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AD2 - GABARITO DA QUESTA˜O 3 - 2016–1 Esta questa˜o possui dois itens. A) (1.2 pt) Determinar um ponto P do eixo das abscissas, sabendo que P e´ equidistante dos pontos A = (3, 8) e B = (7, 2). B) O valor, em reais (R$), de uma ac¸a˜o negociada na bolsa de valores no decorrer dos dias de prega˜o e´ dado pela expressa˜o v = t2 2 − 10t + 66. Considere t = 0 o momento inicial do prega˜o; t = 1 apo´s 1 dia de prega˜o; t = 2 apo´s 2 dias de prega˜o, etc. i) (1.1 pt) Esboce o gra´fico da expressa˜o indicando os principais pontos. ii) (0.2 pt) Apo´s quanto tempo o valor da ac¸a˜o e´ m´ınimo? Qual o valor m´ınimo? O item b) tem de ser resolvido pela ana´lise da expressa˜o de v. Resoluc¸o˜es obtidas pela simples substituic¸a˜o de valores e comparac¸a˜o entre eles na˜o sera˜o aceitas. Soluc¸a˜o: A) Como o ponto P esta´ no eixo das abscissas, segue que a segunda coordenada de P e´ igual a zero. Logo, o ponto P e´ da forma (x, 0). Sabendo que a distaˆncia entre dois pontos P = (x1, y1) e Q = (x2, y2), denotada por d(P,Q), e´ dada por d(P,Q) = √ (x2 − x1)2 + ( y2 − y1)2 e que nesta questa˜o a distaˆncia entre os pontos A e P e´ igual a a distaˆncia entre os pontos B e P , temos que d(P,A) = d(P,B) ⇐⇒ √ (x− 3)2 + ( 0− 8 ) 2 = √ (x− 7)2 + ( 0− 2 ) 2 ⇐⇒ √ (x− 3)2 + 64 = √ (x− 7)2 + 4 ⇐⇒ (√ (x− 3)2 + 64 )2 = (√ (x− 7)2 + 4 )2 ⇐⇒ (x− 3)2 + 64 = (x− 7)2 + 4 ⇐⇒ x2 − 6x+ 9 + 64 = x2 − 14x+ 49 + 4 ⇐⇒ 8x+ 20 = 0 ⇐⇒ 8x = −20 ⇐⇒ x = − 20 8 ⇐⇒ x = − 5 2 . Portanto, P = ( − 5 2 , 0 ) . B) i) Vamos representar t no eixo das abscissas e v no eixo das ordenadas. Assim, o gra´fico de v = t2 2 − 10t+ 66 e´ uma para´bola no plano tv. Notemos que ela tem a concavidade voltada para cima, ja´ que o coeficiente de t2 e´ um nu´mero positivo. Me´todos Determin´ısticos I AD1 - questa˜o 1 2 Ale´m disso, quando v = 0, isto e´, quando t2 2 − 10t + 66 = 0, usando Bhaskara, temos que ∆ = (10)2 − 4 ( 1 2 ) (66) = −32 < 0, o que significa que a para´bola na˜o intercepta o eixo t. Temos tambe´m que o ve´rtice da para´bola e´ ( − b 2a ,− ∆ 4a ) = ( − (−10) 2(1/2) ,− (−32) 4(1/2) ) = (10, 16). A partir destas informac¸o˜es, plotamos o gra´fico da para´bola na Figura a seguir. 10 t 16 66 v ii) Pelo item a), segue que o valor da ac¸a˜o e´ m´ınimo apo´s 10 dias de prega˜o. E o valor mi´ınimo e´ igual a R$ 16,00. Fundac¸a˜o CECIERJ Conso´rcio CEDERJ
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