Aula 07_05_2020 - Determinantes de Matrizes

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As noções que conhecemos hoje sobre Determinantes foram desenvolvidas por dois matemáticos, Leibniz (1646-1716) e Seki Shinsuke Kowa (1642-1708), ao solucionarem problemas de eliminações (escalonamento) necessárias à resolução de um sistema de “m” equações lineares e “n” incógnitas.
O conceito de determinantes se constitui como ferramenta para solucionar diferentes problemas envolvendo diversas áreas do conhecimento, incluindo a própria matemática.
Enquanto aplicação dentro da própria matemática, podemos destacar, por exemplo, o cálculo de uma inversa de uma matriz, o cálculo de cofatores e a discussão de sistemas lineares.
DETERMINANTES
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Definição:
Determinante é uma função que associa a cada matriz quadrada um escalar. É um número obtido por meio de multiplicações e adições dos coeficientes de um Sistema Linear. É importante destacar que não existe determinante de matriz que não seja quadrada. Representaremos o determinante de uma matriz A, por exemplo, por: det(A).
 Sarrus
 Laplace
 Chió
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Propriedades dos determinantes:
 FILA DE ZEROS
Considere a matriz quadrada M. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) desta matriz forem iguais a zero, seu determinante será nulo, isto é, det(M) = 0.
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 FILA IGUAIS
Considere a matriz quadrada M. Se os elementos correspondentes de duas linhas (ou colunas) forem iguais, seu determinante será nulo.
 FILA PROPORCIONAIS
Considere a matriz quadrada M. Se esta matriz possui duas linhas (ou duas colunas) proporcionais, seu determinante será nulo.
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MULTIPLICAÇÃO DE UMA FILA POR UMA CONSTANTE
Considere a matriz quadrada M. Se todos os elementos de uma linha (ou coluna) são multiplicados por um número real k, então seu determinante será multiplicado por k.
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 MULTIPLICAÇÃO DA MATRIZ POR UMA CONSTANTE
Considerando que a matriz quadrada M, de ordem n, foi multiplicada por um número real k, então o seu determinante também será multiplicado por kn, isto é:
= 175
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 DETERMINANTES DA TRANSPOSTA
Sendo M uma matriz quadrada, temos que: det(M) = det(MT).
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TROCA DE FILAS PARALELAS
Sendo M uma matriz quadrada, se trocarmos de posição (entre si) duas linhas (ou duas colunas), o determinante da nova matriz obtida será o oposto do determinante da matriz anterior.
Se trocarmos a 1ª coluna pela segunda, obtemos uma nova matriz:
Assim, teremos que: det(A) = - 24 e que det(B) = 24.
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 DETERMINANTE DE MATRIZ TRIANGULAR
O determinante de uma matriz triangular é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.
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TEOREMA DE BINET
O teorema de Binet diz que: sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB a matriz produto, então, det(AB) = det(A).det(B).
Observe que det(AB) = det(A).det(B).
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TEOREMA DE JACOBI
O Teorema de Jacobi diz que: o determinante de uma matriz quadrada não se altera quando se adicionam aos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer os elementos correspondentes de outra fila (linha ou coluna) paralela previamente multiplicada por uma constante.
Se multiplicarmos a 1ª linha por (2) e somarmos o resultado à 2ª linha, obtemos:
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Regra de Sarrus
CALCULANDO O DETERMINANTES
A Regra de Sarrus ou esquema de Sarrus é um método ou esquema de memorização para calcular o determinante de uma matriz 3×3. O nome refere-se ao matemático francês Pierre Frederic Sarrus. Considerando uma matriz M3x3:
O seu determinante pode ser calculado pelo seguinte esquema: Inicialmente, copie as duas primeiras colunas da matriz à direita da 3ª coluna, de modo que seja obtida uma sequência de 5 colunas. Em seguida, some os produtos das três diagonais principais (da esquerda para direita) e subtraia os produtos das três diagonais secundárias (da direita para esquerda). 
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Exemplo: 1-) Determine o determinante da matriz abaixo, utilizando a técnica de Sarrus:
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Exemplo: 2-) Determine o determinante da matriz abaixo, utilizando a técnica de Sarrus:
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	Prezado Aluno!!!!!
