0
2 5 3 1
‹˛‹‚
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
Propriedades
i. Fila de zeros - Se todos os elementos de uma fila(linha ou coluna)
de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante
será nulo, isto é, detpAq “ 0.
ii. Filas iguais - Se os elementos correspondentes de duas filas de
uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo,
isto é, detpAq “ 0.
iii. Filas proporcionais - Se uma matriz quadrada A possui duas
filas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, detpAq “ 0.
iv. Multiplicação de uma fila por uma constante - Se todos os
elementos de fila de uma matriz quadrada são multiplicados por
uma mesmo número real k, então seu determinante fica
multiplicado por k.
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Bibliografia
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Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
Propriedades
i. Fila de zeros - Se todos os elementos de uma fila(linha ou coluna)
de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante
será nulo, isto é, detpAq “ 0.
ii. Filas iguais - Se os elementos correspondentes de duas filas de
uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo,
isto é, detpAq “ 0.
iii. Filas proporcionais - Se uma matriz quadrada A possui duas
filas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, detpAq “ 0.
iv. Multiplicação de uma fila por uma constante - Se todos os
elementos de fila de uma matriz quadrada são multiplicados por
uma mesmo número real k, então seu determinante fica
multiplicado por k.
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Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
Propriedades
i. Fila de zeros - Se todos os elementos de uma fila(linha ou coluna)
de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante
será nulo, isto é, detpAq “ 0.
ii. Filas iguais - Se os elementos correspondentes de duas filas de
uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo,
isto é, detpAq “ 0.
iii. Filas proporcionais - Se uma matriz quadrada A possui duas
filas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, detpAq “ 0.
iv. Multiplicação de uma fila por uma constante - Se todos os
elementos de fila de uma matriz quadrada são multiplicados por
uma mesmo número real k, então seu determinante fica
multiplicado por k.
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Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
Propriedades
i. Fila de zeros - Se todos os elementos de uma fila(linha ou coluna)
de uma matriz quadrada A forem iguais a zero, seu determinante
será nulo, isto é, detpAq “ 0.
ii. Filas iguais - Se os elementos correspondentes de duas filas de
uma matriz quadrada A forem iguais, seu determinante será nulo,
isto é, detpAq “ 0.
iii. Filas proporcionais - Se uma matriz quadrada A possui duas
filas proporcionais, seu determinante será nulo, isto é, detpAq “ 0.
iv. Multiplicação de uma fila por uma constante - Se todos os
elementos de fila de uma matriz quadrada são multiplicados por
uma mesmo número real k, então seu determinante fica
multiplicado por k.
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Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
v. Multiplicação da matriz por uma constante - Se uma matriz
quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o
seu determinante fica multiplicado por kn, isto é:
detpkAq “ kndetpAq
vi. Determinante da transposta - O determinante de uma matriz
quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é,
detpAq “ detpAtq
vii. Troca de filas parelelas - Setrocarmos de posição duas filas de
uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o
oposto do determinante da matriz anterior.
viii. Determinante da matriz triangular - O determinante de uma
matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal
principal.
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Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
v. Multiplicação da matriz por uma constante - Se uma matriz
quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o
seu determinante fica multiplicado por kn, isto é:
detpkAq “ kndetpAq
vi. Determinante da transposta - O determinante de uma matriz
quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é,
detpAq “ detpAtq
vii. Troca de filas parelelas - Se trocarmos de posição duas filas de
uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o
oposto do determinante da matriz anterior.
viii. Determinante da matriz triangular - O determinante de uma
matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal
principal.
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
v. Multiplicação da matriz por uma constante - Se uma matriz
quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o
seu determinante fica multiplicado por kn, isto é:
detpkAq “ kndetpAq
vi. Determinante da transposta - O determinante de uma matriz
quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é,
detpAq “ detpAtq
vii. Troca de filas parelelas - Se trocarmos de posição duas filas de
uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o
oposto do determinante da matriz anterior.
viii. Determinante da matriz triangular - O determinante de uma
matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal
principal.
