5.exponencial logaritmica composta08

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05 – Funções básicas não elementares
resumo teórico e exercícios
1) Função exponencial 
Formato: 
, base 
.
�
Exercícios
1) Resolva a equação: 
 Resp. 
.
2)Resolva a equação: 
. Resp.: 
.
3)Esboce o gráfico de: 
 onde 
 é o numero irracional aproximadamente igual a 
, determinando o conjunto imagem, as interseções com os eixos (se existirem), se é positiva ou negativa e se é limitada ou não. 
2) Função logarítmica
A função logarítmica de base a é definida como a função simétrica da exponencial em relação à primeira bissetriz (
). Isto é, 
para 
.
�
Há duas bases que são mais freqüentes, são elas a base 10 (decimal) e a base e (natural) indicados respectivamente por: 
. Conhecendo-se o logaritmo numa base se conhece o logaritmo em qualquer outra base: 
.
Exercícios
1) Dê o domínio: a) 
 
 b) 
2) Gráfico de; a) 
 b) 
3) Função composta
Dadas duas funções f e g, a composta de g com f, indicada por gof, é definida por 
. A função f é a função interna e g a externa na composição.
O domínio de gof é formado pelos pontos 
tais que 
. 
De modo semelhante define-se a composição na outra ordem: 
.
Exemplos:
Dadas 
 e 
. A composta g0f é: 
.
Observe que o domínio natural de f é 
, de g é 
 e de gof é 
. Como 
 e as imagens desses valores por f estão em 
, ele é também o domínio da composição.
Sejam 
 e 
. A composta gof é: 
.
Observe que o domínio natural de f é 
 e de g é 
. Qual seria então o domínio da composição visto que a expressão da composta é a mesma do exemplo anterior? A resposta seria: 
 pois só para esses valores 
.
Exercícios:
Sejam 
 e 
. Encontre: 
.
Dadas as funções: 
e 
. Encontre fog.
Determinar 
, nos seguintes casos: 
a) 
 b) 
4)Função Inversa
Seja 
uma função injetora, isto é, 
. Faça 
. A função 
é a inversa de f e vice-versa se, e somente se, 
e 
. Indica-se a inversa por 
. 
Propriedades:
P1) f é inversível se, e somente se, toda reta paralela ao eixo x interceptar seu gráfico no máximo em um ponto.
P2) Os gráficos de f e de sua inversa g são simétrico em relação à primeira bissetriz.
�
Exemplo: A função 
não admite inversa em 
. Mas para 
, tem a seguinte inversa 
 e para 
, a seguinte inversa 
. O usual é trocar x e y na fórmula da inversa.
Alguns exemplos de funções definidas por inversão:
1) 
 ; 
 e 
.
2) 
; 
 e 
.
3) 
; 
.
4) 
 ; 
e 
.
Exercícios
Dê o domínio de a) 
 b) 
.
Seja 
.Mostre que: 
.
Determine um domínio (“mais amplo possível”), no qual 
 seja inversível e ache essa inversa.
Resolução:
Exponencial
Pondo 
 e substituindo na equação dada teremos: 
. Resolvendo a equação do segundo grau vem: 
.
.
A base é maior que um logo a curva é crescente em seu domínio 
.
�
Logaritmos
1) a) 
. 
 b) 
.
2) �
Funções compostas 
1) 
 
2) 
3) a) 
 b) 
Funções inversas
a) 
b) 
 
 3) 
O gráfico dessa parábola é simétrico em relação à reta vertical: 
. Para 
 tem um ramo inversível .
A inversa é:
. Logo 
Propriedades:
P1) �EMBED Equation.3���
P2) �EMBED Equation.3���
P3) �EMBED Equation.3���
P4) �EMBED Equation.3���
a>1:crescente 0<a<1:decrescente
Propriedades:
P1) �EMBED Equation.3���
P2) �EMBED Equation.3���.
P3) �EMBED Equation.3���.
P4)�EMBED Equation.3���.
P5)�EMBED Equation.3���
a>1:crescente, 0<a<1:decrescente
Simbolicamente:
�EMBED Equation.3���. 
Nem toda função admite inversa. Porém podemos fazer restrição conveniente no domínio para que a função “restrita” admita inversa.
Positiva, limitada inferiormente, �EMBED Equation.3���
_1263300434.unknown
_1263300450.unknown
_1263300458.unknown
_1263300462.unknown
_1263300464.unknown
_1263300465.unknown
_1263300463.unknown
_1263300460.unknown
_1263300461.unknown
_1263300459.unknown
_1263300454.unknown
_1263300456.unknown
_1263300457.unknown
_1263300455.unknown
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_1263300453.unknown
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_1263300442.unknown
_1263300446.unknown
_1263300448.unknown
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_1263300445.unknown
_1263300443.unknown
_1263300438.unknown
_1263300440.unknown
_1263300441.unknown
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_1263300437.unknown
_1263300435.unknown
_1263300401.unknown
_1263300418.unknown
_1263300426.unknown
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_1263300421.unknown
_1263300419.unknown
_1263300410.unknown
_1263300414.unknown
_1263300416.unknown
_1263300417.unknown
_1263300415.unknown
_1263300412.unknown
_1263300413.unknown
_1263300411.unknown
_1263300406.unknown
_1263300408.unknown
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_1263300407.unknown
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_1263300405.unknown
_1263300402.unknown
_1263300385.unknown
_1263300393.unknown
_1263300397.unknown
_1263300399.unknown
_1263300400.unknown
_1263300398.unknown
_1263300395.unknown
_1263300396.unknown
_1263300394.unknown
_1263300389.unknown
_1263300391.unknown
_1263300392.unknown
_1263300390.unknown
_1263300387.unknown
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_1263300386.unknown
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_1263300369.unknown
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_1263300164.unknown
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_1263300209.unknown
_1263300239.unknown
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_1263300165.unknown
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_1263300163.unknown
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_1263300143.unknown