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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
1o Semestre de 2015
Exerc´ıcios Programados 3 - Gabarito
Questa˜o 1: Esboce o gra´fico das func¸o˜es a seguir atrave´s de translac¸o˜es e/ou reflexo˜es. Escreva a
expressa˜o dessas func¸o˜es, quando poss´ıvel, como a composta de outras. (fac¸a os gra´ficos manualmente
e verifique utilizando o software)
a) y = 1− x2 d) y = (x− 4)2 + 3
b) y = 1
x−4 e) y = 4− |x|
c) y =
√
x− 3 f) y = |x2 − 3x+ 2|.
Soluc¸a˜o: a) O gra´fico da func¸a˜o y = 1− x2 e´ obtido a partir do gra´fico de y = x2 , refletindo-o em
torno do eixo x e, a seguir, transladando uma unidade para cima.
b)O gra´fico de y = 1
x−4 e´ obtido transladando o gra´fico de y =
1
x
quatro unidades para a direita.
Figure 1: Gra´fico de y = 1− x2 Figure 2: Gra´fico de y = 1x−4
c) O gra´fico da func¸a˜o y =
√
x− 3 e´ obtido transladando o gra´fico de y = √x treˆs unidades para a
direita.
d) O gra´fico de y = (x− 4)2 + 3 e´ obtido a partir do gra´fico da func¸a˜o y = x2, transladando-o quatro
unidades para a direita e treˆs unidades para cima.
e) O gra´fico da func¸a˜o y = 4 − |x| e´ obtido refletindo em torno do eixo x e transladando quatro
unidades para cima o gra´fico de y = |x|.
1
Figure 3: Gra´fico de y =
√
x− 3 Figure 4: Gra´fico de y = (x− 4)2 + 3
Figure 5: Gra´fico de y = 4− |x| Figure 6: Gra´fico de y = |x2 − 3x+ 2|
f) O gra´fico de y = |x2 − 3x+ 2| e´ obtido refletindo a parte negativa de y = x2 − 3x+ 2 em torno do
eixo x.
Questa˜o 2: Determine o domı´nio das func¸o˜es a seguir:
a) h(x) = 5x+4
x2+3x+2
d) g(t) = 1
1−et
b) f(t) =
√
t−1
3
√
t
e) g(x) = ln(x2 − 9)
c) f(x) =
√
4− x2 f) h(x) = log
x
(x2 + 2x+ 5).
Soluc¸a˜o: a) Por ser um quociente de func¸o˜es polinomiais, o domı´nio de h(x) = 5x+4
x2+3x+2
e´ o conjunto
de todos os valores de x ∈ R que na˜o zeram o denominador x2 + 3x+ 2. Resolvendo a equac¸a˜o do 2o
2
grau obtemos x2+3x+2 = (x+1)(x+2). Portanto, o domı´nio de h(x) e´ {x ∈ R : x 6= −1 e x 6= −2} =
(−∞,−2) ∪ (−2,−1) ∪ (−1,+∞).
b) Primeiramente devemos observar que t − 1 ≥ 0 , isto e´, t ≥ 1. Por outro lado, o denominador da
frac¸a˜o na˜o pode ser igual a zero. Assim, t 6= 0. Logo o domı´nio de f(t) e´ {t ∈ R : t ≥ 1}.
c) Para determinar o domı´nio de f(x), precisamos encontrar os x ∈ R que tornam 4 − x2 ≥ 0, mas
isso e´ equivalente a −2 ≤ x ≥ 2. Logo o domı´nio de f(x) e´ {x ∈ R : −2 ≤ x ≥ 2} = [−2, 2].
d) Precisamos que 1− et 6= 0⇔ et 6= 1⇔ t 6= 0. Logo D(g) = {t ∈ R : t 6= 0}.
e) A condic¸a˜o para que possamos calcular g(x) = ln(x2 − 9) e´ que
x2 − 9 > 0⇔ x < −3 ou x > 3.
O D(g) = {x ∈ R : x < −3 ou x > 3}.
f) O domı´nio de h(x) = log
x
(x2 + 2x + 5), depende de x2 + 2x + 5 > 0, x > 0 e, ale´m disso, x 6= 1.
Ao resolver a equac¸a˜o do 2o grau, x2 + 2x + 5 = 0, vemos que ela na˜o tem ra´ızes reais, e como o
termo de segundo grau tem coeficiente positivo segue que x2 + 2x + 5 > 0 para todo x ∈ R, logo,
D(h) = {x ∈ R : x > 0 e x 6= 1}.
Questa˜o 3: Calcule os limites:
a) lim
x→2
2x2 + 1
x2 + 6x− 4
b) lim
x→1
√
5x2 − 4
(3x− 5)4
c) lim
x→1
(
1 + 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
d) lim
x→5
x2 − 25
x− 5
e) lim
x→4
x2 − 4x
x2 − 3x− 4
f) lim
x→2
−2x2 + 6x− 4
x− 2
g) lim
x→−1
x3 − 2x2 − x+ 2
x+ 1
h) lim
x→3
(x− 2)3 − 1
x− 3
Soluc¸a˜o: a)
lim
x→2
2x2 + 1
x2 + 6x− 4 = limx→2
2 · 22 + 1
22 + 6 · 2− 4 =
8 + 1
12
=
3
4
.
b)
lim
x→1
√
5x2 − 4
(3x− 5)4 =
√
lim
x→1
5x2 − 4
lim
x→1
(3 · 1− 5)4 =
√
5 · 12 − 4
(3 · 1− 5)4 =
√
1
(−2)4 =
1
16
.