	Vivemos um momento de enfrentamento de uma pandemia em escala global gerada pelo novo Coronavírus COVID-19.
	É importante lembrar que NÃO ESTAMOS DE FÉRIAS!!!! NÃO paralisamos as atividades do curso, e estamos adaptando com o aporte de diferentes tecnologias e alternativas metodológicas. 
	Cada docente está fazendo as adaptações necessárias para garantir a continuidade das disciplinas e o desenvolvimento dos conteúdos. Todas as considerações e orientações estão pautadas em um plano de contingência, desenvolvido pela Reitoria do CEUNSP, a partir da assessoria do Grupo Cruzeiro do Sul Educacional e também do SEMESP, e está devidamente amparado em fundamentos legais e diretrizes do MEC, inclusive a PORTARIA Nº 343, DE 17 DE MARÇO DE 2020.
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Teorema de Laplace
CALCULANDO O DETERMINANTES
Quando nos deparamos com matrizes quadradas de ordem n (n ≥ 2), o Teorema de Laplace oferece uma solução prática para o cálculo dos determinantes. Antes de seguirmos, é importante estudar algumas definições para que possamos utilizar esta ferramenta de maneira adequada.
Menor Complementar:
Dada a matriz quadrada A(aij)mxn de ordem n (n ≥ 2), denominamos menor complementar de um elemento genérico aij da matriz o determinante Dij que obtemos suprimindo a linha i e a coluna j de A.
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Dada a matriz A determine o determinante da matriz menor complementar para os termos D22, D32 e D13:
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Cofator:
Dada a matriz quadrada A = (aij)mxn de ordem n (n ≥ 2), denominamos cofator de um elemento aij da matriz ao produto pelo determinante da submatriz obtida eliminando de A a linha i e a coluna j. Assim, o cofator de um elemento aij a é o menor complementar desse elemento, multiplicado por (-1)i+j. Assim, o cofator do elemento aij é denotado por Aij.
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Podemos calcular, por exemplo, os cofatores dos elementos a23 e a31:
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Exemplo 3) Calcule o determinante da matriz A, expressa a seguir, utilizando o Teorema de Laplace. 
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Exemplo 4) Calcule o determinante da matriz A, expressa a seguir, utilizando o Teorema de Laplace. 
Vamos eleger a primeira linha já que nela existem dois valores zero.
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Teorema de Chió
Por meio da Regra de Chió, é possível diminuir de n para (n − 1) a ordem de uma matriz quadrada A sem alterar o valor do seu determinante. Esta regra consiste em:
a) Escolher um elemento aij= 1 (caso não exista, aplicar as propriedades para que apareça o elemento 1).
b) Suprimir a linha i e a coluna j do elemento aij = 1, obtendo o menor complementar do referido elemento.
c) Subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas.
d) Multiplicar o determinante obtido no item anterior por(-1)i+j onde i e j designam as ordens da linha e da coluna às quais pertence o elemento aij = 1 do primeiro item.
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Exemplo: 5-) Determine o determinante da matriz abaixo, utilizando a regra de Chió
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Exemplo: 5-) Determine o determinante da matriz abaixo, utilizando a regra de Chió
Agora, precisamos subtrair de cada elemento do menor complementar obtido o produto dos elementos que ficam nos pés das perpendiculares traçadas do elemento considerado às filas suprimidas. Assim, temos:
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Exemplo: 6-) Utilizando a Regra de Chió, calcule o determinante da matriz A.
Para aplicarmos a Regra de Chió, precisamos ter a11 = 1. Neste caso, precisaremos trocar as posições da 1ª e da 2ª linha.
det(
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AVISO
Caso tenham dúvidas mandar no email abaixo, assim que possível responderei:
Kleber.vieira@ceunsp.edu.br 
Obs.: É fundamental que neste período estudem os materiais passados e através dos livros texto contidos na bibliografia básica e complementar.
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Mensagem Final: 
•Consciência é a palavra chave. 
•Auto cuidado: evite aperto de mão, abraços, beijinhos.
Lave as mão com água e sabão frequentemente, passe álcool gel sempre que possível.
Evite lugares com muitas pessoas.
Cuidem dos idosos!!!!!
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Lavf58.28.100