TECNOLOGIA: PARA TODOS, MATERIAIS E PROCESSOS

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TECNOLOGIA: PARA TODOS, MATERIAIS E PROCESSOS1 
 
Natalia Alves Lemos2 
José Wilson Silva Costa3 
 
1 DESCRIÇÃO DO CASO 
A computação gráfica (Computer Graphics) está presente em todas as áreas, desde 
os pequenos jogos eletrônicos até na concepção do equipamento mais moderno para a viagem 
espacial, tendo como passagem também a publicidade, com as vinhetas eletrônicas mais 
surpreendentes e pela medicina em imagens de órgãos internos para o corpo humano, 
permitindo o diagnóstico de doenças, uma vez que só seria possível com a cirurgia complicada 
e comprometedoras. 
Conceitualmente, “a Computação Gráfica pode ser definida como ^B^Y o conjunto 
de métodos e técnicas utilizados para converter dados para um dispositivo gráfico, via 
computador”, segundo a ISO ("International Standards Organization"). Com isso, a computação 
gráfica é muito usada para a construção de figuras e produção de imagens, especialmente a 
representação de objetos em 3 dimensões (3D). 
Para a construção desses objetos utiliza-se combinações matemáticas, para assim 
descrever as superfícies do objeto em questão, essas combinações são suficientemente simples 
(formas simples para primitivas: pontos, segmentos de reta, linhas poligonais, polígonos, 
poliedros), a ponto de poderem ser implementadas computacionalmente. 
Em um computador são obtidos por representações numéricas armazenadas em sua 
memória e transformadas através de operações matemáticas, projetadas no monitor em uma 
forma reconhecível, para os objetos criados. Uma das operações matemáticas que pode ser 
destacada é o uso das matrizes e das transformações lineares. 
Para a realização de polígonos e suas vistas temos que ter conhecimento da matriz 
de rotação no R³. Uma matriz de rotação é uma transformação linear que quando multiplicada 
 
1 Case apresentado à disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica, da Unidade de Ensino Superior Dom 
Bosco – UNDB. 
2 Aluna do 2º Período, do Curso de Engenharia Civil, da UNDB. 
3 Professor, Orientador. 
por um qualquer vetor provoca uma rotação desse vetor segundo um eixo mantendo a sua 
norma(comprimento). 
Rotação sobre os eixos ortonormados x, y e z 
Ao rodarmos um vector sobre um eixo, a sua posição em relação a esse eixo não 
sofre alteração. 
Uma rotação em é uma operação que faz rodar cada vetor em em torno de 
algum eixo de rotação por um ângulo qualquer. Assim as equações lineares que definem uma 
rotação no sentido anti-horário de um vetor em torno dos eixos coordenados positivos são: 
Rotação em torno do eixo x: 
 
w1 = x 
w2 = ycosβ − zsinβ 
w3 = ysinβ + zcosβ 
 
 
 
 
Rotação em torno do eixo y: 
 
w1 = xcosβ + zsinβ 
w2 = y 
w3 = − xsinβ + zcosβ 
 
 
Rotação em torno do eixo z: 
 
w1 = xcosβ − ysinβ 
w2 = xsinβ + ycosβ 
w3 = z 
 
 
 
Diante de todas as noções básicas de computação gráfica, construa um poliedro 
qualquer, com no mínimo 10 vértices, nos eixos coordenados xyz e a sua Matriz coordenadas. 
Representando o poliedro e a Matriz Coordenada das vistas: vista frontal, vista lateral esquerda, 
vista Superior. 
Conforme indica a figura 1: 
Figura 1. 
 
Fonte: Profª. Marta Mitiko K. Siqueira 
 
 
2 IDENTIFICAÇÃO E ANÁLISE DO CASO 
 
2.1 Descrição das decisões possíveis 
Para desenvolvermos o projeto é preciso que seja feito a: 
a. Construção de um polígono de 16 vértices; 
b. Utilização da matriz de rotação para representar a vista frontal; 
c. Utilização da matriz de rotação para representar a vista Lateral esquerda; 
d. Utilização da matriz de rotação para representar a vista superior. 
 