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
v. Multiplicação da matriz por uma constante - Se uma matriz
quadrada A de ordem n é multiplicada por um número real k, o
seu determinante fica multiplicado por kn, isto é:
detpkAq “ kndetpAq
vi. Determinante da transposta - O determinante de uma matriz
quadrada A é igual ao determinante de sua transposta, isto é,
detpAq “ detpAtq
vii. Troca de filas parelelas - Se trocarmos de posição duas filas de
uma matriz quadrada A, o determinante da nova matriz obtida é o
oposto do determinante da matriz anterior.
viii. Determinante da matriz triangular - O determinante de uma
matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal
principal.
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
ix. Teorema de Binet - Sendo A e B duas matrizes quadradas de
mesma ordem e AB a matriz-produto, então
detpABq “ detpAqdetpBq
x. Determinante da inversa - Seja A uma matriz quadrada invertível
e A´1 sua inversa. Então,
detpA´1q “ 1
detpAq
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Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Propriedades
ix. Teorema de Binet - Sendo A e B duas matrizes quadradas de
mesma ordem e AB a matriz-produto, então
detpABq “ detpAqdetpBq
x. Determinante da inversa - Seja A uma matriz quadrada invertível
e A´1 sua inversa. Então,
detpA´1q “ 1
detpAq
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Exercício 04
Dentre as seis matrizes seguintes, cinco têm o determinante igual a
zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades. Justifique.
a) A“
¨˚
˚˝ 5 ´4 10 ´13 9 6 6
1 5 2 ´3
2 3 4 2
‹˛‹‚
b) B“
¨˚
˚˝ 3 ´2 9 62 9 ´1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
‹˛‹‚
c) C “
¨˚
˚˝ 8 0 0 01 4 0 0´2 1 3 0
3 2 1 5
‹˛‹‚
d) D“
¨˚
˚˝ 3 0 2 42 0 6 8´1 0 ´3 6
4 0 1 5
‹˛‹‚
e)
¨˚
˚˝ 2 9 ´3 40 5 ´2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
‹˛‹‚
f)
¨˚
˚˝ ´4 5 0 23 ´1 2 5
4 ´5 0 ´2
6 8 3 ´5
‹˛‹‚
Exercício 04
Dentre as seis matrizes seguintes, cinco têm o determinante igual a
zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades. Justifique.
a) A“
¨˚
˚˝ 5 ´4 10 ´13 9 6 6
1 5 2 ´3
2 3 4 2
‹˛‹‚
b) B“
¨˚
˚˝ 3 ´2 9 62 9 ´1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
‹˛‹‚
c) C “
¨˚
˚˝ 8 0 0 01 4 0 0´2 1 3 0
3 2 1 5
‹˛‹‚
d) D“
¨˚
˚˝ 3 0 2 42 0 6 8´1 0 ´3 6
4 0 1 5
‹˛‹‚
e)
¨˚
˚˝ 2 9 ´3 40 5 ´2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
‹˛‹‚
f)
¨˚
˚˝ ´4 5 0 23 ´1 2 5
4 ´5 0 ´2
6 8 3 ´5
‹˛‹‚
Exercício 04
Dentre as seis matrizes seguintes, cinco têm o determinante igual a
zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades. Justifique.
a) A“
¨˚
˚˝ 5 ´4 10 ´13 9 6 6
1 5 2 ´3
2 3 4 2
‹˛‹‚
b) B“
¨˚
˚˝ 3 ´2 9 62 9 ´1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
‹˛‹‚
c) C “
¨˚
˚˝ 8 0 0 01 4 0 0´2 1 3 0
3 2 1 5
‹˛‹‚
d) D“
¨˚
˚˝ 3 0 2 42 0 6 8´1 0 ´3 6
4 0 1 5
‹˛‹‚
e)
¨˚
˚˝ 2 9 ´3 40 5 ´2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
‹˛‹‚
f)
¨˚
˚˝ ´4 5 0 23 ´1 2 5
4 ´5 0 ´2
6 8 3 ´5
‹˛‹‚
Exercício 04
Dentre as seis matrizes seguintes, cinco têm o determinante igual a
zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades. Justifique.
