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ÁLGEBRA LINEAR 2º semestre – 2012 Profa. Célia Leme mcelialeme@gmail.com Autovalores e autovetores Exemplo 1 Seja r: R2 → R2 (reflexão no eixo x) r (x,y) = (x,-y) = x (1,0) + y (0,-1) Quais são os vetores v (v ≠0) tais que r(v) = v ? − y x y x 10 01 Autovalores e autovetores Seja r: R2 → R2 (reflexão no eixo x) r (x,y) = (x,-y) = x (1,0) + y (0,-1) Para que T(v) = v x pode ser qualquer e y = 0, v =(x,0) = − = − y x y x y x y x 10 01 Autovalores e autovetores Definição: Seja T: V → V um operador linear. Se existem v Є V, v ≠ 0 e λ Є R tais que T(v) = λ v, dizemos que: λ é um autovalor de T e v um autovetor de T associado a λ. Autovalores e autovetores Exemplo 2 Seja T: R2 → R2 v → 2 v, ou seja T(x,y) = 2(x,y) = (2x,2y) Nesse caso, 2 é um autovalor de T e qualquer (x,y) ≠ (0,0) é um autovetor de T associado ao autovalor 2. = = y x y x y x y x 2 2 2 20 02 Autovalores e autovetores De modo geral T: R2 → R2 v → λ v, λ ≠ 0 tem λ como autovalor e qualquer (x,y) ≠ (0,0) como autovetor correspondente. Geometricamente .... T(v) é sempre um vetor na mesma direção de v; - λ < 0, T inverte o sentido do vetor - I λ I > 1, T dilata o vetor - I λ I < 1, T contrai o vetor - I λ I = 1, T é a identidade Autovalores e autovetores Voltamos ao exemplo 1 Seja r: R2 → R2 (reflexão no eixo x) r (x,y) = (x,-y) Para que T(v) = 1. v Para que T(v) = -1.v Temos v = (x,0) Temos v = (0,y) 1 é um autovalor -1 é um autovalor associado aos associado aos autovetores (x,0) autovetores (0,y) = − = − y x y x y x 10 01 − − = − = − y x y x y x 10 01 Autovalores e autovetores Mais um exemplo Seja T: R2 → R2 (rotação de 90º em torno da origem) r (x,y) = (-y,x) − = − x y y x y x 01 10 − y x sen sen y x θθ θθ cos cos Autovalores e autovetores Mais um exemplo Seja T: R2 → R2 (rotação de 90º em torno da origem) r (x,y) = (-y,x) Nenhum vetor diferente de zero é levado por T num múltiplo de T. Logo, T não tem nem autovalor nem autovetor. − = − x y y x y x 01 10 Autovalores e autovetores O conjunto formado por autovetores associados a um autovalor λ e o vetor nulo é um subespaço vetorial de V. Definição O subespaço Vλ = { v Є V tal que T(v) = λv } é chamado subespaço associado ao autovalor λ. Autovalores e autovetores de uma Matriz Seja T: R3 → R3 associada a matriz A: Procuramos vetores v Є R3 tais que A.v = λv. Seja I a matriz identidade de ordem 3, então: Av = (λI)v Av - (λI)v = 0 (A- λI)v = 0 − − = 210 011 024 A Autovalores e autovetores de uma Matriz Seja T: R3 → R3 associada a matriz A: = − − − 0 0 0 00 00 00 210 011 024 z y x λ λ λ − − = 210 011 024 A = − −− −− 0 0 0 210 011 024 z y x λ λ λ(A- λI)v = 0 det (A- λI) = 0 0 210 011 024 det = − −− −− λ λ λ Autovalores e autovetores de uma Matriz det (A- λI) = 0 0 210 011 024 det = − −− −− λ λ λ E portanto –λ3 + 7λ2 -16 λ +12 = 0 é chamado polinômio característico de A. Resolvendo (λ-2)2 (λ-3) = 0 Logo λ = 2 e λ = 3 são as raízes do polinômio característico de A, e portanto os autovalores da matriz A. Autovalores e autovetores de uma Matriz Exemplo Av = λv para λ =2 = − − z y x z y x 2 210 011 024 =+ =+− =+ zzy yyx xyx 22 2 224 y = 0 x = 0 qualquer z Para λ = 2 os autovetores são do tipo (0,0,z) = z (0,0,1) = Span {(0,0,1)} = [(0,0,1)] Autovalores e autovetores de uma Matriz Av = λv para λ =3 = − − z y x z y x 3 210 011 024 =+ =+− =+ zzy yyx xyx 32 3 324 y = z x = - 2y Para λ = 3 os autovetores são do tipo (-2y,y,y) = y (-2,1,1) = Span { (-2,1,1)} = [(-2,1,1)] Autovalores e autovetores de uma Matriz Encontre os autovalores e autovetores de T, sendo T: R2 → R2 associada a matriz A: − − = 21 43 A (A- λI)v = 0 det (A- λI) = 0 Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Exercícios Exercícios: 1, 3, 5 , 7, 8, 9, 11 – p. 195 Referência: Boldrini, José Luiz et al, Álgebra Linear. 3ª Edição. Editora Harbra, 1980. ÁLGEBRA LINEAR�2º semestre – 2012 Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Autovalores e autovetores de uma Matriz Exercícios
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