2.2 Argumentos capazes de fundamentar cada decisão 
2.2.1 Construção de um polígono de 16 vértices; 
Diante da situação colocada na descrição do caso, o poliedro que será aplicado no 
trabalho consiste em um poliedro de 16 vértices com aplicação no ℝ³, evidenciado pela letra P, 
que representava o ponto de cada vértice. 
Quadro 1 – relação entre os pontos e suas coordenadas: 
PONTO NO VÉRTICE COORD. PONTO NO VÉRTICE COORD. 
Ponto 1 (P1) (6, -2, 2) Ponto 9 (P9) (6, -2, -2) 
Ponto 2 (P2) (6, 6, 2) Ponto 10 (P10) (6, 6, -2) 
Ponto 3 (P3) (2, 6, 2) Ponto 11 (P11) (2, 6, -2) 
Ponto 4 (P4) (2, 2, 2) Ponto 12 (P12) (2, 2, -2) 
Ponto 5 (P5) (-6, 2, 2) Ponto 13 (P13) (-6, 2, -2) 
Ponto 6 (P6) (-6, -6, 2) Ponto 14 (P14) (-6, -6, -2) 
Ponto 7 (P7) (-2, -6, 2) Ponto 15 (P15) (-2, -6, -2) 
Ponto 8 (P8) (-2, -2, 2) Ponto 16 (P16) (-2, -2, -2) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Ao se fazer a ligação dos seguimentos, temos: P1P2, P2P3, P3P4, P4P5, P5P6, P6P7, 
P7P8, P8P9, P9P10, P10P11, P11P12, P12P13, P13P14, P14P15, P15P16, P1P9, P2P10, P3P11, P4P12, P5P13, 
P6P14, P7P15, P8P16. 
 
 
 
Ao ser aplicada no GeoGebra temos: 
Imagem 1 – Plano x= 0: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
Seja N a matriz coordenadas cujas colunas são as coordenadas dos vértices do 
poliedro, conforme segue: 
 
 
2.2.2 Utilização da matriz de rotação para representar a vista frontal 
Para a obtenção da vista frontal será utilizado os seguintes pontos: 
Quadro 2: 
PONTO NO VÉRTICE COORD. PONTO NO VÉRTICE COORD. 
Ponto 1 (P1) (6, -2, 2) Ponto 9 (P9) (6, -2, -2) 
Ponto 2 (P2) (6, 6, 2) Ponto 10 (P10) (6, 6, -2) 
Ponto 3 (P3) (2, 6, 2) Ponto 11 (P11) (2, 6, -2) 
Ponto 4 (P4) (2, 2, 2) Ponto 12 (P12) (2, 2, -2) 
Ponto 5 (P5) (-6, 2, 2) Ponto 13 (P13) (-6, 2, -2) 
Ponto 6 (P6) (-6, -6, 2) Ponto 14 (P14) (-6, -6, -2) 
Ponto 7 (P7) (-2, -6, 2) Ponto 15 (P15) (-2, -6, -2) 
Ponto 8 (P8) (-2, -2, 2) Ponto 16 (P16) (-2, -2, -2) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Enquanto aos segmentos, temos: P1P2, P2P3, P3P4, P4P5, P5P6, P6P7, P7P8, P8P9, 
P9P10, P10P11, P11P12, P12P13, P13P14, P14P15, P15P16, P1P9, P2P10, P3P11, P4P12, P5P13, P6P14, P7P15, 
P8P16. 
Já a matriz, temos: 
 
 
Ao ser aplicado no GeoGebra: 
Imagem 2 – Vista frontal: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
Imagem 2 – Plano x=0: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
2.2.3 Utilização da matriz de rotação para representar a vista Lateral esquerda 
Para a obtenção da vista lateral esquerda, teremos que rotacionar 90º o polígono em 
relação ao eixo z. 
A matriz de rotação do eixo z no sentido anti-horário, temos: 
[
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽 
 
− 𝑠𝑒𝑛𝛽 0
 𝑐𝑜𝑠𝛽 0
 0 0 1
] 
Logo, teremos que multiplicar a matriz de rotação do eixo Z pela matriz de seus 
pontos; 
[
𝑐𝑜𝑠𝛽
𝑠𝑒𝑛𝛽
 
− 𝑠𝑒𝑛𝛽 0
 𝑐𝑜𝑠𝛽 0
 0 0 1
] x [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] 
 
Quando fazemos a multiplicação da matriz de rotação do eixo z com a matriz de 
cada ponto e rotacionarmos 90º, teremos novos pontos que indicarão a posição da vista lateral 
esquerda para nossa visão, como se o eixo x estivesse furando a tela: 
 
Quadro 3 – Ponto após a multiplicação: 
PONTO NO VÉRTICE COORD. PONTO NO VÉRTICE COORD. 
Ponto 1 (P1) (2, 6, 2) Ponto 9 (P9) (2, 6, -2) 
Ponto 2 (P2) (-6, 6, 2) Ponto 10 (P10) (-6, 6, -2) 
Ponto 3 (P3) (-6, 2, 2) Ponto 11 (P11) (-6, 2, -2) 
Ponto 4 (P4) (-2, 2, 2) Ponto 12 (P12) (-2, 2, -2) 
Ponto 5 (P5) (-2, -6, 2) Ponto 13 (P13) (-2, -6, -2) 
Ponto 6 (P6) (6, -6, 2) Ponto 14 (P14) (6, -6, -2) 
Ponto 7 (P7) (6, -2, 2) Ponto 15 (P15) (6, -2, -2) 
Ponto 8 (P8) (2, -2, 2) Ponto 16 (P16) (2, -2, -2) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Enquanto aos segmentos, temos: P1P2, P2P3, P3P4, P4P5, P5P6, P6P7, P7P8, P8P9, 
P9P10, P10P11, P11P12, P12P13, P13P14, P14P15, P15P16, P1P9, P2P10, P3P11, P4P12, P5P13, P6P14, P7P15, 
P8P16. 
Teremos a seguinte matriz de coordenadas, onde as colunas são as coordenadas dos 
vértices do poliedro:No GeoGebra: 
Imagem 3 – Vista Lateral esquerda: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
Imagem 4 – Plano x=0: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
2.2.4 Utilização da matriz de rotação para representar a vista superior. 
Para a obtenção da vista superior, teremos que rotacionar 90º o polígono em relação 
ao eixo y. 
A matriz de rotação do eixo y no sentido anti-horário, temos: 
[
𝑐𝑜𝑠𝛽
0 
 