3
c)
lim
x→1
(
1 + 3x
1 + 4x2 + 3x4
)3
=

 limx→1 1 + 3x
lim
x→1
1 + 4x2 + 3x4


3
=
(
4
8
)3
=
1
8
.
d) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 5.
lim
x→5
x2 − 25
x− 5 = limx→5
(x− 5)(x+ 5)
x− 5 = limx→5x+ 5 = 10.
e) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 4.
lim
x→4
x2 − 4x
x2 − 3x− 4 = limx→4
x(x− 4)
(x+ 1)(x− 4) = limx→4
x
(x+ 1)
=
4
4 + 1
=
4
5
.
f) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 2.
lim
x→2
−2x2 + 6x− 4
x− 2 = limx→2
−2(x− 2)(x− 1)
x− 2 = limx→2−2(x− 1) = −2.
g) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = −1,
lim
x→−1
x3 − 2x2 − x+ 2
x+ 1
= lim
x→−1
(x+ 1)(x2 − 3x+ 2)
x+ 1
= lim
x→−1
x2 − 3x+ 1 = 1 + 3 + 2 = 6.
h) Na˜o podemos aplicar o limite diretamente, pois o denominador se anula em x = 3,
lim
x→3
(x− 2)3 − 1
x− 3 = limx→3
(x− 3)(x2 − 3x+ 3)
x− 3 = limx→3x
2 − 3x+ 3 = 9− 9 + 3 = 3.
Observe que
(x− 2)3 − 1 = (x− 2)3 − 13 = (x− 2− 1)((x− 2)2 + (x− 2) · (1) + 12) = (x− 3)(x2 − 3x+ 3).
Questa˜o 4: Considere as func¸o˜es
f(x) =
{
x− 3 se x 6= 4
5 se x = 4
g(x) =
{
x2 − 9 se x 6= −3
4 se x = −3 .
a. Determine lim
x→4
f(x) e lim
x→−3
g(x).
b. Esboce os gra´ficos de f e g.
c. Compare os limites obtidos no item a. com os valores das func¸o˜es nos pontos (x = 4 para f e
x = −3 para g) e observe o que isso implica no comportamento do gra´fico das func¸o˜es.
Soluc¸a˜o: a) Lembre que o limite esta´ associado ao comportamento da func¸a˜o na vizinhanc¸a do
ponto e na˜o ao valor da func¸a˜o nesse ponto, a func¸a˜o, inclusive, pode na˜o estar definida nesse ponto.
lim
x→4
f(x) = lim
x→4
x− 3 = 4− 3 = 1.
lim
x→−3
g(x) = lim
x→−3
x2 − 9 = (−3)2 − 9 = 0.
4
Figure 7: Gra´fico de f(x) Figure 8: Gra´fico de g(x)
b)
c) Para a func¸a˜o f , lim
x→4
f(x) = 1 ,entretanto, f(4) = 5. Observe, no gra´fico, que a func¸a˜o da´ um salto
em x = 4.
Da mesma forma, lim
x→−3
g(x) 6= g(−3) = 4. No gra´fico da func¸a˜o g tambe´m podemos observar um
salto em x = −3.
Mais para frente veremos que func¸o˜es que apresentam este tipo de comportamento sa˜o chamadas
de descont´ınuas.
Questa˜o 5: E´ feita uma aplicac¸a˜o financeira, e o rendimento, em anos t, e´ dado por r(t) = 20t−16t2.
1. Encontre o rendimento me´dio para o per´ıodo de tempo que comec¸a quando t = 2 e dura:
• 0, 5 ano;
• 0, 1 ano;
• 0, 05 ano;
• 0, 001 ano.
2. Encontre o rendimento “instantaˆneo” quando t = 2.
3. O que acontece com o rendimento me´dio em relac¸a˜o ao rendimento instantaˆneo a` medida que a
durac¸a˜o do intervalo no item 1 diminui?
Soluc¸a˜o: 1. Para o intervalo de durac¸a˜o igual a 0, 5 temos:
r(2, 5)− r(2)
2, 5− 2, 0 =
(100− 50)− (64− 40)
0, 5
=
50− 24
0, 5
= 52
Para o intervalo de 0, 1 ano temos:
r(2, 1)− r(2)
2, 1− 2, 0 =
(70, 56− 42)− (64− 40)
0, 1
=
28, 56− 24
0, 1
= 45, 6.
5
Ja´ para o intervalo de 0, 05 ano temos:
r(2, 05)− r(2)
2, 05− 2, 0 =
(67, 24− 42)− (64− 40)
0, 05
=
26, 24− 24
0, 05
= 44, 8.
E, por fim, para 0, 01 ano temos:
r(2, 01)− r(2)
2, 01− 2, 0 =
(64, 6416− 42)− (64− 40)
0, 01
=
24, 4416− 24
0, 01
= 44, 16.
2. Calculando
lim
x→2
r(t)− r(2)
t− 2 = limx→2
(16t2 − 20t)− 24
t− 2 = limx→2
(16t+ 12)(t− 2)
t− 2 = limx→2 16t+ 12 = 44.
3. O rendimento me´dio esta´ se aproximando do rendimento instantaˆneo a` medida que a durac¸a˜o do
intervalo diminui.
6