1a LISTA DE EXERCICIOS DE CALCULO III - 2013 (1)

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 LISTA DE EXERCÍCIOS DE CÁLCULO III – 2013.2 
 
 1. Represente graficamente os pontos cujas coordenadas cartesianas são: 
(a) A(1,3,2); (b) B(0, - 1 , 0); (c) C(-1,-2,-3); (d) D(0,-3,-5); (e) E(0,0,8); (f) F(-2,0,1). 
 2. Descreva e represente graficamente cada um dos seguintes conjuntos: 
(a) {(x,y,z)ϵℝ | x = y = 0}; (b) {(x,y,z)ϵℝ | x =2 e y =3}; (c){ (x,y,z)ϵℝ | z =1}; (d) {(x,y,z)ϵℝ | x2 + y2 = 1}. 
 3. Com o uso de símbolos matemáticos, descreva cada um dos seguintes conjunto de pontos do ℝ3: 
(a) O plano paralelo ao plano XOY e duas unidades acima deste; 
(b) A reta paralela ao eixo X e que intercepta o plano YOZ no ponto (0,2,3). 
 4. Represente graficamente a intersecção dos conjuntos {(x,y,z)ϵℝ | z = –1} e {(x,y,z)ϵℝ | x = 2 e y = –1}. 
 5. Determine as coordenadas polares dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: 
(a) (-3,3); (b) (3,-3); (c) (-3,-3); (d) (3,3); (e) (0,3); (f) (3,0); (g) (-3,0); (h) (0,-3); (i) (0,0); (j) (3,-4). 
 6. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas polares são: 
(a) (0,3); (b) (3,0); (c) (-3,0); (d) (0,-3); (e) (0,0); (f) (3,30°); (g) (3,30); (h) (-3,-30°); (i) (-3,-30); (j) (3,x+π). 
 7. Escreva uma equação polar equivalente à seguinte equação cartesiana: 
(a) x
2 
+ y
2
 = 9; (b) y
2
 = 4(x+1); (c) x + y = 1; (d) (x
2
+y
2
)
2
 = 4(x
2
 – y2). 
 8. Escreva uma equação cartesiana equivalente à seguinte equação polar: 
(a) r
2
 = 2sen(2θ); (b) r2cos(2θ) = 10; (c) r2 = θ; (d) r =
3senθ2
6

. 
 9. Determine as coordenadas cilíndricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: (a) (-3,3,-1); (b) (3,-3,-1); (c) (-3,-3,-1); 
(d) (3,3,-1); (e) (0,3.-1); (f) (3,0,-1); (g) (-3,0,-1); (h) (0,-3,-1); (i) (0,0,-1); (j) (3,-4,-1). 
10. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas cilíndricas são: (a) (0,3,-1); (b) (3,0,-1); (c) (-3,0,-1); 
(d) (0,-3,-1); (e) (0,0,-1); (f) (3,30°,-1); (g) (3,30,-1); (h) (-3,-30°,-1); (i) (-3,-30,-1); (j) (3,x+π,-1). 
11. Determine as coordenadas esféricas dos pontos cujas coordenadas cartesianas são: 
(a) (-3,3,0); (b) (3,-3,
23
); (c) (-3,-3,-3); (d) (0,3,-1); (e) (0,0.-1); (f) (-3,0,-1); (h) (-3,0,0). 
12. Determine as coordenadas cartesianas dos pontos cujas coordenadas esféricas são: 
(a) (0,3,-1); (b) (3,0,0); (c) (-3,0,0); (d) (3,30°,30°); (g) (3,30,0); (h) (-3,-30°,90°); (i) (-3,-30,-180°). 
13. Sejam A(0,0,1) e B(x,4,1). Determine x para que se tenha 
AB
 = 5. 
14. Dentre as seguintes equações, determine aquelas que representam uma esfera e para esas determine o centro e o raio. 
(a) 4x
2
 + 4y
2
 + z
2
 – 2x – 4y – 2z = 10 ; (b) x2 – y2 + z2 + 2y – 10z = 27 ; (c) 2x2 + y2 + z2 – 2y + z = 1 
(d) x
2
 + y
2
 + z
2
 = –3 ; (e) x2 + y2 + z2 – 2x + 2y + 2 = 0 ; (f) x2 + y2 + z2 – 2y + 2z + 3 = 0. 
15. Determine uma equação da esfera que passa pelo ponto (1,2,3) e que é concêntrica com a esfera x
2
 + y
2
 + z
2
 – 3x +4y = 0. 
16. Determine uma equação da esfera que passa pelos pontos (1,2,3), (0,0,4) e (0,2,6) e que tem o centro no plano XY. 
17. Sejam O a origem e A(0,0,2). Mostre que o conjunto dos potos P tais que 
PA2PO
 é uma esfera. 
18. Determine t para que o ponto (t,t+1,t+2) pertença à esfera de centro (0,1,2) e raio 
12
.