 0 𝑠𝑒𝑛𝛽
 1 0
 −𝑠𝑒𝑛𝛽 0 𝑐𝑜𝑠𝛽
] 
Logo, teremos que multiplicar a matriz de rotação do eixo y pela matriz de seus 
pontos; 
[
𝑐𝑜𝑠𝛽
0 
 
 0 𝑠𝑒𝑛𝛽
 1 0
 −𝑠𝑒𝑛𝛽 0 𝑐𝑜𝑠𝛽
] x [
𝑥1
𝑥2
𝑥3
] 
Quando fazemos a multiplicação da matriz de rotação do eixo y com a matriz de 
cada ponto rotacionando 90º, teremos novos pontos que indicarão a posição da vista superior 
para nossa visão de frente para ela, como se o eixo x estivesse furando a tela: 
 
Quadro 4 – Ponto após a multiplicação: 
PONTO NO VÉRTICE COORD. PONTO NO VÉRTICE COORD. 
Ponto 1 (P1) (2, -2, -6) Ponto 9 (P9) (-2, -2, -6) 
Ponto 2 (P2) (2, 6, -6) Ponto 10 (P10) (-2, 6, -6) 
Ponto 3 (P3) (2, 6, -2) Ponto 11 (P11) (-2, 6, -2) 
Ponto 4 (P4) (2, 2, -2) Ponto 12 (P12) (-2, 2, -2) 
Ponto 5 (P5) (2, 2, 6) Ponto 13 (P13) (-2, 2, 6) 
Ponto 6 (P6) (2, -6, 6) Ponto 14 (P14) (-2, -6, 6) 
Ponto 7 (P7) (2, -6, 2) Ponto 15 (P15) (-2, -6, 2) 
Ponto 8 (P8) (2, -2, 2) Ponto 16 (P16) (-2, -2, 2) 
Fonte: Elaborada pelo autor. 
 
Enquanto aos segmentos, temos: P1P2, P2P3, P3P4, P4P5, P5P6, P6P7, P7P8, P8P9, 
P9P10, P10P11, P11P12, P12P13, P13P14, P14P15, P15P16, P1P9, P2P10, P3P11, P4P12, P5P13, P6P14, P7P15, 
P8P16. 
Teremos a seguinte matriz coordenadas onde as colunas são as coordenadas dos 
vértices do poliedro: 
 
No GeoGebra: 
Imagem 5 – Vista superior: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
Imagem 5 – Plano x=0: 
 
Fonte: Elaborada pelo autor 
 
2.3 Descrição dos Critérios e Valores Contidos em Cada Decisão Possível 
Para que houvesse a construção do polígono com 16 vértices e as vista frontal, 
lateral e superior, é necessário o conhecimento de desenho técnico e álgebra linear para que 
seus pontos possam ser criados de acordo com o ℝ 3. 
 
REFERÊNCIAS 
 
ANDRADE, Lenimar Nunes de. Rotações no espaço tridimensional: Rotação R3. 2000. 
Disponível em: <http://www.mat.ufpb.br/lenimar/cgraf/aplic.htm>. Acesso em: 20 abr. 2016. 
AQUINO, Luiz C. M.. Curso de GeoGebra. 2010. Disponível em: 
<http://www.lcmaquino.org/>. Acesso em: 20 abr. 2016. 
CRUZ, Dennis Coelho. Sistema de Projeções Universidade Federal da Bahia – UFBA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E DESENVOLVIMENTO SUSTENTÁVEL 
IADB79 - Desenho Técnico: Aula 02: Sistema de Projeções. Disponível em: 
<http://slideplayer.com.br/slide/378691/>. Acesso em: 08 mar. 2016. 
 SIQUEIRA, Marta Mitiko K.. Desenho técnico: Sistemas De Representação Gráfica. 
Disponível em: <http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAbIkAC/desenho-tecnico#>. 
Acesso em: 20 abr. 2016. 
ZANELLA, Lucas. Curso de matrizes e vetores - MA. 2013. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=taONqdeSnpc>. Acesso em: 20 abr. 2016.