a) A“
¨˚
˚˝ 5 ´4 10 ´13 9 6 6
1 5 2 ´3
2 3 4 2
‹˛‹‚
b) B“
¨˚
˚˝ 3 ´2 9 62 9 ´1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
‹˛‹‚
c) C “
¨˚
˚˝ 8 0 0 01 4 0 0´2 1 3 0
3 2 1 5
‹˛‹‚
d) D“
¨˚
˚˝ 3 0 2 42 0 6 8´1 0 ´3 6
4 0 1 5
‹˛‹‚
e)
¨˚
˚˝ 2 9 ´3 40 5 ´2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
‹˛‹‚
f)
¨˚
˚˝ ´4 5 0 23 ´1 2 5
4 ´5 0 ´2
6 8 3 ´5
‹˛‹‚
Exercício 04
Dentre as seis matrizes seguintes, cinco têm o determinante igual a
zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades. Justifique.
a) A“
¨˚
˚˝ 5 ´4 10 ´13 9 6 6
1 5 2 ´3
2 3 4 2
‹˛‹‚
b) B“
¨˚
˚˝ 3 ´2 9 62 9 ´1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
‹˛‹‚
c) C “
¨˚
˚˝ 8 0 0 01 4 0 0´2 1 3 0
3 2 1 5
‹˛‹‚
d) D“
¨˚
˚˝ 3 0 2 42 0 6 8´1 0 ´3 6
4 0 1 5
‹˛‹‚
e)
¨˚
˚˝ 2 9 ´3 40 5 ´2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
‹˛‹‚
f)
¨˚
˚˝ ´4 5 0 23 ´1 2 5
4 ´5 0 ´2
6 8 3 ´5
‹˛‹‚
Exercício 04
Dentre as seis matrizes seguintes, cinco têm o determinante igual a
zero. Descubra quais são elas, usando as propriedades. Justifique.
a) A“
¨˚
˚˝ 5 ´4 10 ´13 9 6 6
1 5 2 ´3
2 3 4 2
‹˛‹‚
b) B“
¨˚
˚˝ 3 ´2 9 62 9 ´1 8
6 7 4 0
6 7 4 0
‹˛‹‚
c) C “
¨˚
˚˝ 8 0 0 01 4 0 0´2 1 3 0
3 2 1 5
‹˛‹‚
d) D“
¨˚
˚˝ 3 0 2 42 0 6 8´1 0 ´3 6
4 0 1 5
‹˛‹‚
e)
¨˚
˚˝ 2 9 ´3 40 5 ´2 2
0 0 0 3
0 0 0 7
‹˛‹‚
f)
¨˚
˚˝ ´4 5 0 23 ´1 2 5
4 ´5 0 ´2
6 8 3 ´5
‹˛‹‚
Determinantes
Bibliografia
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
Exercícios
Exercício 05
Se detpAq “ 20, calcule detpAtq.
Exercício 06
Se detpAq “
ˇˇˇˇ
a b
c d
ˇˇˇˇ
“ 10, calcule:
a) detpBq “
ˇˇˇˇ
b a
d c
ˇˇˇˇ
b) detpBq “
ˇˇˇˇ
4a 4b
c d
ˇˇˇˇ
Exercício 07
Sejam A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem. Sabendo que
detpAq “ 6 e detpBq “ 4, calcule detpABq.
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Sumário
1 Determinantes
Determinantes
Desenvolvimento de Laplace
Propriedades dos determinantes
2 Bibliografia
Determinantes
Bibliografia
Bibliografia
1 ANTON, H.; Rorres, C. Álgebra Linear com Aplicações. Tradução
técnica: Claus Ivo Doering. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2012.
2 BOLDRINI, J. L. [et. al.]. Álgebra Linear. 3. ed. São Paulo: Harbra
& Row do Brasil, 1980.
3 DANTE, Luiz Roberto. Matemática. Volume único. 1 ed. São
Paulo: Ática,2005.
4 HEFEZ, A.; FERNANDEZ, C. S. Introdução à Álgebra Linear. 1.
ed. Rio de Janeiro: SBM, 2012.
5 KÜHLKAMP, Nilo. Matrizes e sistemas de equações lineares.
Florianópolis: Ed. da UFSC, 2005.
6 STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Álgebra Linear. 2. ed. São
Paulo: Pearson Makron Books, 1987.
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	Desenvolvimento de Laplace
	Propriedades dos determinantes
	Bibliografia